2010年海淀区中考二模数学试题

海淀区九年级第二学期期末测评

数 学 试 卷

（分数：120分 时间：120分钟） 2010.6 学校 姓名 准考证号 1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分.考试时间120分钟. 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．

考生须知 1 . -5的绝对值是（ ）

1515A. -5 B. C.  D. 5

2. 据统计，到目前为止，北京市的常住人口和外来人口的总和已经超过22 000 000人.将 22 000 000用科学记数法表示为（ ）

A. 0.2210 B. 2.210 C. 2.210 D. 2210 3. 如图是一个正方体的平面展开图，则这个正方体 “美”字所在面的对面标的字是（ ）

A．让 B．生

1

8766C．活 D．更

4.如图，直线a//b，直角三角板的直角顶点P在直线b上，若156，则2的度数为（ ）

A. °B. 44° C. 34° D. 24°

a125. 某班的9名同学的体重分别是（单位：千克）： 61，59， 70，59，65，67，59，63，57，这组数据的众数和中位数分别是（ ） bA．59，61 B．59，63 C．59，65 D． 57，61 6.下列计算正确的是（ ）

PA. 2a3a6a B. a2a3a6 C. a8a4a2 D. 2a34a6 7. 若关于x的一元二次方程k1x2xk20的一个根为1，则k的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 0或1

8．如右图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，1），点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC. 当C(x,y)AyC2在第一象限内时，下列图象中，可以表示y与x的函数关系的是

-11O-11Bx

A.

B. C. D. 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. 若分式

2x3x1的值为零，则x= ________________.

BAOCAC10. 如图，点A、B、C是半径为6的⊙O上的点，B30,则的长为________________.

211．若抛物线yx6xk的顶点的纵坐标为n,则kn的值

为 .

2

12. 图1是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角,每条边都相等.如图2将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形,其面积为8+42，则图3中线段AB的长为 .

AB

图1 图2 图3

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

213.计算：(3)02tan60()1327.

2x62(1x),14.解不等式组：2x3

x.415. 如图，点M、E分别在正方形ABCD的边AB、BC上，以M为圆心，ME的长为半径画弧，交AD边于点F.当EMF90时，求证：AFBM.

16.已知x6xy9y0，求代数式

22AMBEFD3x5y4xy22C(2xy)的值.

17．如图，直线yxn与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y4x在第一象限内交于点C(m,4).

（1）求m和n的值；

（2）若将直线AB绕点A顺时针旋转15得到直线l，求直线l的解析式.

18. 列方程（组）解应用题：

小明乘坐火车从某地到上海去参观世博园，已知此次行程为2160千米，城际直达动车

3

组的平均时速是特快列车的1.6倍.小明购买火车票时发现，乘坐动车组比乘坐特快列车少用6小时.求小明乘坐动车组到上海需要的时间.

四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题５分，第21题6分，第22题4分） 19. 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，

B30,C60,AD2,BC6,E为AB中点，

AEBFDCEFBC于F，求EF的长.

20. 已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，BCDA.

(1)求证：CD为⊙O的切线；

(2) 过点C作CEAB于E.若CE2,cosD径.

21.2010年1月10日,全国财政工作会议在北京召开.以下是根据2005年—2009年全国财政收入绘制的统计图的一部分（单位：百亿元）.

45BAO,求⊙O的半

DC

请根据提供的信息解答下列问题： （1） 完成统计图；

（2） 计算2005年—2009年这五年全国财政收入比上年增加额的平均数；

（3） 如果2010年全国财政收入按照（2）中求出的平均数增长，预计2010年全国财政收

入的金额达到多少百亿元？

4

22.阅读： D为ΔABC中BC边上一点，连接AD，E为AD上一点. 如图1，当D为BC边的中点时，有SEBDSECD，SABESACE；

BDDC 当m时，有

SEBDSECDSABESACEm.

AAPAEEBBPEDC

DC

BDC

图1 图2 图3

解决问题：

在ΔABC中，D为BC边的中点，P为AB边上的任意一点，CP交AD于点E．设

EDC的面积为S1，APE的面积为S2.

（1）如图2，当

BPAP1时，

1__________; 的值为S2S1S1（2）如图3，当

BPAPn时，

S21__________; 的值为 （3）若SABC24，S22，则

BPAP的值为__________.

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

223．已知：抛物线yx(a2)x2a（a为常数，且a0）.

（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；

（2）设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左侧），与y轴的交点为C.

①当AC25时，求抛物线的解析式；

②将①中的抛物线沿x轴正方向平移t个单位（t>0），同时将直线l：y3x沿y轴

5

正方向平移t个单位.平移后的直线为l'，移动后A、B的对应点分别为A'、B'.当t为何值时，在直线l'上存在点P，使得△A'B'P为以A'B'为直角边的等腰直角三角形?

24.如图，已知平面直角坐标系xOy中的点A(0,1),B(1,0)，M、N为线段AB上两动点，过点M作x轴的平行线交y轴于点E，过点N作y轴的平行线交x轴于点F，交直线EM于点P(x,y)，且SMPNSAEMSNFB.

（1）SAOB S矩形EOF（填“>”、“=”、“<”），y与x的函数关系P是 （不要求写自变量的取值范围）；

22（2）当x时，求MON的度数；

（3）证明: MON的度数为定值.

yAMENOFOBxOBxPyAyABx

（ 备用图） （备用图）

25.如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(0,2)，点D在x轴的正半轴上，

36ODB30，OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线yax2xc与x轴

相交于A、F两点（A在F的左侧）.

6

（1）求抛物线的解析式；

（2）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；

（3）点P为△ABO内的一个动点，设mPAPBPO，请直接写出m的最小值,以及m取得最小值时，线段AP的长.

（备用图）

海淀区九年级第二学期期末测评

数学试卷答案及评分参考

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

7

题 号 答 案 1 D 2 B 3 B 4 C 5 A 6 D 7 B 8 A 二、填空题（本题共16分，每小题4分）

题 号 9

10

11 12

答 案

32

2

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13.计算： (3)02tan60(123)27．

解： 原式=123933----------------------------------4分

=103．-------------------------------5分

解： 由 ① 得 x1．--------------------------------2分 由 ② 得 x32．--------------------------------4分

∴ 不等式组的解集是x1.---------------------------------5分15．证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴ AB90.---------------------------------1分 ∴ 1290.

∵ EMF90, ∴ 1390.

∴ 23.---------------------------------2分

9

21

1328

∵ E、F两点在⊙M上，

∴ MFME．---------------------------------3分 在△AMF和△BEM中，

AB,23, MFEM.∴ △AMF≌△BEM．---------------------------------4分 ∴ AFBM．---------------------------------5分 16．已知：x26xy9y20，求代数式

3x5y的值．4x2y2(2xy)解： x26xy9y20，

(x3y)20．

∴ x3y．---------------------------------1分

∴ 原式=

3x5y(2xy)(2xy)(2xy)---------------------------------2分

=

3x5y2xy ---------------------------------3分

=

3(3y)5y2(3y)y --------------------------------4分

=

145．--------------------------------5分

17．解：（1）∵ y4x经过C(m,4)，

∴ m1．-------------------------------1分 ∴ 点C的坐标为(1,4).

9

∵ 直线yxn经过点C(1,4)， ∴ n3．-----------------------------2分

（2）依题意，可得直线AB的解析式为yx3．

∴直线yx3与x轴交点为A(3,0)，与y轴交点为B(0,3)． ∴ OAOB. ∴ BAO45.

设直线l与y轴相交于D． 依题意，可得BAD15. ∴ DAO30.--------------------3分 在△AOD中，AOD90,

ODOA33tanDAOtan30.

∴ OD3.

∴ 点D的坐标为(0,3).-----------------------------4分

设直线l的解析式为ykxb(k0)．

b3, ∴ 

3kb0.lD3,k∴ 3

b3.33∴ 直线l的解析式为yx3．-------------------5分

10

18．解：设小明乘坐动车组到上海需要x小时.„„„1分 依题意，得

2160x2160x61.6.---------------------------------3分

解得 x10.---------------------------4分

经检验：x10是方程的解，且满足实际意义. 答：小明乘坐动车组到上海需要10小时.„„„5分

四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分） 19．解：过点A作AG∥DC，交BC于点G.---------------------------------1分

∴ 1C60. ∵ AD∥BC，

∴ 四边形AGCD为平行四边形. -------------------------------2分 ∴ CGAD2. ∵ BC6,

∴ BG4．--------------------------3分 ∵ B12180,B30, ∴ 290.

EBFA21GDC∴ 在△BAG中，ABBGcosB43223．--------------------------4分

又∵ E为AB中点， ∴ BE12AB3．

∵ EFBC于F，

∴ EF12BE32．--------------------------5分

20． （1）证明：连接CO. ---------------------------------1分

11

∵ AB是⊙O直径， ∴ 1OCB90. ∵ AOCO，

∴ 1A． ∵ 5A，

∴ 5OCB90. 即OCD90. ∴ OCCD. 又∵ OC是⊙O半径，

∴ CD为⊙O的切线．-------------------------3分（2）∵ OCCD于C， ∴ 3D90. ∵ CEAB于E， ∴ 3290. ∴ 2D.

∴cos2cosD.--------------------------4分 在△OCD中，OCD90， ∴ cos2CECO，

∵ cosD45，CE2，

∴ 24CO5．

∴ CO52．

AEO3B421D5C12

∴ ⊙O的半径为52.--------------------------5分

21． 解：(1)

-------------------------2分

(2)

5278119100725=

421584.2（百亿元）

答：这五年全国财政收入比上年增加额的平均数为84.2百亿元. --------------------4分（3）68584.2769.2（百亿元）

答：预计2010年全国财政收入的金额达到769.27百亿元.------------------------6分 22．（1）1; ------------------------1分

2）

n2（n2;------------------------3分

（3）2.-----------------------4分

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（1）证明：令y0,则x2(a2)x2a0.

△=(a2)28a(a2)2．------------------------------------------ 1分 ∵ a0, ∴ a20． ∴ △0.

∴ 方程x2(a2)x2a0有两个不相等的实数根.

∴ 抛物线与x轴有两个交点. ------------------------------------------ 2分

13

（2）①令y0,则x2(a2)x2a0，

解方程，得x12,x2a. ∵ A在B左侧,且a0,

∴ 抛物线与x轴的两个交点为A(a,0)，B(2,0).

∵ 抛物线与y轴的交点为C，

∴ C(0,2a). ------------------------------------------3分

∴ AOa,CO2a.

在Rt△AOC中，AO2CO2(25)2，

a2(2a)220．

可得 a2． ∵ a0， ∴ a2．

∴ 抛物线的解析式为yx24. ------------------------------------------ 4分 ②依题意，可得直线l'的解析式为A'(t2,0),B'(t2,0),A'B'AB4.

∵ △A'B'P为以A'B'为直角边的等腰直角三角形， ∴ 当PA'B'90时，点P的坐标为(t2,4)或(t2,4).

∴ 3(t2)t4.

解得 t5或t122.-------------------6分

当PB'A'90时，点P的坐标为(t2,4)或(t2,4).

y3xt14

，

∴3(t2)t4.

5212解得t或t52（不合题意，舍去）.

12综上所述，t或t.----------------------------------7分

24. 解：（1）SAOBS矩形EOFP；--------------------------------1分

y与x的函数关系是y12x；-----------------------------2分

（2）当x22时，y12x22.

∴ 点P的坐标为(22,22)．-------------------3分

可得四边形EOFP为正方形． 过点O作OHAB于H.

∵ 在Rt△AOB中，OAOB1， ∴ ABOA2OB22，H为AB的中点．

∴ OHAB222．

在Rt△EMO和Rt△HMO中， 2,EOHO 2

OMOM.∴ Rt△EMO≌Rt△HMO． ∴ 12．-------------------4分 同理可证34．

∵ 123490， ∴ 2345．

15

即MON45．-------------------5分

（3）过点O作OHAB于H.

12x12x依题意，可得 OEy，EM1y1，OH22，

HNHBNB222(1x).

∴

EMOEHNOH，OEMOHN90.

∴△EMO∽△HNO． ∴13．-------------------6分 同理可证24．

∵ 123490， ∴ 2345． 即MON45．-------------------7分

25.解：(1）过E作EG⊥OD于G．---------------------------1分 ∵ BODEGD90,D=D， ∴ △BOD∽△EGD．

∵ 点B(0,2)，ODB30，可得 OB2，OD23． ∵ E为BD中点， ∴

EGBODEDBGDOD12．

∴ EG1，GD3．

∴ OG3．

∴ 点E的坐标为(3,1).-----------2分

16

∵ 抛物线yax236xc经过B(0,2)、E(3,1)两点，

∴ 1a(3)23632.

可得a12.

∴ 抛物线的解析式为y12x236x2.------------------3分

(2）∵ 抛物线与x轴相交于A、F，A在F的左侧， ∴ A点的坐标为(3,0).

∴ AG23,EG1,

∴ 在△AGE中，AGE90,

AE2321213 . --------4分

过点O作OK⊥AE于K， 可得△AOK∽△AEG． ∴

OKAOEGAE．

∴ OK3113．

∴ OK3913.

∴ AKAOOK2261313.

∵ △OMN是等边三角形, ∴ NMO60．

17

39∴ KM13． 13tanKMO133OK713513∴ AMAKKM13,或AMAKKM13．---------6分

(写出一个给1分)

3）m可以取到的最小值为13．--------------7分

当m取得最小值时，线段AP的长为

51313.-----------------------------8分

（如遇不同解法，请老师根据评分标准酌情给分） 18

（