一次函数,反比例函数,二次函数的综合题

一次函数、反比例函数、二次函数的综合题

1．抛物线yx22x3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为________．

2．已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象经过（2，-5），请你写出一个同时满足（1）和（2）

的函数_________________

3．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的 长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则 菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关 系式为 ．（不要求写出自变量x的取值范围） 4．当路程s一定时，速度v与时间t之间的函数关系是（ ）

A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数 5．函数ykx2与y

1．点Ax0,yo在函数yax2bxc的图像上.则有 .

2. 求函数ykxb与x轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ； 与y轴的交点纵坐标，即令 ，求y值

3. 求一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像的交点，解方程组 .

例1如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设

x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2． ⑴ 写出y与x的关系式；

⑵ 当x=2，3.5时，y分别是多少？

⑶ 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.

D

菜园

A

（第3题）

B

墙

C

k（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） x _

例2 如右图，抛物线yx25xn经过点A(1,0)，与y轴交于点B.

（1）求抛物线的解析式；

（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是等腰三角形，试求点P的坐标.

O A -1 B 1 x y _

k3的图像经过A（－，5）点、B（a，－3），则k＝ ，a＝ ． x22．如图是一次函数y1＝kx＋b和反比例函数

my2＝＝的图象，•观察图象写出y1>y2时，x的取值范

x围是_________． 1． 反比例函数y3．根据右图所示的程序计算 变量y的值，若输入自变 量x的值为

3，则输出 2的结果是_______.

4.如图，过原点的一条直线与反比例函数y＝

k（k<0） x的图像分别交于A、B两点，若A点的坐标为（a，b），则B点

的坐标为（ ）

A．（a，b） B．（b，a） C．（-b，-a） D．（-a，-b） 5. 二次函数y＝x2＋2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ） A．3 B．5 C．－3和5 D．3和－5

6.下列图中阴影部分的面积与算式|3|(1)221的结果相同的是（ ）

42

7. 如图，方格纸上一圆经过(2,5)，(-2,1)，(2,-3)，(6,1) 四点，则该圆圆心的坐标 为( )

A.(2,-1) B.(2,2) C.(2,1) D.(3,1)

_

三、解答题

8. 已知点A的坐标为(1，3)，点B的坐标为(31)，．

⑴ 写出一个图象经过A，B两点的函数表达式； ⑵ 指出该函数的两个性质．

9. 反比例函数y＝

y 3 A B 2 1 O 1 2 3 x

k 的图象在第一象限的分支上有一点A（3，4），P为x轴正半轴上的一个动点， x （1）求反比例函数解析式.

（2）当P在什么位置时，△OPA为直角三角形，求出此时P点的坐标.

10.如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，

记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C＝． （1）求B′点的坐标；

（2）求折痕CE所在直线的解析式．

O y C B E B′ A x 34 _

知识点睛

一、二次函数与一次函数的联系

一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点，由方程组

ykxn的解的数目来确定： 2yaxbxc①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点； ②方程组只有一组解时l与G只有一个交点； ③方程组无解时l与G没有交点.

【例1】 如图，已知二次函数yax2bxc的图像经过三点A1,0，B3,0，C0,3，它的顶点为M，又

正比例函数ykx的图像于二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点。 （1）该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标；

（2）知点E2,3，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图像求出符合条件的自变量x的取值范围；

（3）0k2时，求四边形PCMB的面积s的最小值。

y1，Ex2，y2，则线段DE的中点坐标为参考公式：已知两点Dx1，x1x2y1y2，

22yCPADOMEBx

二次函数图象的几何变换 一、二次函数图象的平移变换

_

（1）具体步骤：

2先利用配方法把二次函数化成ya(xh)k的形式，确定其顶点(h,k)，然后做出二次函数

yax2的图像，将抛物线yax2平移，使其顶点平移到(h,k).具体平移方法如图所示：

（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”. 二、二次函数图象的对称变换

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称

yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

22

2. 关于y轴对称

yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

22 3. 关于原点对称

yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc； yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk；

22 4. 关于顶点对称

b2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc；

2a22yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．

22n对称 5. 关于点m，yaxhk关于点m，n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nk

22根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 一、二次函数图象的平移变换

【例1】 函数y3(x2)21的图象可由函数y3x2的图象平移得到，那么平移的步骤是：（ ）

A. 右移两个单位，下移一个单位 B. 右移两个单位，上移一个单位 C. 左移两个单位，下移一个单位 D. 左移两个单位，上移一个单位

_

【例2】 函数y2(x1)21的图象可由函数y2(x2)23的图象平移得到，那么平移的步骤

是（ ）

A. 右移三个单位，下移四个单位 B. 右移三个单位，上移四个单位 C. 左移三个单位，下移四个单位 D. 左移四个单位，上移四个单位

22【例3】 二次函数y2x4x1的图象如何移动就得到y2x的图象（ ）

A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位. B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位. C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位. D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位.

【例4】 将函数yx2x的图象向右平移aa0个单位，得到函数yx23x2的图象，则a的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【例5】 把抛物线yax2bxc的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是

yx23x5，则abc________________．

【例6】 把抛物线yx2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 A．yx13

2 B．yx13

22C．yx13

2D．yx13

【例7】 将抛物线y2x2向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）

A．y2x1

2B．y2x1

2C．y2x21 D．y2x21

【例8】 将抛物线y3x向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（ ）

A. y3x22 B. y3x2

C. y3(x2)2

2

式为________________．

【例10】 如图，

D. y3x22

【例9】 一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线y2x24x，则平移前抛物线的解析

ABCD中，AB4，点D的坐标是(0，8)，以点C为顶点的抛物线yax2bxc经过x轴上

的点A，B．

⑴ 求点A，B，C的坐标．

⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．

_

DCOAB

【例11】 已知二次函数yx22x1，求：⑴关于x轴对称的二次函数解析式；⑵关于y轴对称的二次函数解

析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．

【例12】 函数yx与yx的图象关于______________对称，也可以认为

22yx2是函数yx2的图象绕__________旋转得到．

_

【例13】 在平面直角坐标系中，先将抛物线yx2x2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴

作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为 A．yx2x2 B．yx2x2

2. 如图，已知ABC中，BC=8，BC上的高h4，D为BC上一点，EF//BC，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为x，则DEF的面积y关于x的函数的图像大致为（ ）

3. 某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500 个．根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．

⑴ 假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是___________元；这种篮球每月的销售量

是___________个．（用含x的代数式表示）

⑵ 当篮球的售价应定为 元时，每月销售这种篮球的最大利润，此时最大利润是 元.

b24acb21．二次函数yaxbxc通过配方可得ya(x)，

2a4a2C．yx2x2 D．yx2x2

⑴ 当a0时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当

x 时，y有最 （“大”或“小”）值是 ；

⑵ 当a0时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当

x 时，y有最 （“大”或“小”）值是 ．

2. 每件商品的利润P = － ；商品的总利润Q = × .

例1 近年来，“宝胜”集团根据市场变化情况，采用灵活多样的营销策略，产值、利税逐年大幅度增长．第

六销售公司2004年销售某型号电缆线达数万米，这得益于他们较好地把握了电缆售价与销售数量之间的关系．经市场调研，他们发现：这种电缆线一天的销量y（米）与售价x（元/米）之间存在着如图所示的一次函数关系，且40≤x≤70．

_

(1) 根据图象，求ｙ与ｘ之间的函数解析式；

(2) 设该销售公司一天销售这种型号电缆线的收入为ｗ元．

① 试用含x的代数式表示ｗ；

② 试问当售价定为每米多少元时，该销售公司一天销售该型号电缆的收入最高？最高是多少元？

例2 随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉

及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图（1）所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元） ⑴ 分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；

⑵ 如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

_

1. 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，截取AE＝BF＝DG＝x.已知AB＝6，CD＝3，AD＝4；求四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和x的取值范围.

DxGC

ExA

FxB _

3. 如图，已知矩形OABC的长OA＝3，宽OC＝1，将△AOC沿AC翻折得△APC.

（1）填空：∠PCB＝ 度，P点坐标为 ；

4（2）若P、A两点在抛物线y＝－x2＋bx＋c上，求b、c的值，并说明点C在此抛物线上；

3﹡（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面

积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由.

3．一次函数的解析式为： ，一次函数的图象是一条 。根据两点确定一条直线，在求解析式时只需两点就可以了，通常采用列方程组的方法来解决，又叫 。 一次函数y=k(x-a)+b (a,b为常数，k为变量)当k变化时表示的直线也在变化，但这些直线始终过定点（ ）

_

4．一次函数图象增减（升降）变化规律，系数与图象关系。自变量的变化对图象的影响。

5．反比例函数的解析式为： ，当k>0 时图象过 象限，当K<0时，图象过 象限 6．二次函数的解析式：一般式 ，顶点式 ，交点式 在顶点式中，顶点为（ ）对称轴为 。一般式中△= 当△ 时图象与X轴无交点，当△ 时图象与X轴有一个交点，当△ 时图象与X轴有两个交点。当a>0时图象开口向 ，当a<0时图象开口向 7．图象平移：

8.二次函数与一元二次方程的关系： 9．一元二次方程求根公式：

10．韦达定理：

M Q P R N （图1）

O 4 9 （图2） x y 典型例题与练习：

2．已知整数x满足-5≤x≤5，y1=x+1，y2=-2x+4对任意一个x，m都取y1，y2中的较小值，则m的最大值是 ( )

A.1 B.2 C.24 D.-93.

3．如图，一次函数yaxb的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函

y B A O C F E x D （第3题） k

数y的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足

x

为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：

①△CEF与△DEF的面积相等； ②△AOB∽△FOE； ③△DCE≌△CDF； ④ACBD．

其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）

b4．若ab0，则正比例函数yax与反比例函数y在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）

x

y O x

O y x

O y x

O y x

5. 如图，直线ykxb经过A(2，1)，B(1，2)两点，则不等式12xkxb2的解集为 ．

_

y A O x B