寿光市高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学

一、选择题

1． 自圆C：(x3)(y4)4外一点P(x,y)引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则点P轨迹方程为（ ）

A．8x6y210 B．8x6y210 C．6x8y210 D．6x8y210

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ 【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．

2x12． 奇函数fx满足f10，且fx在0，上是单调递减，则0的解集为（ ）

fxfx1 A．1，22

B．，1C．，1

1，

D．1，

1+

201422014

3． 若等式（2x﹣1）=a0+a1x+a2x+…+a2014x对于一切实数x都成立，则a0+

a2+…+a2014= （ ）

A．

B． C． D．0

4． 已知实数a，b，c满足不等式0＜a＜b＜c＜1，且M=2a，N=5﹣b，P=（）c，则M、N、P的大小关系为（ ）

A．M＞N＞P B．P＜M＜N C．N＞P＞M

5． 已知在△ABC中，a=，b=，B=60°，那么角C等于（ ） A．135° B．90° C．45° D．75°

6． 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别为（ ）

A．10 13

B．12.5 12 C．12.5 13 D．10 15

7． 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为

，则C的方程为（ ） +y2=1

C．

+

=1

+

，过F2的直线l交C于A、B

两点，若△AF1B的周长为4A．

+

=1

B．

D．=1

8． 如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是（ ）

第 1 页，共 16 页

A． = B．∥ C． D．

f(x2),(x2)则f(1)的值为（ ） x(x2)2,11 A．8 B． C．2 D．

289． 若f(x)10．四棱锥P﹣ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．

＝(1，2)， D．

＝(2，m)，若O，A，B三点能构成三角形，则（ ）

11．在平面直角坐标系A．

B．

﹣ C．

中，向量 C．

12．已知双曲线A．

B．

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为（ ） D．

二、填空题

13．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6= ．

14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

第 2 页，共 16 页

15．设向量=（1，﹣3），=（﹣2，4），=（﹣1，﹣2），若表示向量4，4﹣2，2（﹣），的 有向线段首尾相接能构成四边形，则向量的坐标是 ．

16．设复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位），则z的模为 ． 的最小值是 ． 18．当

x

时，4＜logax，则a的取值范围 ．

17．当a＞0，a≠1时，函数f（x）=loga（x﹣1）+1的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣y+n=0上，则4m+2n

三、解答题

19．在等比数列{an}中，a2=3，a5=81． （Ⅰ）求an；

（Ⅱ）设bn=log3an，求数列{bn}的前n项和Sn．

20．如图，底面为正三角形的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，D为线段B1C1中点． （Ⅰ） 证明：AC1∥平面A1BD；

（Ⅱ） 在棱CC1上是否存在一点E，使得平面A1BE⊥平面A1ABB1？若存在，请找出点E所在位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．

21．已知P（m，n）是函授f（x）=ex﹣1图象上任一于点

（Ⅰ）若点P关于直线y=x﹣1的对称点为Q（x，y），求Q点坐标满足的函数关系式

第 3 页，共 16 页

（Ⅱ）已知点M（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d=y=h（x）图象上时，公式变为

=|s﹣ex﹣1﹣1|+|t﹣ln（t﹣1）|，（s∈R，t＞0）的最小值．

22．记函数f（x）=log2（2x﹣3）的定义域为集合M，函数g（x）=（Ⅰ）集合M，N；

（Ⅱ）集合M∩N，∁R（M∪N）．

，当点M在函数

，请参考该公式求出函数ω（s，t）

的定义域为集合N．求：

23．某同学在研究性学习中，了解到淘宝网站一批发店铺在今年的前五个月的销售量（单位：百件）的数据如表： 月份x 1 2 4 3 5 4 6 5 6 销售量y（百件） 4 （Ⅰ）该同学为了求出y关于x的回归方程=x+，根据表中数据已经正确算出=0.6，试求出的值，并估计该店铺6月份的产品销售量；（单位：百件）

（Ⅱ）一零售商现存有从该淘宝批发店铺2月份进货的4件和3月份进货的5件产品，顾客甲现从该零售商处随机购买了3件，后经了解，该淘宝批发店铺今年2月份的产品都有质量问题，而3月份的产品都没有质量问题．记顾客甲所购买的3件产品中存在质量问题的件数为X，求X的分布列和数学期望．

第 4 页，共 16 页

24．武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示． （1）分别求第3，4，5组的频率；

（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．

25．已知命题p：方程

2

表示焦点在x轴上的双曲线．命题q：曲线y=x+（2m﹣3）x+1与x轴

交于不同的两点，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．

26．函数f（x）=sin2x+（2）当x∈[0，

sinxcosx．

（1）求函数f（x）的递增区间；

]时，求f（x）的值域．

第 5 页，共 16 页

第 6 页，共 16 页

寿光市高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】由切线性质知PQCQ，所以PQPCQC2． 【答案】B 【解析】

2x12x1试题分析：由02x1fx0，即整式2x1的值与函数fx的值符号相反，当

fxfx2fx222，则由PQPO，得，

(x3)2(y4)24x2y2，化简得6x8y210，即点P的轨迹方程，故选D，

x0时，2x10；当x0时，2x10，结合图象即得，1考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式. 3． 【答案】B 【解析】解法一：∵∴取x=1得再取x=0得∴故选B． 解法二：∵∴∴故选B．

，

，

，即得

，

， ，

1，．

，

（C为常数），

，

【点评】本题考查二项式定理的应用，定积分的求法，考查转化思想的应用．

4． 【答案】A

【解析】解：∵0＜a＜b＜c＜1，

a

∴1＜2＜2，

＜5﹣＜1，

b＜（），

c

）＜1，

c

5﹣b=（故选：A

）＞（

b

）＞（

c

即M＞N＞P，

【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键．

5． 【答案】D

【解析】解：由正弦定理知

=

，

第 7 页，共 16 页

∴sinA=∵a＜b， ∴A＜B， ∴A=45°，

=×=，

∴C=180°﹣A﹣B=75°，

故选：D．

6． 【答案】C

【解析】解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标， ∴中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5，众数是12.5

而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标 第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3：2即可 ∴中位数是13 故选：C．

【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×

，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．

，

=1．

7． 【答案】A

【解析】解：∵△AF1B的周长为4∴4a=4∴a=

， ，

，

， +

∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，

∵离心率为∴∴b=

，c=1，

=

∴椭圆C的方程为故选：A．

【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

8． 【答案】D

【解析】解：由图可知，，但不共线，故， 故选D．

【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义，属基础题．

第 8 页，共 16 页

9． 【答案】B 【解析】

试题分析：f1f32考点：分段函数。 10．【答案】B

31，故选B。 8【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， 则B（2，0，0），E（0，0，1），A（0，0，0），C（2，2，0）， =（﹣2，0，1），

=（2，2，0），

设异面直线BE与AC所成角为θ， 则cosθ=故选：B．

=

=

．

11．【答案】B

【解析】【知识点】平面向量坐标运算

【试题解析】若O，A，B三点能构成三角形，则O，A，B三点不共线。 若O，A，B三点共线，有：-m=4，m=-4． 故要使O，A，B三点不共线，则。 故答案为：B 12．【答案】D 【解析】解：双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为 y=±x，即x±y=0．

22

根据圆（x﹣2）+y=1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1，

可得，1=，∴ =，

第 9 页，共 16 页

，可得e=

故此双曲线的离心率为：故选D．

． ．

【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值，是解题的关键．

二、填空题

13．【答案】63 【解析】解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．

因为数列{an}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根， 所以a1=1，a3=4．

设等比数列{an}的公比为q，则则

故答案为63．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．

14．【答案】 26

【解析】解：由三视图知几何体为为三棱柱，去掉一个三棱锥的几何体，如图：

三棱柱的高为5，底面是直角边为4，3，去掉的三棱锥，是底面是直角三角形直角边为4，3，高为2的三棱锥．

∴几何体的体积V=故答案为：26．

=26．

，所以q=2． ．

【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量．

第 10 页，共 16 页

15．【答案】 （﹣2，﹣6） ．

【解析】解：向量4，4﹣2，2（﹣），的有向线段首尾相接能构成四边形， ﹣（2，6）=（﹣2，﹣6）， 故答案为：（﹣2，﹣6）．

则向量=﹣[4+4﹣2+2（﹣）]=﹣（6+4﹣4）=﹣[6（1，﹣3）+4（﹣2，4）﹣4（﹣1，﹣2）]=

【点评】本题考查了向量的多边形法则、向量坐标运算、线性运算，考查了计算能力，属于基础题．

16．【答案】 2 ．

【解析】解：∵复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位）， ∴z=

，∴|z|=

=

=2，

故答案为：2．

【点评】本题主要考查复数的模的定义，复数求模的方法，利用了两个复数商的模等于被除数的模除以除数的 模，属于基础题．

17．【答案】 2 ．

【解析】解：整理函数解析式得f（x）﹣1=loga（x﹣1），故可知函数f（x）的图象恒过（2，1）即A（2，1），故2m+n=1．

mn

∴4+2≥2

=2=2．

mn

当且仅当4=2，即2m=n，

即n=，m=时取等号．

mn

∴4+2的最小值为2

．

故答案为：2

18．【答案】

．

【解析】解：当x

时，函数y=4的图象如下图所示

xx

若不等式4＜logax恒成立，则y=logax的图象恒在y=4的图象的上方（如图中虚线所示）

∵y=logax的图象与y=4的图象交于（，2）点时，a=

x

故虚线所示的y=logax的图象对应的底数a应满足故答案为：（

，1）

＜a＜1

第 11 页，共 16 页

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q， 由a2=3，a5=81，得

，解得

∴（Ⅱ）∵∴

；

，bn=log3an，

． ．

则数列{bn}的首项为b1=0，

由bn﹣bn﹣1=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2）， 可知数列{bn}是以1为公差的等差数列． ∴

．

【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，是基础的计算题．

20．【答案】

【解析】证明：（Ⅰ）连接AB1，交A1B于点F，连接DF， △AB1C1中，D，F分别为A1B，B1C1中点， 所以DF∥AC1．…

因为DF⊂平面A1BD，AC1⊄平面A1BD， 所以AC1∥平面A1BD．…

解：（Ⅱ）存在点E，为CC1中点，使得平面A1BE⊥平面A1ABB1… 证明如下：

方法1：△A1BE中，因为A1E=BE，且F为A1B中点，所以，EF⊥A1B．△AB1E中，同理有EF⊥AB1．… 因为A1B∩AB1=F，A1B，AB1⊂平面A1ABB1，所以EF⊥平面A1ABB1… 又EF⊂平面A1BE，所以，平面A1BE⊥平面A1ABB1…

第 12 页，共 16 页

方法2：取AB中点G，连接EF，CG，FG． 因为FG∥AA1，且，CE∥AA1，且所以FG∥CE，且FG=CE，

所以，四边形CEFG为平行四边形，所以CG∥EF… 因为AA1⊥平面ABC，CG⊂平面ABC，所以CG⊥AA1． 又CG⊥AB，且AA1∩AB=A，AA1，AB⊂平面A1ABB1， 所以，CG⊥平面A1ABB1…

因为CG∥EF，所以EF⊥平面A1ABB1…

又EF⊂平面A1BE，所以，平面A1BE⊥平面A1ABB1…

，

【点评】本题考查线面平行的证明，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

21．【答案】

【解析】解：（1）因为点P，Q关于直线y=x﹣1对称，所以

．

解得．又n=em﹣1

，所以x=1﹣e（y+1）﹣1，即y=ln（x﹣1）．

x1

（2）ω（s，t）=|s﹣e﹣﹣1|+|t﹣ln（t﹣1）﹣1|

=

，

令u（s）=．

则u（s），v（t）分别表示函数y=e由（1）知，umin（s）=vmin（t）．

x﹣1

，y=ln（t﹣1）图象上点到直线

x﹣y﹣1=0的距离．

第 13 页，共 16 页

而f′（x）=e故

x﹣1

，令f′（s）=1得s=1，所以umin（s）=

．

．

【点评】本题一方面考查了点之间的轴对称问题，同时利用函数式的几何意义将问题转化为点到直线的距离，然后再利用函数的思想求解．体现了解析几何与函数思想的结合．

22．【答案】

【解析】解：（1）由2x﹣3＞0 得 x＞，∴M={x|x＞}．

由（x﹣3）（x﹣1）＞0 得 x＜1 或x＞3，∴N={x|x＜1，或 x＞3}． （2）M∩N=（3，+∞），M∪N={x|x＜1，或 x＞3}， ∴CR（M∪N）=．

【点评】本题主要考查求函数的定义域，两个集合的交集、并集、补集的定义和运算，属于基础题．

23．【答案】

【解析】解：（1）且

，代入回归直线方程可得

， =5…

∴=0.6x+3.2， x=6时， =6.8，…

（2）X的取值有0，1，2，3，则

，

，

，

其分布列为： X P … …

0 1 2 3 【点评】本题考查线性回归方程、离散型随机变量的分布列及其数学期望，考查学生分析解决问题的能力．

24．【答案】

【解析】解：（1）由题意可知第3组的频率为0.06×5=0.3， 第4组的频率为0.04×5=0.2， 第5组的频率为0.02×5=0.1； （2）第3组的人数为0.3×100=30， 第4组的人数为0.2×100=20， 第5组的人数为0.1×100=10；

第 14 页，共 16 页

因为第3，4，5组共有60名志愿者，

所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者， 每组抽取的人数分别为：第3组

=3；第4组

=2；第5组

=1；

应从第3，4，5组各抽取3，2，1名志愿者．

（3）记第3组3名志愿者为1，2，3；第4组2名志愿者为4，5；第5组1名志愿者为6； 在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：

（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）， （2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，4），（3，5），（3，6）， （4，5），（4，6）， （5，6）；

共有15种，第4组2名志愿者为4，5；至少有一名志愿者被抽中共有9种， 所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为

．

【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力．

25．【答案】 【解析】解：∵方程∴

⇒m＞2

表示焦点在x轴上的双曲线，

若p为真时：m＞2，

2

∵曲线y=x+（2m﹣3）x+1与x轴交于不同的两点， 2

则△=（2m﹣3）﹣4＞0⇒m＞或m

，

若q真得：或，

由复合命题真值表得：若p∧q为假命题，p∨q为真命题，p，q命题一真一假 若p真q假：若p假q真：

或

．

；

∴实数m的取值范围为：

【点评】本题借助考查复合命题的真假判定，考查了双曲线的标准方程，关键是求得命题为真时的等价条件．

26．【答案】 【解析】解：（1）令

f（x）的递增区间为

解得

…（6分）

…

…（2分）

第 15 页，共 16 页

（2）∵∴

∴f（x）的值域是

，∴

，∴…（12分）

…（8分）

…（10分）

【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的最值，考查计算能力．

第 16 页，共 16 页