分段函数的几种常见题型及解法

分段函数的几种常见

题型及解法

数学组

分段函数的几种常见题型及解法

【关键词】 分段函数; 定义域; 值域或最值; 函数值; 解析式; 图像; 反函数; 奇偶性; 方程; 不等式.

分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数.它是一类表达形式特殊的函数,是中学数学中的一种重要函数模型。分段函数有关问题蕴含着分类讨论、数形结合等思想方法.

它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 对于分段函数类

型的求解不少同学感到困难较多， 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：

1． 求分段函数的定义域和值域

分段函数的定义域为每一段函数定义域的并集,在表示每一段函数中x的取值范围时,要确保做到定义域不重不漏,即交集为空集, 并集为整个定义域.值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。

x4,x2例1求函数yx3,0x1的定义域和值域

2x3,1x0

2x2x[1,0];x(0,2);的定义域、例1．求函数f(x)12x3x[2,);值域.

【解析】

作图, 利用“数形结合”易知f(x)的定义域为

-1y321o-112x[1,), 值域为(1,3].

例5．求函数

的值域。

解：因为当x≥0时，x2+1≥1；当x<0时，-x2<0。

1

所以，原函数的值域是[1,+∞)∪(-∞,0)。

注：分段函数的值域求解，只要分别求出各部分的值域，再取其并集即可。

2． 求分段函数的函数值

在求分段函数的值f(x0)时，一定首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式

ex,x0.1例1、（辽宁理）设g(x)则g(g())__________

2lnx,x0.2x1(x2),e2、（2006山东）设f(x)2(x1)log33、 已知

(x2).f1则f[f(2)] A.0 B.1 C.2 D.3

f(x) －log3(x + 1)(x>6)

x－6 ，若记 3(x≤6)

(x)为f(x)的反函数，且

1af1(),则

9f(a4) .

x22(x1),1149254 、设f(x)1 则f[f()] ( ） A. B. C. D.

2213541(x1).21xsinx(x0),11115、 已知f(x)则f()f()的值为 . 66f(x1)1(x0).|x1|2,(|x|1)4．（05年浙江理）已知函数f(x)1求f[f(12)].

,(|x|1)1x2【解析】

3311因为f(12)|21|22, 所以f[f(2)]f(2)14. 21(3)132

2

例1 已知函数

求f{f[f(a)]} (a<0)的值。

分析 求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由

a<0, f(a)=2a，又0<2a<1,

,

,

所以，。

注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段．

3．求分段函数的最值

4x3(x0)例3．求函数f(x)x3(0x1)的最大值.

x5(x1)【解析】当x0时, fmax(x)f(0)3, 当0x1时, 当x1时, x5154, 综上有fmax(x)4.

例4．设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R, 求f(x)的最小值。

分析：因为原函数可化为

3

fmax(x)f(1)4,

所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可。

解：当x所以若

，则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减，从而f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1。

若

，则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为，且；

当x≥a时，函数

；

若

，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为，且。

若

，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1。

综上，当

时，函数f(x)的最小值是；

当

时，函数f(x)的最小值是a2+1；

当时，函数f(x)的最小值是

f。

g(2005上海高考题)对定义域分别是

D,D的函数yf(x),yg(x).规定：

4

f(x)g(x),当xD且xD,fg函数h(x)f(x),当xDf且xDg

当xDg且xDfg(x),（I）若函数f(x)1,g(x)x2，写出函数h(x)的解析式； x1（II）求问题（I）中函数h(x)的最大值；

注：分段函数的最值求解的方法是先分别求出各段函数的最值，再进行大小比较，从而达到求解的目的。

4．求分段函数的解析式

例4．在同一平面直角坐标系中, 函数yf(x)和yg(x)的图象关于直线yx对称, 现将yg(x)的图象沿x轴向左平移2个单位, 再沿y轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数f(x)的表达式为（ ）

2x2(1x0)A.f(x)x

2(0x2)22x2(1x0)B.f(x)x

22(0x2)2x2(1x2)C.f(x)x

1(2x4)22x6(1x2)D.f(x)x

23(2x4)【解析】

当x[2,0]时, y平移

1

12y321-2-1o1xx1, 将其图象沿x轴向右平移2个单位, 再沿y轴向下

12个单位, 得解析式为y12(x2)11x1, 所以

f(x)2x2(x[1,0]), 当x[0,1]时, y2x1, 将其图象沿x轴向右平移2

5

个单位, 再沿y轴向下平移1个单位, 得解析式y2(x2)112x4, 所以

2x2(1x0)f(x)1x2(x[0,2]), 综上可得, 故选A. f(x)x222(0x2)

5．作分段函数的图像 例5．函数ye|lnx||x1|的图像大致是（ ）

yy11oOx11xA

yB

y1xO1C1xO1D

例9．已知函数f(x)=|x2-2x-3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点，求a的值。

解：∵ f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|,

∴

由图象易知a=4。

注：此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像，再根据数形结合的方法求出，不用写出函数解析式，更简单。

6

6．求分段函数得反函数

例6已知yf(x)是定义在R上的奇函数, 且当x0时, f(x)31, 设

xf(x)得反函数为yg(x), 求g(x)的表达式.

【解析】

设x0, 则x0, 所以f(x)3x1, 又因为f(x)是定义在R上的奇函数,

x所以f(x)f(x), 且f(0)0, 所以f(x)13, 因此

3x1(x0)log3(x1)(x0)(x0). f(x)0(x0), 从而可得g(x)013x(x0)log(1x)(x0)3 注 ：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可。

7．判断分段函数的奇偶性

2x(x1)(x0)例7．判断函数f(x)的奇偶性.

2x(x1)(x0)【解析】

当x0时, x0, f(x)(x)(x1)x(x1)f(x), 当x0时,

22f(0)f(0)0, 当x0, x0, f(x)(x)2(x1)x2(x1)f(x)因此, 对于任意xR都有f(x)f(x), 所以f(x)为偶函数.

注：分段函数的奇偶性必须对x的值分类，从而比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是奇偶函数的结论。

8．判断分段函数的单调性

3xx(x0)例8．判断函数f(x)2的单调性.

(x0)x【解析】

显然f(x)连续. 当x0时, f(x)3x11恒成立, 所以f(x)是单调递增函

'2 7

数, 当x0时, f(x)2x0恒成立, f(x)也是单调递增函数, 所以f(x)在R上是单调递增函数; 或画图易知f(x)在R上是单调递增函数.

注：分段函数的单调性的讨论必须对自变量的值分类讨论。

'

例9．写出函数f(x)|12x||2x|的单调减区间.

y3x1(x12)(1【解析】f(x)3x2x2), 画图易知单调

3x1(x2)减区间为(,12].

9．解分段函数的方程

-12552o2x1x2(|x|1)1、.函数f(x)=，如果方程f(x)=a有且只有一个实根，那么a满足

|x|(|x|1)A.a<0

B.0≤a<1

C.a=1

D.a>1

2、设定义为R的函数f(x)lgx1,x1,2则关于x的方程f(x)bf(x)c0

x0.0,有7个不同的实数解的充要条件是 （ ） A. b0且c0 B. b0且c0 C. b0且c0 D. b0且c0 3、设函数

f(x)在(,)上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，

f(1)f(3)0.

且在闭区间[0,7]上，只有 （Ⅰ）试判断函数y （Ⅱ）试求方程

f(x)的奇偶性；

f(x)0在闭区间[2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论.

2xx(,1]1例10．（01年上海）设函数f(x), 则满足方程f(x)的x的

4log81xx(1,)值为

【解析】 若2xx1, 若log81x122, 得x2(,1], 所以x2（舍去）4, 则24,

8

则x81, 解得x3(1,), 所以x3即为所求.

10．解分段函数的不等式

14(x0)1　　2已知f(x)，则不等式x(x2)f(x2)5的解集是________

1　　(x0)x12e,x2,3、（山东理）设f(x)=  则不等式f(x)>2的解集为 2log3(x1),x2,(A)（1，2）（3，+∞）(B)（10，+∞）(C)（1，2） （10 ，+∞）(D)（1，2）

1(x为有理数)4、 设f(x)=，使所有x均满足x·f(x)≤g(x)的函数g(x)是（ ）

0(x为无理数)A．g(x)=sinx B．g(x)=x C．g(x)=x2 D．g(x)=|x|

2x1(x0)例11．设函数f(x)1, 若

2(x0)xf(x0)1, 则x0得取值范围是（ ）

yA.(1,1) B.(1,) C.(,2)(0,) D.(,1)(1,)

【解析1】

首先画出yf(x)和y1的大致图像, 易知f(x0)1时, 所对应的x0的取值范围是(,1)(1,).

【解析2】

x因为f(x0)1, 当x00时, 2011, 解得x01, 当x00时, 121x-11x01, 解得x01, 综上x0的取值范围是(,1)(1,). 故选D.

2(x1)(x1)例12．设函数f(x), 则使得f(x)1的自变量x的取值范围为

4x1(x1) 9

（ ）

A．(,2][0,10] B. (,2][0,1] C. (,2][1,10] D. [2,0][1,10] 【解析】

当x1时, f(x)1(x1)1x2或x0, 所以x2或0x1, 当x1时, f(x)142x11x13x10, 所以1x10, 综

上所述, x2或0x10, 故选A项.

【点评：】

以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.

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