【解析版】2020—2021学年北京市怀柔区九年级上期末数学试卷

末数学试卷

一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1． A．

的倒数是( )

B．

C．2

D．﹣2

2．2020年上半年，怀柔国税局累计入库消费税11000多万元，将11000用科学记数法表示应为( ) A．1.1×104 B．1.1×103 C．11×103 D．0.11×105

3．如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠BOC=100°，则∠A的度数为( )

A．40°

B．50°

C．80°

D．100°

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是( ) A．

B．

C．

D．

5．将抛物线y=（x﹣1）2+3向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的表达式为( ) A．y=（x﹣2）2 B．y=x2 C．y=x2+6 D．y=（x﹣2）2+6

6．在某一时刻，测得一根高为1.2m的木棍的影长为2m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为( ) A．15m

B．

m

C．60 m

D．24m

7．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=( )

，AC=3，则CD的长为

A．1

B．

C．2

D．

8．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点动身，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是( )

A． B． C． D．

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式：9a2b﹣b3=__________．

10．已知两圆的半径分别为2cm和4cm，它们的圆心距为6cm，则这两个圆的位置关系是__________．

11．若函数y=

的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，则

m的取值范畴是__________．

12．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按如此的规律进行下去，第1个正方形的面积为__________；第n个正方形的面积为__________．

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．运算：3tan30°+（2﹣

）0﹣（）1+|﹣

﹣

|．

14．已知抛物线y=x2﹣4x+5，求出它的对称轴和顶点坐标．

15．解不等式组：

．

16．已知x2+4x﹣5=0，求代数式2（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣2）2的值．

17．如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米，太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°．求接线柱AB的长．

18．已知：抛物线y=x2﹣2（m+2）x+m2﹣1与x轴有两个交点． （1）求m的取值范畴；

（2）当m为非正整数时，关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2﹣1有整数根，求m的值．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图，在四边形ABCD中，∠A=30°，∠C=90°，∠ADB=105°，sin∠BDC=DC的长．

，AD=4．求

20．在一个不透亮的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别． （1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是多少？

（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能显现的结果，并求两次取出的差不多上白色球的概率．

21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）． （1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′，请画出△A′BC′，并求BA边旋转到BA″位置时所扫过图形的面积；

（2）请在网格中画出一个格点△A″B″C″，使△A″B″C″∽△ABC，且相似比不为1．

22．如图，在⊙O中，直径AB交弦ED于点G，EG=DG，⊙O的切线BC交DO的延长线于点C，F是DC与⊙O的交点，连结AF． （1）求证：DE∥BC；

（2）若OD=1，CF=，求AF的长．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n通过点A（﹣1，a ），B（3，a），且最低点的纵坐标为﹣4．

（1）求抛物线的表达式及a的值；

（2）设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D，点P是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．假如直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P纵坐标t的取值范畴．

24．关于点E和四边形ABCD，给出如下定义：在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，能够把四边形ABCD分成三个三角形，假如其中有两个三角形相似，则称E为四边形ABCD边AB上的“相似点”；假如这三个三角形都相似，我们称E为四边形ABCD边AB上的“强相似点”．

（1）如图1，在四边形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，点E是AB边上一点，∠DEC=45°，试判定点E是否是四边形ABCD边AB上的相似点，并证明你的结论正确； （2）如图2，在矩形ABCD中，AB=8，AD=3．

①在AB边上是否存在点E，使点E为四边形ABCD边AB上的“强相似点”．若存在，有几个？试在图2中画出所有强相似点； ②在①所画图形的基础上求AE的长．

25．在△ABC中，∠A=30°，AB=2，将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到△DBE，其中点A的对应点是点D，点C的对应点是点E，AC、DE相交于点F，连接BF．

（1）如图1，若α=60°，线段BA绕点B旋转α得到线段BD．请补全△DBE，并直截了当写出∠AFB的度数；

（2）如图2，若α=90°，求∠AFB的度数和BF的长； （3）如图3，若旋转α（0°＜α＜90°），请直截了当写出∠AFB的度数及BF的长（用含α的代数式表示）．

2020-2020学年北京市怀柔区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．

的倒数是( )

B．

C．2

D．﹣2

A．

考点：倒数．

分析：互为倒数的两数之积为1，从而可得出答案．

解答： 解：﹣的倒数为﹣2．

故选D．

点评：此题考查了倒数的知识，属于基础题，注意把握互为倒数的两数之积为1．

2．2020年上半年，怀柔国税局累计入库消费税11000多万元，将11000用科学记数法表示应为( ) A．1.1×104 B．1.1×103 C．11×103 D．0.11×105

考点：科学记数法—表示较大的数．

分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 解答： 解：将11000用科学记数法表示为1.1×104． 故选A．

点评：本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠BOC=100°，则∠A的度数为( )

A．40° B．50° C．80° D．100°

考点：圆周角定理．

分析：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，由此可得出答案．

解答： 解：由题意得∠A=∠BOC=×100°=50°．

故选B．

点评：本题考查了圆周角定理，属于基础题，把握圆周角定理的内容是解答本题的关键．

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是( ) A．

B．

C．

D．

考点：同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系． 分析：依照互余两角的三角函数关系进行解答． 解答： 解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∴cosB=sinA，

∵sinA=， ∴cosB=．

故选：B．

点评：本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键．在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：

①一个角的正弦值等于那个角的余角的余弦值，即sinA=（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于那个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°﹣∠A）； 也能够明白得成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．

5．将抛物线y=（x﹣1）2+3向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的表达式为( )

A．y=（x﹣2）2 B．y=x2 C．y=x2+6 D．y=（x﹣2）2+6 考点：二次函数图象与几何变换． 专题：几何变换．

分析：先确定抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），再利用点平移的规律得到点（1，3）平移后对应点的坐标为（2，6），然后依照顶点式写出平移后的抛物线解析式．

解答： 解：抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），把点（1，3）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得对应点的坐标为（2，6），因此新抛物线的表达式为y=（x﹣2）2+6． 故选D．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，因此求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

6．在某一时刻，测得一根高为1.2m的木棍的影长为2m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为( ) A．15m

B．

m

C．60 m

D．24m

考点：相似三角形的应用．

分析：依照同时同地物高与影长成正比列出比例式求解即可． 解答： 解：设旗杆的高度为xm，

由题意得，=，

解得x=15，

答：这根旗杆的高度为15m． 故选A．

点评：本题考查了相似三角形的应用，要紧利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．

7．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD的长为( )

A．1

B．

C．2

D．

考点：相似三角形的判定与性质．

分析：由条件可证明△CBD∽△CAB，可得到解答： 解：∵∠DBC=∠A，∠C=∠C， ∴△CBD∽△CAB， ∴

=

，即

=

，

=，代入可求得CD．

∴CD=2， 故选C．

点评：本题要紧考查相似三角形的判定和性质，把握相似三角形的判定方法是解题的关键．

8．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点动身，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是( )

A． B． C． D．

考点：动点问题的函数图象． 专题：压轴题；动点型．

分析：①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，依照同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．

解答： 解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4； ②点P在BC上时，3＜x≤5， ∵∠APB+∠BAP=90°， ∠PAD+∠BAP=90°， ∴∠APB=∠PAD， 又∵∠B=∠DEA=90°， ∴△ABP∽△DEA，

∴=，

即=， ∴y=

，

纵观各选项，只有B选项图形符合． 故选：B．

点评：本题考查了动点问题函数图象，要紧利用了相似三角形的判定与性质，难点在于依照点P的位置分两种情形讨论．

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式：9a2b﹣b3=b（3a+b）（3a﹣b）．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．

专题：运算题．

分析：原式提取b后，利用平方差公式分解即可． 解答： 解：原式=b（9a2﹣b2） =b（3a+b）（3a﹣b）． 故答案为：b（3a+b）（3a﹣b）． 点评：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练把握因式分解的方法是解本题的关键．

10．已知两圆的半径分别为2cm和4cm，它们的圆心距为6cm，则这两个圆的位置关系是外切．

考点：圆与圆的位置关系．

分析：依照圆心距和两圆半径的之间关系可得出两圆之间的位置关系． 解答： 解：∵2+4=6，

∴依照圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2的位置关系是外切． 故答案为：外切．

点评：本题考查了由数量关系来判定两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；内切P=R﹣r；内含P＜R﹣r．

11．若函数y=的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，则

m的取值范畴是m＜2．

考点：反比例函数的性质．

分析：先依照反比例函数的性质得出关于m的不等式，求出m的取值范畴即可．

解答： 解：∵函数y=的图象在每一象限内y的值随x值的增大而增大，

∴m﹣2＜0， 解得m＜2．

故答案为：m＜2． 点评：本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数在每一象限内的增减性是解答此题的关键．

12．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按如此的规律进行下去，第1个正方形的面积为5；第n个正方形的面积为5×（）2n2．

﹣

考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质． 专题：规律型． 分析：依照相似三角形的判定原理，得出△AA1B∽△A1A2B1，继而得知∠BAA1=∠B1A1A2；利用勾股定理运算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式运算第一个正方形的面积，从中找出规律，进而可求出第n个正方形的面积． 解答： 解：设正方形的面积分别为S1，S2…，Sn， 依照题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，

∴∠BAA1=∠B1A1A2=∠B2A2x（同位角相等）． ∵∠ABA1=∠A1B1A2=∠A2B2x=90°， ∴△BAA1∽△B1A1A2，

在直角△ADO中，依照勾股定理，得：AD=∵tan∠BAA1=∴BA1=AB=∴CA1=

+

=tan∠ADO， ， ，

+

）×（1+），

）2=5，

，tan∠ADO==，

同理，得：C1A2=（

由正方形的面积公式，得：S1=（S2=（S3=（

）2×（1+）2，

）2×（1+）4=5×（）4，

）2×（1+）2

﹣

由此，可得Sn=（

（n﹣1）

=5×（）2n2．

﹣

故答案为：5；5×（）2n2．

点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是依照运算的结果得出规律，题目比较好，然而一道比较容易出错的题目．

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．运算：3tan30°+（2﹣

）0﹣（）1+|﹣

﹣

|．

考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；专门角的三角函数值． 专题：运算题．

分析：原式第一项利用专门角的三角函数值运算，第二项利用零指数幂法则运算，第三项利用负指数幂法则运算，最后一项化为最简二次根式，运算即可得到结果．

解答： 解：原式=3×+1﹣2+2=3﹣1．

点评：此题考查了实数的运算，熟练把握运算法则是解本题的关键．

14．已知抛物线y=x2﹣4x+5，求出它的对称轴和顶点坐标．

考点：二次函数的性质．

分析：把函数解析式整理成顶点形式，然后写出对称轴和顶点坐标即可． 解答： 解：y=x2﹣4x+5 =x2﹣4x+4﹣4+5 =x2﹣4x+4+1 =（x﹣2）2+1，

因此抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，1）．

点评：本题考查了二次函数的性质，把函数解析式整理顶点式形式求解更加简便．

15．解不等式组：．

考点：解一元一次不等式组．

分析：先求出每个不等式的解集，再依照找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．

解答： 解：

∵解不等式①得：x≤3， 解不等式②得：x＞﹣1，

∴不等式组的解集为﹣1＜x≤3． 点评：本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能依照不等式的解集找出不等式组的解集．

16．已知x2+4x﹣5=0，求代数式2（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣2）2的值．

考点：整式的混合运算—化简求值．

专题：运算题．

分析：原式利用平方差公式及完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入运算即可求出值．

解答： 解：∵x2+4x﹣5=0，即x2+4x=5，

∴原式=2x2﹣2﹣x2+4x﹣4=x2+4x﹣6=5﹣6=﹣1．

点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练把握运算法则是解本题的关键．

17．如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米，太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°．求接线柱AB的长．

考点：解直角三角形的应用．

分析：过D作DN⊥AC于N，过B作BF⊥AC于F．由题意可求得DN=BF=解直角三角形可求出AB的长度．

解答： 解：作DN⊥AC于N，BF⊥AC于F． ∵CD=1m，∠ACD=60°， ∴DN=BF=

．

，再由∠A=30°

在Rt△AFB中∠A=30°，BF=AB， ∴AB=2BF=

（m）．

点评：本题考查了解直角三角形的应用，专门角的三角函数值要熟练把握．

18．已知：抛物线y=x2﹣2（m+2）x+m2﹣1与x轴有两个交点． （1）求m的取值范畴；

（2）当m为非正整数时，关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2﹣1有整数根，求m的值．

考点：抛物线与x轴的交点；根的判别式． 分析：（1）抛物线与x轴有两个交点，则△=b2﹣4ac＞0，从而求出m的取值范畴．

（2）依照（1）求出m的值．然后将其代入关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2﹣1，通过解方程求得该方程的根，通过该方程的根是否是整数进行验证即可．

解答： 解：（1）∵抛物线y=x2﹣2（m+2）x+m2﹣1与x轴有两个交点， ∴△=b2﹣4ac＞0，

即[﹣2（m+2）]2﹣4（m2﹣1）=16m+20＞0， 解得m＞﹣，即m的取值范畴是m＞﹣；

（2）由（1）知，m＞﹣．

∵m为非正整数， ∴m=0或m=﹣1．

①当m=0时，由原方程得到：y=x2﹣4x﹣1． 解得 x=（不合题意）． 则m=0不合题意；

②当m=﹣1时，由原方程得到：y=x2﹣2x=x（x﹣2）． 解得 x1=0，x2=2， 0和2差不多上整数， 则m=﹣1符合题意．

综上所述，m的值是﹣1．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：①抛物线与x轴有两个交点，则△＞0；②抛物线与x轴无交点，则△＜0；③抛物线与x轴有一个交点，则△=0．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图，在四边形ABCD中，∠A=30°，∠C=90°，∠ADB=105°，sin∠BDC=DC的长．

，AD=4．求

考点：解直角三角形．

分析：先在Rt△BCD中，由sin∠BDC=，得出∠BDC=60°，∠CBD=90°﹣∠BDC=30°，

则∠ADC=∠ADB+∠BDC=165°，依照四边形内角和定理求出∠ABC=360°﹣∠A﹣∠ADC﹣∠C=75°，因此∠ABD=75°﹣30°=45°．在△ABD中，由正弦定理得出

=

，

即=，求出BD=2，然后在Rt△BCD中利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得

出DC=BD=．

，

解答： 解：在Rt△BCD中，∵∠C=90°，sin∠BDC=∴∠BDC=60°，∠CBD=90°﹣∠BDC=30°， ∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=105°+60°=165°， ∴∠ABC=360°﹣∠A﹣∠ADC﹣∠C=75°， ∴∠ABD=75°﹣30°=45°． 在△ABD中，∵∴

=

， ，

．

=

，

∴BD=2

∴DC=BD=

点评：本题考查了解直角三角形，专门角的三角函数值，四边形内角和定理，正弦定理，含30°角的直角三角形的性质，难度适中．求出BD的长是解题的关键．

20．在一个不透亮的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别． （1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是多少？

（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能显现的结果，并求两次取出的差不多上白色球的概率．

考点：列表法与树状图法；概率公式． 分析：（1）由在一个不透亮的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，直截了当利用概率公式求解即可求得答案；

（2）第一依照题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出白颜色球的情形，再利用概率公式即可求得答案． 解答： 解：（1）∵在一个不透亮的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，

∴随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是：； （2）画树状图得：

由树形图可知所有可能的情形有9种，其中两次取出的差不多上白色球有1种，因此两次取出的差不多上白色球的概率=．

点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法能够不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题属于放回实验．

21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）． （1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′，请画出△A′BC′，并求BA边旋转到BA″位置时所扫过图形的面积；

（2）请在网格中画出一个格点△A″B″C″，使△A″B″C″∽△ABC，且相似比不为1．

考点：作图-旋转变换；作图—相似变换． 分析：（1）利用旋转的性质得出各对应点位置进而利用扇形面积公式得出答案； （2）利用相似三角形的性质将各边扩大2倍，进而得出答案． 解答： 解；（1）如图所示：△A′BC′即为所求，

∵AB==，

∴BA边旋转到BA″位置时所扫过图形的面积为：

（2）如图所示：△A″B″C″∽△ABC，且相似比为2．

=；

点评：此题要紧考查了相似变换以及旋转变换，得出对应点位置是解题关键．

22．如图，在⊙O中，直径AB交弦ED于点G，EG=DG，⊙O的切线BC交DO的延长线于点C，F是DC与⊙O的交点，连结AF． （1）求证：DE∥BC；

（2）若OD=1，CF=，求AF的长．

考点：切线的性质． 分析：（1）依照垂径定理和切线的性质定理就可证得；

（2）连接BF，BD，依照切线长定理就可求得BC，进而依照三角形相似求得BD=然后依照勾股定理就可求得． 解答： 解：（1）∵直径AB交弦ED于点G，EG=DG， ∴AB⊥ED，

∵BC是⊙O的切线， ∴AB⊥BC， ∴DE∥BC；

（2）连接BF，BD，

BF，

∵OD=1，CF=， ∴CD=OD+CF=， ∵BC是⊙O的切线， ∴BC2=CF•CD=×=∴BC=

，

，

∵∠CBF=∠CDB，∠BCF=∠DCB， ∴△CBF∽△CDB， ∴

=

=

，

∴BD=BF， ∵AF=BD， ∴AF=BF， ∵AB是直径， ∴∠AFB=90°， ∴AF2+BF2=AB2， ∴AB=2OD=2，

∴AF2+（AF）2=22，

∴AF=．

点评：本题考查了垂径定理的应用，切线的性质定理，直径所对的圆周角的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，作出辅助线构建直角三角形和相似三角形是本题的关键．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n通过点A（﹣1，a ），B（3，a），且最低点的纵坐标为﹣4．

（1）求抛物线的表达式及a的值；

（2）设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D，点P是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．假如直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P纵坐标t的取值范畴．

考点：二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式． 分析：（1）依照点A、B的坐标能够得到对称轴方程为x=1，结合已知条件得到该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），则易求该抛物线的解析式； （2）通过图象能够看出点B纵坐标t的取值范畴． 解答： 解：（1）∵抛物线y=2x2+mx+n过点A（﹣1，a ），B（3，a）， ∴抛物线的对称轴x=1．

∵抛物线最低点的纵坐标为﹣4， ∴抛物线的顶点是（1，﹣4）．

∴抛物线的表达式是y=2（x﹣1）2﹣4， 即y=2x2﹣4x﹣2．

把A（﹣1，a ）代入抛物线表达式，求出a=4；

（2）∵抛物线顶点C（1，﹣4）关于y轴的对称点为点D， ∴D（﹣1，﹣4）．

求出直线CD的表达式为y=﹣4．

求出直线BD的表达式为y=2x﹣2，当x=1时，y=0． 因此﹣4＜t≤0．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与几何变换．需要学生具备画图的能力和识别图形的能力，要熟练把握．

24．关于点E和四边形ABCD，给出如下定义：在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，能够把四边形ABCD分成三个三角形，假如其中有两个三角形相似，则称E为四边形ABCD边AB上的“相似点”；假如这三个三角形都相似，我们称E为四边形ABCD边AB上的“强相似点”．

（1）如图1，在四边形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，点E是AB边上一点，∠DEC=45°，试判定点E是否是四边形ABCD边AB上的相似点，并证明你的结论正确； （2）如图2，在矩形ABCD中，AB=8，AD=3．

①在AB边上是否存在点E，使点E为四边形ABCD边AB上的“强相似点”．若存在，有几个？试在图2中画出所有强相似点； ②在①所画图形的基础上求AE的长．

考点：相似形综合题． 分析：（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，专门容易证明△ADE∽△BEC，因此问题得解；

（2）①以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求；②连接DE、CE．设AE=x，则EB=8﹣x，AD=3，依照点E是四边形ABCD边AB上的“强相似点”．得到△ADE∽△BCE，因此得到

，代入相关数据

，解方程即可得到结果．

解答： 解：（1）由图可知，∠A=∠B=45°， ∵∠DEC=45°，

∴∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135° ∴∠ADE=∠CEB， ∴△ADE∽△BEC，

∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．

（2）①如图1所示，在AB边上存在点E，使点E为四边形ABCD边AB上的“强相似点”，如此的点有2个，点E，E′即为所求； ②连接DE、CE． 设AE=x，

∴EB=8﹣x，AD=3，

∵点E是四边形ABCD边AB上的“强相似点”． ∴△ADE∽△BCE， ∴

，

∵AD=BC=3， ∴

，

解得：x=4±，

∴AE=4+或AE=4﹣

．

点评：本题是相似三角形综合题，要紧考查了相似三角形的对应边成比例的性质，读明白题目信息，明白得强相似点的定义是解题的关键．

25．在△ABC中，∠A=30°，AB=2，将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到△DBE，其中点A的对应点是点D，点C的对应点是点E，AC、DE相交于点F，连接BF．

（1）如图1，若α=60°，线段BA绕点B旋转α得到线段BD．请补全△DBE，并直截了当写出∠AFB的度数；

（2）如图2，若α=90°，求∠AFB的度数和BF的长； （3）如图3，若旋转α（0°＜α＜90°），请直截了当写出∠AFB的度数及BF的长（用含α的代数式表示）．

考点：几何变换综合题． 分析：（1）第一依照题意，把线段BC绕点B顺时针旋转60°得到线段BE，再连接DE，即可补全△DBE；然后判定出AF垂直平分BD，即可推得DF=BF，∠AFB=∠DFG，在Rt△DGF中，求出∠DFG的度数，即可判定出∠AFB的度数．

（2）第一依照相似三角形判定的方法，判定出△ABG∽△DFG，即可判定出

∠DFG=∠ABG=90°；然后推得A、B、D、F在以AD为直径的圆上，再依照圆周角定理，可得∠AFB=∠ADB=45°；最后在△ABF中，由正弦定理，求出BF的长是多少即可． （3）第一依照∠A=∠D=30°，可得A、B、D、F四点共圆，因此∠AFB=∠ADB，在△ABD中，求出∠ADB的度数，即可求出∠AFB的度数；然后在△ABF中，由正弦定理，求出BF的长是多少即可．

解答： 解：（1）如图1，AC、BD交于点G，∵线段BA绕点B旋转60°得到线段BD， ∴∠ABD=60°，AB=BD， 又∵∠A=30°，

∴∠AGB=180°﹣60°﹣30°=90°， ∴AF⊥BD，

∵∠AGB=90°，∠A=30°， ∴BG=AB=BD，

∴AF垂直平分BD， ∴DF=BF，

∴∠AFB=∠DFG，

∵∠DGF=∠AGB=90°，∠D=∠A=30°， ∴∠DFG=90°﹣30°=60°， ∴∠AFB=60°．

，

（2）如图2，AC、BD交于点G，连接AD，∵将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE， ∴∠ABD=90°，AB=BD， ∴ADB=45°，

在△ABG和△DFG中，

∴△ABG∽△DFG， ∴∠DFG=∠ABG=90°，

∴A、B、D、F在以AD为直径的圆上， ∴∠AFB=∠ADB=45°．

在△ABF中，由正弦定理，可得

，

∴解得BF=

．

，

，

（3）如图3，

∵∠A=∠D=30°，

∴A、B、D、F四点共圆， ∴∠AFB=∠ADB， 在△ABD中，

∵AB=BD，∠ABD=α， ∴∠ADB=∠DAB，

∴∠ADB=（180°﹣α）÷2=90°﹣α， ∴∠AFB=90°﹣α；

，

在△ABF中，由正弦定理，可得

，

∴

，

解得BF=．

点评：（1）此题要紧考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合思想的应用，要熟练把握．

（2）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练把握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

（3）此题还考查了图形旋转的性质和应用，要熟练把握．