空洞探测问题

摘要

空洞探测需要解决两个问题：一是如何确定空洞的存在与具体位置，二是如何优化测量条件，使得所用仪器最少而不影响检测的准确性与合理性。对这两个问题分别建立模型求解。

对问题首先建立01规划模型进行分析求解。为简化研究将平板分为36等份，假设每份模板或全为空洞，或全为均匀介质。利用弹性波在均匀介质与空气中传播速度不同的性质，比较弹性波在均匀介质中按特定路径传播的标准时间与已知的测量时间，判断波的传播路径通过的模块是否存在空洞，根据01规划分析的方法，通过对01的迭加，对每个模块的具体情况进行分析。综合分析后确定了8个空洞，具体位置根据文中定义方法表示为：

A22,A23,A25,A32,A33,A34,A44,A53

然后为检验找到的空洞具体位置的合理性又建立几何规划模型，通过连线排除法确定了空洞的具体位置与第一模型得出的结果相符。

对问题二运用几何作图法分析如何使得探测器能够在最低的数量下完成对空洞的探测。通过图像比较选择探测器的位置降低其数量，将较低数量下的探测器测量的盲区控制在最小状态。通过不断地对图形分析优化得到的新的最优波源和接收器组合为：每组边各5对波源和对在接收器，其位置描述为：每边5对探测器其中一对在1节点，一对在4节点，一对在7节点，另外两对在每边的12与67节点的中点处。在该方案下，未被弹性波传播路径覆盖的“死区”面积非常小，而且，无论去掉任意一组波源和接收器都会产生较大的“死区”面积。 对得到的结果在文中进行了检验与分析，经过检验发现模型的结果是正确合理的。模型在建立的过程中存在着缺点与不足，文中给出了模型的分析与评价，并对问题的不足提出了优化方案，并对模型的建立进行了改进。 解决问题的过程中为简化过程巧妙地对条件进行假设，使得模型能够充分发挥其科学性与实用性，得到了令人满意的结果。因而使用的方法可以继续推广更广泛地运用于科学探测中。

关键词： 01规划 几何作图法 盲区

一、问题重述

实际运用中为了解山体、隧洞、坝体等的某些内部结构，通常采用弹性波来测量确定。对该问题可简化为，一块均匀介质构成的矩形平板内有一些充满空气的空洞，在平板的两个邻边分别等距地设置若干弹性波发射器，在它们的对边对等地安放同样多的接收器，记录弹性波由每个波源到达对边上每个接收器所经过的时间，根据弹性波在介质中和在空气中不同的传播速度，来确定板内空洞的位置。

现考察如下的具体问题：

一块240米240米的平板（如图），在AB边等距地设置7个波源

P,2...7，CD边对等地安放7个接收器Qjj1,2...7，记录由Pi发出的弹ii1性波到达Qj的时间tij秒; 在AD边等距地设置7个波源Rii1,2...7，BC边对等地安放7个接收器Sjj1,2...7，记录由Ri发出的弹性波到达Sj的时间

tij秒。已知弹性波在介质和空气中的传播速度分别为2880米秒和320米秒，且弹性波沿板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同。

需要解决的问题是：

1）确定该平板内空洞的位置。

2）只根据由Pi发出的弹性波到达Qj的时间tiji,j1,2...7，能确定空洞的位置吗；确立在同样能够确定空洞位置的前提下，只用最少波源和接受器的方案。

二、模型假设

结合本题的实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些位置因素的干扰，提出以下几点假设：

1.假设测量结果有测量误差但不存在错误数据；

2.假设弹性波通过均匀介质与空洞的边缘地区是与在介质中传播速度相同的；

3. 当弹性波通过特定路径所用时间小于标准时间或者大于标准时间但在最大测量误差之内，则认为该路径全为均匀介质；

4.假设弹性波总是延直线传播，在从一种介质进入另一介质中不发生干涉和衍射现象；

5.将此240240平板以波源及接受点为切点将平板分为36个4040的模板，假设每个模块只要含有空洞即认为该模块为空洞所填满，即每个独立模块要么全是空洞，要么全是均匀介质。

- - 1

三、符号说明

1. Z网格函数；

2. t表示测量误差的最大值；

3. Tij表示从光源i到接收器j所需的理论时间； 4. tij表示从从光源i到接收器j所用的实际时间；

5. Pi Rj表示弹性波波源，QiSj表示接收器（其中ij1,2...7）；

6. PQt,i,j，RSt,i,j表示弹性波通过特定路径所需的标准时间与实际测量时间值的差值

四、问题分析

对于问题一，我们根据波在不同的介质中传播速度不同，甚至有很大差异的性质，通过计算弹性波在矩形平板中以特定路线传播所需时间与在均匀介质中传播相同距离所需时间比较，如果实际时间大于理论时间，并且差值不在最大误差之内，则可认定在该路径上存在空洞。为简化研究我们把矩形分成36等分理想的4040方格，并假设方格或全为空洞，或全为均匀介质，根据比较标准时间与实际时间的差来判断每一路径上是否含有空洞。当某一路径上存在空洞时，则认为该路径通过的所有模块均有可能是空洞模块，继而研究所有通过可能为空洞模块的波径，判断是否在所有情况下该模块均可能为空洞模块，如若每条通过该模块的路径均可能存在空洞，根据迭加的思想，在该模块存在空洞的可能性极大，则可确定该区域即为空洞。反之，如若存在任一不可能通过空洞的波径通过该模块则该模块即认定为均匀介质模块。为简化研究的步骤，不再采取将每一条路径在坐标轴中精确表示，而采用仅由时间差来直观反映的方法求解。

对于问题二，要探究在仅有PiQj的情况下，能否确定空洞的具体位置，以及最少需要多少波源与接收器能够完整地将空洞位置表示出来。要解决第一问，我们立足于在只有PQ从而产生ij时弹性波的路径不能将整个模板完全覆盖，较多的测量死角，当空洞存在于这些死角中时，则检测就不能够将空洞完全显示出来，而只有纵向的存在却没有横向的存在定位，也就不能完全显示空洞的位置。我们在这一方向上加以研究，对此加以证明。对于第二问要研究最少需要多少波源与接收器才能较好地将空洞位置明确表示，在问题一已解决的情况下，我们将会得出空洞的具体位置，我们只要根据问题一的结果，对每一个空洞模块进行分析，观察计算每个空洞模块至少需要何种路径才能明确表示其存在以及其具体的位置，并在保证使用的弹性波检测器组最少的情况下使得弹性波路径覆盖的范围最大，使得目标死角范围最小，保证所有可检测空洞均在波径覆盖之下，在此前提下减少波源与接收器的数量，使之在可维持的范围内数量最小。

- -

2

五、模型的建立与求解

1.问题一模型的建立与求解

根据问题我们建立了01规划模型。本模型将矩形平板抽象为一个平面网络图，用弹性波波源与接收器将矩形平板分为36个独立单元，用搜索法找出空洞的位置。根据假设一，波源和接收器的位置图如图所示：

图一 波源和接收器的位置图

当平板内无空洞时，弹性波从Pi到Qi或Ri到Sii1,2...7理论所需时间为

t240m2880m0.0833s，

s这是弹性波通过水平与垂直路径的理论时间。而在实际情况中，弹性波通过相同长度的路径所花费时间却不同，弹性波在矩形介质中以不同路径传播所需要的时间数据在附录中显示：

如果矩形介质平板不存在空洞，从波源第i个出发点到第j个接受点所用的时间为Tij（秒），Tij的表示为：

1i.j7,且i,jz

2880用Mathmatic软件即可得出下表各条弹性波的标准时间值（具体计算程序及数据图表在附录中显示，为附表三）。

通过表一与附表三比较可以看到实际给出的时间与标准时间值不完全相符，实际所用的时间从0.0598到0.1042不等，测量差异明显。

若存在空洞波到达接收器的时间tij必定大于Tij，波在介质中由波源发射到接

Ti,j4062ij2受理论上所需最少时间为0.083秒，若检测值比理论值0.0833还小，则必定是由于测量误差的存在，但却可认定它必完全在介质中传播，即没有空洞存在。由表一表二可得实际数据的最小数据为0.0583s，因而可得出测量的最大误差为：

t=0.08330.05830.025s

将tijTij而tij-Tij<t时定义为无空洞，tij>Tij且tij-Tij>t时

- -

3

定义为有空洞。根据表三得出的标准时间Ti,j，与本身所测得的时间tij,rij，结合公式：

PQt,i,jtijTi,jRSt,i,jrijTi,j

即可得出时间的差值PQt,i,j，RSt,i,j。结果在下表二和表三中显示： 表二： PQij弹性波的标准时间与PQij弹性波的实际测量值的差值 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7

表三： RSi,j弹性波的标准时间与RSi,j弹性波的实际测量值的差值

R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 S1 -0.0232 0.0144 0.2173 0.2289 0.2488 0.2722 0.3132 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 -0.0183 -0.0248 -0.0065 0.2584 0.2865 -0.0092 -0.0133 0.2007 0.3465 0.2559 0.2578 0.2360 0.0141 0.3248 0.3362 0.2723 0.2411 0.3402 0.2404 0.1256 0.2163 0.1477 0.2336 0.2411 0.0071 0.1664 0.2889 0.4963 0.2138 0.1213 0.3255 0.3834 0.2902 -0.0146 -0.0169 Q6 Q7 0.3229 0.4542 0.3798 0.3895 0.3608 0.2110 0.2411 0.0085 0.1029 0.1252 0.0007 -0.0139 0.0069 -0.0250 S2 0.0051 -0.0241 0.3286 0.3574 0.3597 0.2175 0.2312 S3 0.1118 0.3568 -0.0235 0.3195 0.1385 0.1432 0.2564 S4 0.1100 0.3439 0.3308 -0.0095 0.1072 0.2185 0.1022 S5 0.3179 0.3838 0.3277 0.0944 0.0005 0.1372 -0.0118 S6 0.3838 0.4241 0.2631 -0.0138 0.09231 0.01056 -0.0156 S7 0.4467 0.2720 0.0917 0.1191 0.0932 0.0186 0.0209 现将小网格视为变量Z，定义网格函数如下：

0Z1（tijTij)(tijTij或tijTijt)

其中“1”表示方格为介质，条件为PQt,i,j或RSt,i,jt；“0”表示方格可能为空洞，条件为PQt,i,j或RSt,i,jt。当弹性波通过一条路径的实际时间大于通过均匀介质所需的标准时间，即PQt,i,j或RSt,i,jt该路径上存在空洞，则将这一路径所经过的模块全部标为“0”，反之PQt,i,j或RSt,i,jt该路径全为均匀介质，则全部标为“1”。将所有路径全部标注出来，相互交迭的情景，用

迭加法处理。由于对同一方格只可能为“0”或“1”，定义0+0=0，0+1=1，1+1=1。

- -

4

迭加前：

图二 01规划迭加图

由此可以看出，若有1出现的情况则没有空洞，用此方法逐步搜索所有的波源发出的波到接收器得到下表： 迭加后：

图三 整体函数情况的表格显示为：

其中模块中值为0的为空洞，所以空洞的具体位置为上图0标注的模块。 问题一求解模型二

根据模型一可知通过路径所用时间误差为0.025s之内的弹性波，是认为在传播过程中是未经过空洞的，并命这些弹性波为标准时间弹性波，以此为依据在参考表一和表二即可找出如下的27条标准时间弹性波：

PQ11、PQ12、PQ13、P2Q1、P2Q2、PQ33、P4Q4、P4Q7、PQ55;P6Q6、P6Q7、P7Q4、P7Q5、P7Q6、R1S1、R1S2、R2S1、R2S2; R3S3、R4S4、R4S6、R5S5、R6S6、R6S7、R7S5、R7S6、R7S7.- -

5

在以接收器与波源的联机来离化的单元格中，将这些标准时间弹性波标出。 据以上分析给出如下第一种判断准则：如果一个方格内有一条标准时间弹性波经过，则认为这个方格内没有空洞存在，因此可以得出7个方格内有空洞结果如下图：

图四 空洞分布图

本模型利用排除法的原理，当所有符合标准时间穿过的弹性波所不通过某些的模块时即认为这些模块是空洞模块。因为标准时间弹性波的定义为其通过的模块均不含有空洞，而空洞又不可能包含非空洞模块（即空洞模块不可能环状包围空洞模块），所以所有的介质模块均能由标准时间弹性波通过的路径表示出来，所以上结论是合理的，因而空洞的具体位置即如图中阴影部分所示。 2.问题二模型的建立与求解

问题二（1）求解：为求证当只有Pi发出的弹性波到达Qj的时间

tiji,j1,2...7，能否确定空洞的位置，我们建立了几何求解模型，具体方法如下：

我们发现当只有PiQj时覆盖矩形模块的弹性波路径存在较多的死角，所要研究的就是证明这些死角可能存在空洞，以此证明仅依靠PiQj是不能完全实现对整个模块的空洞探测的。

通过观察PiQj连接的路径图，我们发现主要有两个地方存在较大死角---波源及接受点处和RS边处。

对于波源及接受点处的死角，求出死角的半径与面积。

过P2,P3,P4分别作PQ17,P2Q7,PQ37 联机的垂线, 高分别为h1h2h3, 如图：

- -

6

图五 P Q边死角区域

h140Sin28.3m4其中： h40SinQPP

2723h340SinQ7P3P4因Q7P3P4Q7P2P34 , 所以h3h2h1

所以，该部分死角区域的大概面积为： S12h392m 2由于其他3个区域与这部分相同，所以波源与接收点处的死角总面积为1568m2，而每个区域的内接圆直径均在22m以上，大于探测器所能探测的8m最小半径，所以该地区能够存在空洞而不被探测到。对RS边区域的死角求解：

图六 R S边死角区域

- - 7

1ah2400m2 2区域内接圆的直径约为15m大于探测器所能测量的最小空间，同样可能存在空洞P2Q1的交点做S边的垂线h4。如图所示：过PQh4=20m；S12，而不被探测器所探测到，而死角的总面积为4800m2。

在只有PiQj探测器存在的情况下总计有6368m2的死角区域，这些空间区域是仪器的精度可以探测到但却因减少波源和接受器的个数而成为波束线无法达到的死角区, 如在这些区域中有空洞存在, 则将被漏测.所以仅靠纵向探测装置

PiQj是不能够较全面地测出空洞的具体位置的。

问题二（2）求解

我们为分析如何减少波源与接收器的数量使其仍然能够完全将空洞检测出来，我们对波源与接收器的数量变化引起的检测面的变化进行分析，主要根据图形来分析如何安排波源与接收器的位置使得在数量最低的情况下检测面最大而死角最小。

当我们只研究由Pi发出的弹性波到达Qj的时间tij传播路径图如下图所示：

图七 P Q边弹性波传播路径

i,j1,2...7 ，弹性波的

- - 8

PiQj的弹性波传播路径图，存在面积很大的“死角区”，然而为了能够

消除“死角区”，确定空洞的位置，则可在R1R2 的中点， R4 点和 R6R7 的中点各设置 1 个波源,S边的对称点处安放 3 个接收器。

具体效果如图显示：

图八 R S边增加波源与接收器后的效果图

这么做能够可消除 P边和Q边 附近的死角区，则按照此方法波源和接收器可减少 2 对。

增加波源与接收器后的效果。 如下图所示：

图九 增加波源与接收器后迭加的效果图

- -

9

在此情况下就能充分减少在PQ边上的死角区域。

当我们只由Ri发出的弹性波到达Sj的时间tiji,j1,2...7，那么弹性波的

传播路径图如下图所示：

图十 R S边弹性波传播路径

RiSj的弹性波传播路径图 同样存在面积很大的“死角区” ，然而为了

能够消除“死角区”，确定空洞的位置，则可在Q1Q2的中点， Q4点和Q6Q7的

- -

10

中点各设置 1 个波源，P 边的对称点处安放 3个接收器。如下图所示：

图十一 P Q边增加波源与接收器后的效果图

这么做能够可消除R边和S边附近的死区，则按照此方法波源和接收器可减少 2 对。

在PQ边增加波源及接收器后路径覆盖的具体效果，如下图所示： 图十二 增加波源与接收器后迭加的效果图

然后，我们把新得到的波源和接收器组合进行分析和结合，结果如下图所示： 图十三 新波源与接收器迭加后的效果图

- - 11

发现，对于平板的覆盖率达到的百分之百，未被弹性波传播路径覆盖的“死角区”面积非常小。而且,无论去掉任意一组波源和接收器都会产生较大的“死角区”面积。所以，最优的方案是每组边各5对波源和接收器，其位置描述为每边5对探测器中其中3对在边缘均匀分布，另外两对在每边的12与34节点的中点处。

六 模型的检验

模型一检验

某波源发出的波从i点到达j点，因中途出现空洞，所以得到的测量结果比理论结果大。在不考虑误差的情况下,下面估算空洞的长度，根据弹性波Pi到Qj的传播速度，列出下列计算弹性波传播时间的下列计算方程(用aij表示PQij连线

上测得空洞的长度，bij表示RiSj测得空洞的长度，Amn表示36个方格区域中的mn区，分布图如图1所示(空洞已标出)：

- - 12

Lij表示PQij或RiSj路径的长度)：

Lijaij2880Lijbij2880aij320bij320tijrij(1)

(2)

其中：

Lij4062(ij)2(i,j1,2将R5S6和R6S5直线分别应用于方程（2）

L56)360(0.18740.0844)37.08米 2880LR6S5直线：b65360(r6565）=360(0.20580.0845)47.67米

2880R5S6直线：b56360(r567)(3)

同理，如图1因为A46,A45,A43,A42,A41均有直线通过，所以仅可能A44存在空洞，空洞直径大小d25(37.0847.67)/242.735米。 将P4Q5直线与P5Q4直线分别用于方程（1）

L45)33.99米 2880LP5Q4直线: a54360(t5454)38.59米

288033.9938.5936.09米 空洞直径大小：d442P4Q5直线：a45360(t45利用上述方法可得到d53为39.58米

其余空洞洞径的大小也可通过上述方法计算：

- - 13

PQ32直线与P2Q3直线所对应的空洞长度a32与a23分别是128.454米和118.302米，

则得

d22d23d25128.454118.302123.378米2（）1

PQ34直线与P4Q3直线所对应的空洞长度a34和a43分别是119.094米和115.026米，

则得

d32d33d34119.094115.026117.06米2 （2）R2S3直线与R3S2所对应的空洞长度b23和b32分别是72米和85米，则得到空洞洞

径关系式

d22d32728578.5米2 （3）PQ则17直线与R1S7直线所对应的空洞长度a17和b17分别为160.83米和163.53米，

得

d22d33d44160.83163.53=114.68米22（4）

因为考虑到PQ所以将方程两边同17和R1S7直线均是对角线的方式通过方格区域，除2

解方程(1)到（4）所得的计算结果如下表所示：

空洞直径 d22 d23 d32 d33 d34 d44 d53 d25 长度 41.24 40.76 37.36 39.43 40.27 36.09 39.58 42.37 由此可得的洞径A22,A23,A25,A32,A33,A34,A44,A53均在40米左右，计算得空洞直径dij的长度大于方格长度的归于误差，据此检验有这八个空洞并且其位置都是合理的。

六、模型评价与改进

对于我们所建立的模型，我们进过研究对其进行了客观的评价，即展现出了它的优点，又指明了它存在的不足。由于模型中存在着一定的不足，现在我们将会模型进行相应的改进和优化。

优点：对于同一个问题，我们既运用了0-1规划法，从大范围到小范围从整体到局部比较系统的逐步搜索来探究空洞分布情况，又运用连线的方法，将空洞可能存在区域用图标示出来，然后通过计算各可能存在空洞近似的洞径，检验结

- -

14

果的准确性。模型直观，计算简单。

缺点：模型的假设是理想简化的，我们在研究问题时一切都是以假设空洞与介质是以方格分布的为基础的，这一假设只为简化研究，实际是不可能实现的，并且由于弹性波波源数量的限制，在研究中空洞检测的死角无法消除，并且实际的测量误差总是存在的以及仪器测量的精度问题，种种因素使得我们所能得到的结果与实际的偏差是较大的。

为较好地解决问题，我们提出了优化方案首先设置尽可能多的弹性波波源与接收器，使得波径密度加大，显然当波径密度达到无穷大时可以完全将空洞的位置与形态描绘出来，但这是不可能实现的，因此只能尽量增加波径密度。据算出的最大测量误差时间，和弹性波在空气中的传播速度v空=320m，即可得出能测

s出的空洞长度的最小值L最小 L最小=r7,7v空=0.025320=8m

由此可得出能测出的最小值为8m。8m的直径范围是弹性波灵敏度的底线，而仪器的灵敏度不能改变与测量误差不可消除，因此只使得波径间空隙直径小于8米即可使得对死角的测量误差减小到最低限度。

七、模型推广

0-1规划具有广泛的应用背景。比如经济管理中的实际问题的解必须满足逻辑条 件和顺序要求等一些特殊的约束条件，此时，往往需要引进0-1变量以达到表示“是” （用 1 表示）与“非” （用 0 表示） 。而 0-1 变量又是整数变量应用中最活跃的部分，它可以数量化地描述诸如开与关、取与弃、有与无等现象所反映的离散变量间的逻辑关系和顺序关系。借助 0-1 变量还可以使很多含“非此即彼”的、相互排斥的决策变量和约束条件放在一个模型中统一研究，帮助回答管理中出现的“是”与“否”等二元决策问题。此外，线路设计、工厂选址、生产计划安排、旅行购物、背包问题、人员安排、代码选取、可靠性等诸多问题都可化为 0-1 规划来求解。对于很多管理问题无法归结为线性规划的数学模型，可以借助0-1变量，将很多含“非此即彼”的、相互排斥的决策变量和约束条件放在一个模型中统一研究，从而建立起相应的0-1规划模型。0-1规划模型最简单适用，计算过程非常简捷，整个计算判断过程可以在同一张表台上进行，非常方便直观。只要灵活运用，便能很好地解决生活中的各种0-1规划的实际问题。

八、参考文献

【1】空洞探测模型 徐华锋，张晓东，全焕；

【2】数学模型（第二版）M. 姜启源 北京：高等教育出版社，1991；

【3】大学生数学建模竞赛辅导教材（三）M. 长沙：湖南教育出版社，1999； 【4】胡运权，运筹学（M），清华大学出版社，1999年版；

【5】朱雪莲等，文山师范高等专科学校学报，13卷，2001年1期。

- -

15

九、附录

附表一 弹性波从Pi到Qj所需要的时间表：

tij P1 P2 P3 P4 P5 P6 - -

Q1 0.0611 0.0989 0.3052 0.3221 0.3490 0.3807 Q2 0.0895 0.0592 0.4131 0.4453 0.4529 0.3177 Q3 0.1996 0.4413 0.0598 0.4040 0.2263 0.2364 Q4 0.2032 0.4318 0.4153 0.0738 0.1917 0.3064 16

Q5 0.4181 0.4770 0.4156 0.1789 0.0839 0.2217 Q6 0.4923 0.5242 0.3563 0.0740 0.1768 0.0939 Q7 0.5646 0.3805 0.1919 0.2122 0.1810 0.1031 P7 0.4311 0.3397 0.3566 0.1954 0.0760 0.0688 0.1042 附表二 弹性波从Ri到Sj所需要的时间表：

τij R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7

S1 0.0645 0.0753 0.3456 0.3655 0.3165 0.2749 0.4434 S2 0.0602 0.0700 0.3205 0.3289 0.2409 0.3891 0.4919 S3 0.0813 0.2852 0.0974 0.4247 0.3214 0.5895 0.3904 S4 0.3516 0.4341 0.4093 0.1007 0.3256 0.3016 0.0786 S5 0.3867 0.3491 0.4240 0.3249 0.0904 0.2058 0.0709 S6 0.4314 0.4800 0.4540 0.2134 0.1874 0.0841 0.0914 S7 0.5721 0.4980 0.3112 0.1017 0.2130 0.0706 0.0583 弹性波在波源与接收器间以均匀介质传播速度理论值求解Mathmatic程序： t=zeros(7,7); a=2880; b=240; c=40;

for i=1:7 for j=1:7 if i==j t(i,j)=b/a; else

t(i,j)=t(j,i);

t(i,j)=sqrt(b*b+c*(i-j)*c*(i-j))/a; end end end t

输出的结果为： t =

0.0833 0.0845 0.0878 0.0932 0.1002 0.1085 0.1179 0.0845 0.0833 0.0845 0.0878 0.0932 0.1002 0.1085 0.0878 0.0845 0.0833 0.0845 0.0878 0.0932 0.1002 0.0932 0.0878 0.0845 0.0833 0.0845 0.0878 0.0932 0.1002 0.0932 0.0878 0.0845 0.0833 0.0845 0.0878 0.1085 0.1002 0.0932 0.0878 0.0845 0.0833 0.0845

0.1179 0.1085 0.1002 0.0932 0.0878 0.0845 0.0833 图表如下：

附表三 各条弹性波的标准时间值

- - 17

Tij

Q1 0.08333 0.08448 0.08784 0.09316 0.10015 0.10847 0.11785 Q2 0.08448 0.08333 0.08448 0.08784 0.09316 0.10015 0.10847 Q3 0.08784 0.08784 0.08333 0.08448 0.08784 0.09316 0.10015 Q4 0.09316 0.08784 0.08448 0.08333 0.08448 0.08781 0.093169 Q5 0.1001 0.0931 0.0878 0.0844 0.0833 0.0844 0.0878 Q6 0.1084 0.1001 0.0931 0.0874 0.0844 0.0833 0.0844 Q7 0.11785 0.10847 0.10015 0.09316 0.08784 0.08448 0.08333 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 （附：因为问题中的矩形为正方形，所以Ri到Sj弹性波所需的标准时间与Pi到Qj相同） 附图一：

Matlab软件输出的仅有波源Pi与接收器Qj时，弹性波路径图为：

- - 18