山东省济南市市中区2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

注意事项：

1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、 姓名是否一致．

2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字 笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．

3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.有一项是符合题目要求的.） 1．（4分）下列实数1，，|3|，4，38，7，0.4040404（每相邻两个4之间23一个0)中，无理数有( ) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

2．（4分）下列条件中不能判断ABC是直角三角形的是( ) A．a:b:c3:2:1 C．A:B:C6:8:10

3．（4分）下列各点属于第一象限的是( ) A．(1,2)

B．(1,2)

C．(1,2)

D．(1,2)

B．BCA D．a2(bc)(bc)

4．（4分）下列语句中正确的是( ) A．16的平方根是4 C．16的算术平方根是4

B．16的平方根是4 D．4是16的平方根

5．（4分）一次函数y2x3的图象沿y轴向下平移4个单位，那么所得图象的函数解析式是( ) A．y2x2

B．y2x3

C．y2x1

D．y2x1

6．（4分）如图，数轴上的点A，B，C，D，E分别对应的数是1，2，3，4，5，那么表示111的点应在( )

A．线段DE上 B．线段CD上 C．线段BC上 D．线段AB上

7．（4分）如图，长方体的长为3cm，宽为2cm，高为4cm，点B到点C的距离为1cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )cm．

A．4 B．5 C．29 D．37 8．（4分）如图，根据尺规作图的痕迹判断数轴上点C所表示的数是( )

A．13 B．22 C．3.6 D．3.7

9．（4分）两个一次函数y1mxn，y2nxm，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的( )

A． B．

C． D．

10．（4分）平面直角坐标系中，点A(3,3)，B(2,1)，经过点A的直线a//x轴，点C是直线a上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为( ) A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,1)

D．(2,3)

axbycx1a(x1)3by3cyx11．（4分）若关于、的方程组的解为，则方程组exfydy2e(x1)3fy3d的解是( ) x4A．

y2x2B．

y4x4C．

y2x2D．

y412．（4分）如图，直线l1:yx1与直线l2:y11x相交于点P(1,0)．直线l1与y轴交22于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，，B2014，A2014，则当动点C到达A2021处时，运动的总路径的长为( )

A．20212 B．220212 C．220201 D．220222

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.） 13．（4分）计算38的结果等于 ．

14．（4分）已知在平面直角坐标系中，点P在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标为 ．

15．（4分）如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支14cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为 ．

16．（4分）若a，b都是实数，且ba33a8，则ab1的平方根为 ． 17．（4分）某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格，图中l1、l2分别表示去年、今年水费y（元)与用水量x(m3)之间的关系，小雨家去年用水量为140m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 元．

18．（4分）如图，正方形ABCD中，AB6，点E在边CD上，且CD3DE，将ADE沿CF，延长EF交边BC于点G，连接AG，则下列结论：①ABGAFG；AE对折至AFE，

②BGCG；③AG//CF；④SEGC12；⑤AGBAED145．其中正确结论的序号是 ．

三、解答题：（本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，） 19．（8分）计算： （1）(48327)3； （2）(743)(23)． 20．（8分）计算： （1）解方程：2(x1)28；

3x2y1（2）解方程组：．

4xy621．（6分）由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB4米，BC13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．

22．（6分）若x123，y123，求x2xyy2的值．

23．（8分）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12吨）时，按每吨1元收费；每月超过12吨时，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元． （1）求每吨水的市场调节价是多少元；

（2）设每月用水量为x(x12)吨，应交水费为y元，写出y与x之间的关系式； （3）小张家3月份用水28吨，他家应交水费多少元？

ABC的顶点A的坐标为(2,1)，24．（8分）在如图所示的网格（每个小正方形的边长为1)中，

顶点B的坐标为(1,2)．

（1）在网格图中画出两条坐标轴，并标出坐标原点； （2）作△ABC关于x轴对称的图形△ABC； （3）求ABB的面积．

25．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，

其两点间的距离PP(x1x2)2(y1y2)2．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于12坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2x1|或|y2y1|． （1）已知A(2,3)，B(4,5)，试求A、B两点间的距离；

（2）已知一个三角形各顶点坐标为A(1,3)、B(0,1)、C(2,2)，请判定此三角形的形状，并说明理由．

（3）已知A(2,1)，在x轴上是否存在一点P，使OAP为等腰三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在请说明理由．

26．（12分）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．

（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，MNAM，MNBN，若AM2，MN3，则BN ；

（2）如图，在等腰直角ABC中，ACBC，ACB90，M，、N为直线AB上两点，满足MCN45．

①如图2，点M、N在线段AB上，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；

小林同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对小林说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把CBN绕点C逆时针旋转90试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程；

②如图3，若点M在线段AB上，点N在线段AB的延长线上，AM5，BN7，求BM的长．

27．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线AB:ykx3与直线AC:y2xb交于点A(2,n)，与x轴分别交于点B(6,0)和点C．点D为线段BC上一

动点，将ABD沿直线AD翻折得到ADE，线段AE交x轴于点F．

（1）填空：k ；n ；b ； （2）求ABC的面积；

（3）当点E落在y轴上时，求点E的坐标； （4）若DEF为直角三角形，求点D的坐标．

参与解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.有一项是符合题目要求的.） 1．（4分）下列实数1，，|3|，4，38，7，0.4040404（每相邻两个4之间23一个0)中，无理数有( ) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

1解：是分数，属于有理数；

3|3|3，42，382，是整数，属于有理数；

0.4040404（每相邻两个4之间一个0)是循环小数，属于有理数；

故在实数无理数有1，，|3|，4，38，7，0.4040404（每相邻两个4之间一个0)中，232，7，共2个．

故选：B．

2．（4分）下列条件中不能判断ABC是直角三角形的是( ) A．a:b:c3:2:1 C．A:B:C6:8:10

B．BCA D．a2(bc)(bc)

解：A、12(2)2(3)2，能判断ABC是直角三角形，不符合题意；

B90，又ABC180，能判断ABC是直角三角形，B、BCA，

不符合题意；

C、A:B:C6:8:10，C1018075，不能判断ABC是直角三角形，

6810符合题意；

D、a2(bc)(bc)，a2c2b2，能判断ABC是直角三角形，不符合题意；

故选：C．

3．（4分）下列各点属于第一象限的是( ) A．(1,2)

B．(1,2)

C．(1,2)

D．(1,2)

解：A．(1,2)在第四象限，故此选项不符合题意； B．(1,2)在第一象限，故此选项符合题意； C．(1,2)在第三象限，故此选项不符合题意；

D．(1,2)在第二象限，故此选项不符合题意；

故选：B．

4．（4分）下列语句中正确的是( ) A．16的平方根是4 C．16的算术平方根是4

B．16的平方根是4 D．4是16的平方根

解：A．根据平方根的定义，16的平方根是4，那么A不正确． B．根据平方根的定义，16没有平方根，那么B不正确．

C．根据算术平方根的定义，16的算术平方根是4，那么C不正确．

D．根据平方根的定义，16的平方根是4，故4是16的平方根，那么D正确．

故选：D．

5．（4分）一次函数y2x3的图象沿y轴向下平移4个单位，那么所得图象的函数解析式是( ) A．y2x2

B．y2x3

C．y2x1

D．y2x1

解：原直线的k2，b3；向下平移4个单位长度得到了新直线， 那么新直线的k2，b341． 新直线的解析式为y2x1．

故选：D．

6．（4分）如图，数轴上的点A，B，C，D，E分别对应的数是1，2，3，4，5，那么表示111的点应在( )

A．线段DE上 解：329，4216， 3114， 21113，

B．线段CD上 C．线段BC上 D．线段AB上

数轴上的点B，C分别对应的数是2，3， 表示111的点应在线段BC上，

故选：C．

7．（4分）如图，长方体的长为3cm，宽为2cm，高为4cm，点B到点C的距离为1cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )cm．

A．4 B．5

C．29 D．37 解：将长方体展开，连接AB，

根据两点之间线段最短，BD123，AD4， 由勾股定理得：ABAD2BD242325， 则需要爬行的最短距离是5cm； 故选：B．

8．（4分）如图，根据尺规作图的痕迹判断数轴上点C所表示的数是( )

A．13 B．22 C．3.6 D．3.7

解：在RtOAB中，OBOA2AB2322213． 点C所表示得数为：13．

故选：A．

9．（4分）两个一次函数y1mxn，y2nxm，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的( )

A． B．

C． D．

解：A、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m0，n0；由y2的图象可知，n0，m0，两结论相矛盾，故错误；

B、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m0，n0；由y2的图象

可知，n0，m0，两结论不矛盾，故正确；

C、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m0，n0；由y2的图象

可知，n0，m0，两结论相矛盾，故错误；

D、如果过第二、三、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m0，n0；由y2的图象

可知，n0，m0，两结论相矛盾，故错误． 故选：B．

10．（4分）平面直角坐标系中，点A(3,3)，B(2,1)，经过点A的直线a//x轴，点C是直线a上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为( ) A．(0,1) 解：如右图所示，

a//x轴，点C是直线a上的一个动点，点A(3,3)， 设点C(x,3)，

B．(1,2) C．(2,1) D．(2,3)

当BCa时，BC的长度最短，点B(2,1)， x2，

点C的坐标为(2,3)．

故选：D．

axbycx1a(x1)3by3c11．（4分）若关于x、y的方程组的解为，则方程组exfydy2e(x1)3fy3d的解是( ) x4A．

y2x2B．

y4x4C．

y2x2D．

y4解：

axbycx1的解为， exfydy2a(x1)byca(x1)3by3cx1y3中等式的两边同时除以3得，再将和看成整

e(x1)3fy3de(x1)3fyd3x113体，即解为， y2x4原方程组的解为．

y2故选：A．

12．（4分）如图，直线l1:yx1与直线l2:y11x相交于点P(1,0)．直线l1与y轴交22于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，，

B2014，A2014，则当动点C到达A2021处时，运动的总路径的长为( )

A．20212 B．220212 C．220201 D．220222

解：由直线l1:yx1可知，A(0,1)，

根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，及直线l1、l2的解析式可知，B1(1,1)，AB11， A1(1,2)，A1B1211，

B2(3,2)，A2(3,4)，A1B2312，A2B2422，A2B3734231，

，AB734231，

33由此可得AnBn2n1，

所以，当动点C到达A2021处时，运动的总路径的长2(12222322020)， 设S12222322020①， 则2S222232422021②， ②①，得：S220211，

运动的总路径的长2(220211)220222．

故选：D．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.） 13．（4分）计算38的结果等于 2 ． 解：238． 382．

故答案为：2．

14．（4分）已知在平面直角坐标系中，点P在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标为 (3,2) ．

解：点P在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3， 点P的横坐标是3，

纵坐标是2，

点P的坐标为(3,2)．

故答案为：(3,2)．

15．（4分）如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支14cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为 1cm ．

解：CD5，AD12，

AC5212213cm，

露出杯口外的长度为14131cm． 故答案为：1cm．

16．（4分）若a，b都是实数，且ba33a8，则ab1的平方根为 5 ． a30解：由题意得：，

3a0解得：a3， 则b8， ab125，

25的平方根为5， 故答案为：5．

17．（4分）某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格，图中l1、l2分别表示去年、今年水费y（元)与用水量x(m3)之间的关系，小雨家去年用水量为140m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 180 元．

解：设当x120时，l2对应的函数解析式为ykxb， 120kb480， 160kb720k6解得，

b240即当x120时，l2对应的函数解析式为y6x240， 当x140时，y6140240600，

由图象可知，去年的水价是4801603（元/m3)，故小雨家去年用水量为140m3，需要缴费：1403420（元)， 600420180（元)，

即小雨家去年用水量为140m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多180元， 故答案为：180．

18．（4分）如图，正方形ABCD中，AB6，点E在边CD上，且CD3DE，将ADE沿CF，延长EF交边BC于点G，连接AG，则下列结论：①ABGAFG；AE对折至AFE，

②BGCG；③AG//CF；④SEGC12；⑤AGBAED145．其中正确结论的序号是 ①②③ ．

解：①正确． 理由：

ABADAF，AGAG，BAFG90，

RtABGRtAFG(HL)；

②正确．

1理由：EFDECD2，设BGFGx，则CG6x．

2在直角ECG中，根据勾股定理，得(6x)242(x2)2， 解得x3．

BG363CG；

③正确．

理由：CGBG，BGGF， CGGF，

FGC是等腰三角形，GFCGCF．

又RtABGRtAFG； AGBAGFAGBAGF2AGB180FGCGFCGCF2GFC2GCF， AGBAGFGFCGCF， AG//CF；

，

④错误．

11理由：SGCEGCCE346，

22④错误；

⑤错误．

BAGFAG，DAEFAE，

又BAD90， GAE45，

AGBAED180GAE135，

故答案为：①②③．

三、解答题：（本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，） 19．（8分）计算： （1）(48327)3； （2）(743)(23)．

解：（1）(48327)3 4833273 1639 433 49 5；

（2）(743)(23) 14738312

26153．

20．（8分）计算： （1）解方程：2(x1)28； 3x2y1（2）解方程组：．

4xy6解：（1）2(x1)28，、

方程两边同时除以2，得(x1)24， 开平方运算，得x12， 解得x3或x1； 3x2y1①（2），

4xy6②②2，得8x2y12③， ①③，得11x11， 解得x1，

将x1代入②得，y2， x1原方程组的解．

y221．（6分）由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB4米，BC13米，两棵树的水平距离为12米，求

这棵树原来的高度．

解：如图所示：延长AB，过点C作CDAB延长线于点D， 由题意可得：BC13m，DC12m， 故BD1321225(m)， 即AD9m，

则ACAD2CD29212215(m)， 故ACAB15419(m)． 答：这棵树原来的高度是19米．

22．（6分）若x解：

x123123，y123123，求x2xyy2的值． 23，

23，yxy4，xy1，

原式(xy)23xy423113．

23．（8分）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12吨）时，按每吨1元收费；每月超过12吨时，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元． （1）求每吨水的市场调节价是多少元；

（2）设每月用水量为x(x12)吨，应交水费为y元，写出y与x之间的关系式；

（3）小张家3月份用水28吨，他家应交水费多少元？ 解：（1）设每吨水的市场调节价为a元，根据题意得： 121(2412)a42，

解得：a2.5，

答：每吨水的市场调节价为2.5元； （2）当x12时，

y121(x12)2.52.5x18， y与x之间的关系式是y2.5x18；

（3）2812，

把x28代入y2.5x18得：

y2.5281852，

答：他家应交水费52元．

ABC的顶点A的坐标为(2,1)，24．（8分）在如图所示的网格（每个小正方形的边长为1)中，

顶点B的坐标为(1,2)．

（1）在网格图中画出两条坐标轴，并标出坐标原点； （2）作△ABC关于x轴对称的图形△ABC； （3）求ABB的面积．

解：（1）如图，平面直角坐标系如图所示： （2）如图，△ABC即为所求；

111（3）SABB341133243．

222

25．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其两点间的距离PP(x1x2)2(y1y2)2．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于12坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2x1|或|y2y1|． （1）已知A(2,3)，B(4,5)，试求A、B两点间的距离；

（2）已知一个三角形各顶点坐标为A(1,3)、B(0,1)、C(2,2)，请判定此三角形的形状，并说明理由．

（3）已知A(2,1)，在x轴上是否存在一点P，使OAP为等腰三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在请说明理由． 解：（1）

A(2,3)，B(4,5)，

AB(24)2(35)210；

（2）直角三角形，理由如下： A(1,3)、B(0,1)、C(2,2)，

AB(10)2(31)2， AC(12)2(32)210， BC(02)2(12)25，

AB2BC2AC2， ABC是直角三角形；

（3）存在， A(2,1)，

OA(02)2(01)25，

当AOOP5时，P(5,0)或(5，0)， 当AOAP时，过点A作ADx轴于D， 设PAPOx，则PD2x，

AP2AD2PD2， x212(2x)2，

x5， 45P(,0)，

45综上，P(5,0)或(5，0)或(4,0)或(，0)．

426．（12分）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．

（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，MNAM，MNBN，若AM2，MN3，则BN 5 ；

（2）如图，在等腰直角ABC中，ACBC，ACB90，M，、N为直线AB上两点，满足MCN45．

①如图2，点M、N在线段AB上，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；

小林同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对小林说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把CBN绕点C逆时针旋转90试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程；

②如图3，若点M在线段AB上，点N在线段AB的延长线上，AM5，BN7，求BM的长．

解：（1）以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，MNAM，MNBN， MN2AM2BN2， 3222BN2， BN5，

故答案为：5； （2）①

ACBC，ACB90，

BACABC45，

将CBN绕点C逆时针旋转90得到CAP，连接AP，MP，

CPCN，CAPB45，APBN， MAP90，

MCN45，NCP90， MCPMCN45， CMCM，CPCN，

MCNMCP(SAS)， MNPM，

MP2AM2AP2，

MN2AM2BN2，

点M，N是线段AB的勾股分割点；

②将CBN绕点C逆时针旋转90得到CAE，连接ME，

AEBN7，CECN，ACEBCN，CAECBN135， MAE90， ACEECB90， BCNECB90， ECN90， MCN45，

ECM45MCN， CMCM，CECN，

MCEMCN(SAS)， MEMN，

ME2AM2AE2，

MN2AM2BN2， (7BM)2(5)2(7)2， BM237．

27．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线AB:ykx3与直线AC:y2xb交于点A(2,n)，与x轴分别交于点B(6,0)和点C．点D为线段BC上一动点，将ABD沿直线AD翻折得到ADE，线段AE交x轴于点F．

（1）填空：k 1 ；n ；b ； 2（2）求ABC的面积；

（3）当点E落在y轴上时，求点E的坐标； （4）若DEF为直角三角形，求点D的坐标．

解：（1）把B(6,0)代入kx3， 6k30，

k12， 直线AB解析式：y12x3， 把点A(2,n)代入y12x3， n4，

A(2,4)，

把(2,4)代入y2xb得， 4b4， b8，

故答案为：12；4；8；

（2）直线AC:y2x8， 点C(4,0)，

点A(2,4)，点B(6,0)和点C(4,0)， BC10，ABC的BC边上的高为4，

SABC1210420；

（3）如图，过点A作AHy轴于点H，

AH2，AE2AB2(62)24280，

HEAE2?AH2219，

OEHEOH2194，

E点的坐标为(0,4219)；

（4）DEF为直角三角形，分两种情况讨论： 当EDF90时，

如图，由对折可得，ADBADEADO1359045，

360?90135， 2

过点A作AGBC于G， AGDG4， OG2， OD2，

D(2,0)；

当DFE90时，

由对折得，AEAB8045，BDDE， EF454，

由A、B两点坐标可得：BF2(6)8， 设DFm，则BD8m， DE8m，

(8m)2m2(454)2， m252，

ODDFOF2522254，

D(425，0)，

综上，D(2,0)或(425，0)．