1+sinx的平方分之一的不定积分

要求计算积分： ∫ (1 + sinx)² dx 解法一：

首先，我们可以展开方程(1 + sinx)²：

(1 + sinx)² = 1 + 2sinx + sin²x = 1 + 2sinx + 1/2(1 - cos2x)

所以，

∫ (1 + sinx)² dx = ∫ (1 + 2sinx + 1/2(1 - cos2x)) dx 对于∫(1 + 2sinx) dx，我们可以直接计算得： ∫(1 + 2sinx) dx = x - 2cosx + C₁（常数C₁） 对于∫(1 - cos2x)/2 dx，我们可以进行换元： 令u = 2x，于是du = 2dx

当x = 0时，u = 0；当x = π/2时，u = π；

所以，

∫(1 - cos2x)/2 dx = ∫(1 - cosu)/4 du = ∫(1 - cosu)/4 du = 1/4(∫du - ∫cosu du) = 1/4(u - sinu) + C₂（常数C₂） = 1/4(2x - sin2x) + C₂ 综上所述，

∫ (1 + sinx)² dx = x - 2cosx + 1/4(2x - sin2x) + C = x + 1/2x - 2cosx - 1/4sin2x + C（C为常数） 解法二：

根据幂函数的积分法则，我们可以将∫ (1 + sinx)² dx转化为∫ (1 + sinx)² d(sinx)：

∫ (1 + sinx)² dx = ∫ (1 + sinx)² d(sinx) = ∫ (1 + sinx)² d(-cos(x + π/2))

= ∫ (1 + sinx)² (-d(cos(x + π/2))) = -∫ (1 + sinx)² d(cos(x + π/2)) = -∫ (1 + sinx)² d(-sin(x + π/2)) = ∫ (1 + sinx)² d(sin(x + π/2))

我们可以进行一个换元，令u = x + π/2，则du = dx 当x = 0时，u = π/2；当x = π/2时，u = π； 所以，

∫ (1 + sinx)² dx = ∫ (1 + sinx)² d(sin(x + π/2)) = ∫ (1 + sinx)² du 我们将(1 + sinx)²展开得：

(1 + sinx)² = 1 + 2sinx + sin²x = 1 + 2sinx + 1/2(1 - cos2x)

所以，

∫ (1 + sinx)² dx = ∫(1 + 2sinx + 1/2(1 - cos2x)) du

= ∫(1 + 2sinx) du + ∫1/2(1 - cos2x) du = u + cosu + C

= x + π/2 + cos(x + π/2) + C = x + π/2 - sinx + C 综上所述，

∫ (1 + sinx)² dx = x + π/2 - sinx + C （C为常数） 综上所述，∫ (1 + sinx)² dx的不定积分等于x + 1/2x - 2cosx - 1/4sin2x + C或者x + π/2 - sinx + C（C为常数）。