陕西省咸阳市三原县北城中学2015-2016学年高一数学上学期期中试卷(含解析)

2015-2016学年陕西省咸阳市三原县北城中学高一（上）期中数学试

卷

一．选择题

}，B={x|0＜x≤1}，则A∪B=（ ）

}

C．{x|0≤x≤

}

}

1．若集合A={x|1＜x≤A．{x|x＞0}

B．{x|x≤D．{x|0＜x≤2．给出下列四个对应，其中能构成映射的是（ ）

A．（1）（2）

B．（1）（4）

C．（1）（3）（4） D．（3）（4）

3．已知函数f（3x）=log2，那么f（1）的值为（ ）

A．log2

B．2

C．1

D．

4．已知幂函数f（x）过点，则f（4）的值为（ ）

A．

B．1

C．2

D．8

5．已知a=log0.1

1.3

20.3，b=2，c=0.2，则a，b，c的大小关系是（ ）

A．a＜b＜c B．c＜a＜b

C．a＜c＜b

D．b＜c＜a 6．函数的图象关于（ ）

A．y轴对称

B．直线y=﹣x对称

C．坐标原点对称

D．直线y=x对称7．设函数f（x）=，则f（f（3））=（ ）

A． B．3 C． D．

8．已知二次函数y=x2﹣2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a的取值范围是（

1

）

A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3 C．a≤﹣3或a≥﹣2 D．﹣3≤a≤﹣2

9．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=（ ） A．﹣3 10．函数A．

x

B．﹣1

C．1

的定义域为（ ）

D．3

D．

B． C．

11．函数y=a在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y=3ax﹣1在[0，1]的最大值是（ ） A．6

B．1

|x|

C．5

D．

12．设a＞1，实数x，y满足f（x）=a，则函数f（x）的图象形状大致是（ ）

A． B． C． D．

二．填空题

13．某厂去年生产某种规格的电子元件a个，计划从今年开始的m年内，每年生产此种元件的产量比上一年增长p%，此种规格电子元件年产量y随年数x变化的函数关系是 ．

14．已知函数f（x）=loga（2x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是 ．

15．函数f（x）=x2﹣2ax+a+2，若f（x）在[0，a]上取得最大值3，最小值2，则a= ．

16．若集合A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足A∩B={2}，则实数a= ．

2

三、解答题（写出简要解题过程） 17．计算：

（1）log427×log58×log325

（2）（）（﹣3）÷（）

18．集合A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|x2+2x﹣8=0}满足A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数a的值．

19．设函数f（x）=，求使得f（a）=1的自变量a的取值．

20．已知函数f（x）=log2（x﹣3）． （1）求f（51）﹣f（6）的值； （2）求f（x）的定义域；

（3）若f（x）≥0，求x的取值范围．

21．已知函数，且f（4）=3

（1）求m的值；

（2）证明f（x）的奇偶性；

（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．

2015-2016学年陕西省咸阳市三原县北城中学高一（上）期中数学试卷

参与试题解析 一．选择题

1．若集合A={x|1＜x≤}，B={x|0＜x≤1}，则A∪B=（ ）

A．{x|x＞0}

B．{x|x≤}

C．{x|0≤x≤}

D．{x|0＜x≤}

【考点】并集及其运算．

【专题】集合．

【分析】由A与B，求出两集合的并集即可． 【解答】解：∵A={x|1＜x≤}，B={x|0＜x≤1}，

∴A∪B={x|0＜x≤}．

故选：D．

3

【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．

2．给出下列四个对应，其中能构成映射的是（ ）

A．（1）（2） 【考点】映射．

B．（1）（4）

C．（1）（3）（4） D．（3）（4）

【专题】函数的性质及应用；集合．

【分析】由映射的定义对四个对应进行判断，即可得出能构成映射的对应．

【解答】解：由映射的定义知，（2）中3没有象，（3）中出现了一对二的对应，所以此二者都不是映射，

（1）（4）符合映射的定义，是映射． 故选B．

【点评】本题考查映射概念，理解定义是解答的关键．

，那么f（1）的值为（ ）

C．1

3．已知函数f（3x）=log2A．log2

B．2

D．

，

【考点】函数的值． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】利用函数的性质和对数运算法则求解． 【解答】解：∵f（3x）=log2∴f（1）=故选：C．

=

=log22=1．

4

【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

4．已知幂函数f（x）过点A．

B．1

，则f（4）的值为（ ）

C．2

D．8 ，知

，x＞0，

【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【专题】计算题．

a

【分析】设幂函数f（x）=x，x＞0，由幂函数f（x）过点

故，由此能求出f（4）．

a

【解答】解：设幂函数f（x）=x，x＞0， ∵幂函数f（x）过点∴

，x＞0，

，

∴，∴，

∴f（4）=故选A．

=．

【点评】本题考查幂函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

0.1

1.3

5．已知a=log20.3，b=2，c=0.2，则a，b，c的大小关系是（ ） A．a＜b＜c

B．c＜a＜b

C．a＜c＜b

D．b＜c＜a

【考点】对数值大小的比较． 【专题】计算题．

【分析】看清对数的底数，底数大于1，对数是一个增函数，0.3的对数小于1的对数，得到a小于0，根据指数函数的性质，得到b大于1，而c小于1，根据三个数字与0，1之间的关系，得到它们的大小关系．

5

【解答】解：由对数和指数的性质可知， ∵a=log20.3＜0 b=20.1＞20=1 c=0.2

1.3

＜

0.20=1

∴a＜c＜b 故选C．

【点评】本题考查对数的性质，考查指数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来． 6．函数A．y轴对称

的图象关于（ ） B．直线y=﹣x对称

C．坐标原点对称

D．直线y=x对称

【考点】奇偶函数图象的对称性．

【分析】根据函数f（x）的奇偶性即可得到答案． 【解答】解：∵f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x） ∴故选C．

是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称

【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，是高考必考题型．

7．设函数f（x）=，则f（f（3））=（ ）

A． B．3 C．

D．

【考点】函数的值． 【专题】计算题．

【分析】由条件求出f（3）=，结合函数解析式求出 f（f（3））=f（）=+1，计算求得结果．

6

【解答】解：函数f（x）=，则f（3）=，

∴f（f（3））=f（）=+1=故选D．

，

【点评】本题主要考查利用分段函数求函数的值的方法，体现了分类讨论的数学思想，求出f（3）=，是解题的关键，属于基础题．

2

8．已知二次函数y=x﹣2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）

A．a≤2或a≥3

B．2≤a≤3

C．a≤﹣3或a≥﹣2 D．﹣3≤a≤﹣2

【考点】二次函数的性质． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据二次函数的对称轴为x=a，再分函数在区间（2，3）内是单调增函数、函数在区间（2，3）内是单调减函数两种情况，分别求得实数a的取值范围，从而得出结论．

2

【解答】解：由于二次函数y=x2﹣2ax+1的对称轴为x=a， 若y=x﹣2ax+1在区间（2，3）内是单调增函数，则有a≤2． 若y=x2﹣2ax+1在区间（2，3）内是单调减函数，则有a≥3． 故选：A．

2

【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，属于基础题．

9．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x﹣x，则f（1）=（ ） A．﹣3

B．﹣1

C．1

D．3

【考点】函数奇偶性的性质． 【专题】计算题．

7

【分析】要计算f（1）的值，根据f（x）是定义在R上的奇函数，我们可以先计算f（﹣1）的值，再利用奇函数的性质进行求解，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，代入即可得到答案．

2

【解答】解：∵当x≤0时，f（x）=2x﹣x， ∴f（﹣1）=2（﹣1）﹣（﹣1）=3， 又∵f（x）是定义在R上的奇函数 ∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣3 故选A

2

【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数的奇偶性的性质是解答本题的关键． 10．函数A．

B．

的定义域为（ ）

C．

D．

【考点】对数函数的定义域． 【专题】计算题． 【分析】由

解得＜x≤1，由此求得函数的定义域．

【解答】解：由 解得＜x≤1，故函数的定义域为

，

故选A．

【点评】本题主要考查对数函数的定义域，函数的定义域的定义和求法，属于基础题．

x

11．函数y=a在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y=3ax﹣1在[0，1]的最大值是（ ） A．6

B．1

C．5

D．

【考点】指数函数的单调性与特殊点．

8

【专题】函数的性质及应用．

【分析】本题要分两种情况进行讨论：①0＜a＜1，函数y=ax在[0，1]上为单调减函数，根据函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值和为3，求出a②a＞1，函数y=ax在[0，1]上为单调增函数，根据函数y=a在[0，1]上的最大值与最小值和为3，求出a，最后代入函数y=3ax﹣1，即可求出函数y=3ax﹣1在[0，1]上的最大值． 【解答】解：①当0＜a＜1时 函数y=ax在[0，1]上为单调减函数

x

∴函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值分别为1，a ∵函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值和为3 ∴1+a=3 ∴a=2（舍） ②当a＞1时

x

函数y=a在[0，1]上为单调增函数

∴函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值分别为a，1 ∵函数y=a在[0，1]上的最大值与最小值和为3 ∴1+a=3 ∴a=2

x

∴函数y=3ax﹣1=6x﹣1在[0，1]上的最大值是5 故选C

【点评】本题考查了函数最值的应用，但阶梯的关键要注意对a进行讨论，属于基础题．

|x|

12．设a＞1，实数x，y满足f（x）=a，则函数f（x）的图象形状大致是（ ）

A． B． C． D．

【考点】指数函数的图象与性质． 【专题】数形结合．

9

【分析】f（x）中含有绝对值，故可去绝对值讨论，当x≥0时，f（x）=a，因为a＞1，故为增函数，又因为f（x）为偶函数，故可选出答案．

x

【解答】解：当x≥0时，f（x）=ax，因为a＞1，故为增函数，又因为f（x）为偶函数，图象关于y轴对称， 故选A

【点评】本题考查指数函数的图象问题、考查识图能力． 二．填空题

13．某厂去年生产某种规格的电子元件a个，计划从今年开始的m年内，每年生产此种元件的产量比上一年增长p%，此种规格电子元件年产量y随年数x变化的函数关系是 y=a（1+p%）（0≤x≤m） ．

【考点】根据实际问题选择函数类型． 【专题】计算题．

x

【分析】根据计划从今年开始的m年内，每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长p%，可知每年生产此种规格的电子元件的产量成等比数列，首项为a，公比是1+p%，从而可求电子元件年产量y随年数x变化的函数关系．

【解答】解；设第x年生产此种规格的电子元件的产量为ax，则ax=（1+p%）ax﹣1，

∴数列{ax}是等比数列，首项为a，公比是1+p%， ∴ax=a（1+p%），

x

故答案为：y=a（1+p%）x（0≤x≤m）．

【点评】本题以实际问题为依托，考查函数模型的运用，考查学生阅读能力和从实际生活中抽象出数学模型，然后解模求得结果，难点从题意构造等比数列，把实际问题转化为数列问题，属基础题．

14．已知函数f（x）=loga（2x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是 （1，0） ．

【考点】对数函数的图象与性质． 【专题】函数的性质及应用．

10

【分析】定点即为：点的坐标与a的取值无关，由对数函数的性质可知，只要令2x﹣1=1即可．

【解答】解：根据题意：令2x﹣1=1，解得x=1， ∴P点横坐标x=1，此时纵坐标y=0， ∴定点坐标是（1，0）， 故答案为：（1，0）．

【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，在研究和应用时一定要注意一些细节，如图象的分布，关键线，关键点等．

15．函数f（x）=x2﹣2ax+a+2，若f（x）在[0，a]上取得最大值3，最小值2，则a= 1 ．

【考点】函数的最值及其几何意义．

【专题】方程思想；分析法；函数的性质及应用．

【分析】利用抛物线开口向上，对称轴为x=a＞0的二次函数的单调性，解方程即可得到答案，注意检验最小值2．

2

【解答】解：∵f（x）=x2﹣2ax+a+2=（x﹣a）2﹣a2+a+2， ∴其对称轴为x=a＞0，又y=f（x）开口向上， ∴函数f（x）=x﹣2ax+a+2在[0，a]上单调递减， ∴f（x）max=f（0）=a+2=3， ∴a=1．

2

验证f（x）min=f（a）=﹣a2+a+2=2符合， ∴a=1， 故答案为：1．

【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值，分析得到函数f（x）=x﹣2ax+a+2在[0，a]上单调递减是关键，属于基础题．

16．若集合A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足A∩B={2}，则实数a= 2 ． 【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用． 【专题】计算题．

11

【分析】由题意A∩B={2}，得集合B中必定含有元素2，且A，B只有一个公共元素2，可求得a即可．

【解答】解：由A∩B={2}， 则A，B只有一个公共元素2； 可得a=2． 故填2．

【点评】本题考查了集合的确定性、交集运算，属于基础题．

）

三、解答题（写出简要解题过程） 17．计算：

（1）log427×log58×log325 （2）（

）（﹣3

）÷（

【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值． 【专题】计算题；规律型；函数思想；函数的性质及应用． 【分析】（1）直接利用对数的运算法则求解即可； （2）利用有理指数幂的运算法则化简求解即可． 【解答】解：（1）log427×log58×log325 ==9． （2）（

）（﹣3

）÷（

）

==﹣9a．

【点评】本题考查有理指数幂的运算，对数的运算法则的应用，考查计算能力．

18．集合A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|x2+2x﹣8=0}满足A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数a的值．

12

【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题．

【分析】求出集合B、集合C，利用A∩B≠∅，A∩C=∅，确定2∉A，3∈A，求出a，验证a的正确性即可．

【解答】解：B={2，3}，C={﹣4，2}，而A∩B≠∅，则2，3至少有一个元素在A中，

又A∩C=∅，∴2∉A，3∈A，即9﹣3a+a2﹣19=0，得a=5或﹣2 而a=5时，A=B与A∩C=∅矛盾， ∴a=﹣2

【点评】本题属于以方程为依托，求集合的交集补集的基础题，考查元素与集合之间的关系，也是高考常会考的题型．

19．设函数f（x）=

，求使得f（a）=1的自变量a的取值．

【考点】分段函数的应用．

【专题】分类讨论；数学模型法；函数的性质及应用． 【分析】根据已知中函数f（x）=

况讨论满足条件的a值，综合讨论结果可得答案．

，分当a＜1时和当a≥1时，两种情

【解答】解：当a＜1时，解f（a）=（a+1）2=1得：a=﹣2，或a=0， 当a≥1时，解f（a）=4﹣

=1得：a=10，

综上所述：a=﹣2，或a=0，或a=10．

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，已知函数值求自变量，就是解方程．

20．已知函数f（x）=log2（x﹣3）． （1）求f（51）﹣f（6）的值； （2）求f（x）的定义域；

13

（3）若f（x）≥0，求x的取值范围． 【考点】对数函数的图象与性质．

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】（1）由f（x）=log2（x﹣3），利用对数的性质和运算法则能求出f（51）﹣f（6）的值．

（2）由f（x）=log2（x﹣3），利用对数函数的性质能求出f（x）的定义域．

（3）由f（x）=log2（x﹣3）≥0，利用对数函数的定义和单调性质能求出x的取值范围．

【解答】解：（1）∵f（x）=log2（x﹣3）， ∴f（51）﹣f（6）=log248﹣log23=（2）∵f（x）=log2（x﹣3）， ∴x﹣3＞0，解得x＞3， ∴f（x）的定义域为{x|x＞3}． （3）∵f（x）=log2（x﹣3）≥0， ∴

，解得x≥4，

=log216=4．

∴x的取值范围是[4，+∞）．

【点评】本题考查函数值、函数的定义域、不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．

21．已知函数（1）求m的值；

，且f（4）=3

（2）证明f（x）的奇偶性；

（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明． 【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的判断． 【专题】计算题；证明题．

【分析】（1）据f（4）=3求出待定系数m的值．

14

（2）先看函数的定义域是否关于原点对称，再看f（x）与f（﹣x）的关系，依据奇偶性的定义进行判断．

（3）在（0，+∞）上任取x1＞x2＞0，计算对应的函数值之差，把此差变形为因式之积的形式，然后判断符号，比较f（x1）与 f（x2）的大小，得出结论．

【解答】解：（1）∵f（4）=3，∴，∴m=1．

（2）因为，定义域为{x|x≠0}，关于原点成对称区间．

又

，

所以f（x）是奇函数．

（3）设x1＞x2＞0，则

因为x1＞x2＞0，所以x1﹣x2＞0，

，

所以f（x1）＞f（x2），因此f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．

【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式，以及判断函数单调性、奇偶性的方法．

15