广灵县高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1． 数列{an}满足an+2=2an+1﹣an，且a2014，a2016是函数f（x）=（a2000+a2012+a2018+a2030）的值是（ ） A．2

B．3

C．4

D．5

2． 已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（ ） A．2

B．6

C．4

D．2

3． 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是边AB上的动点，记四面体EFMC的体

+6x﹣1的极值点，则log2

V1（ ）1111] V2111A． B． C． D．不是定值，随点M的变化而变化

324积为V1，多面体ADFBCE的体积为V2，则

4． 设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )。

A3 B4 C5 D6

5． 已知等差数列an的前项和为Sn，且a120，在区间3,5内任取一个实数作为数列an 的公差，则Sn的最小值仅为S6的概率为（ ） A．

1131 B． C． D． 561436． 已知函数f(x)2sin(x)(0小距离为

2)与y轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最

，则使f(xt)f(xt)0成立的t的最小值为（ ）1111] 2第 1 页，共 14 页

A．

2 B． C． D．

363222

，则（x﹣3）+y的最小值是（ ）

7． 若实数x，y满足A．

B．8

C．20

D．2

8． 设集合AxR|2x2，Bx|x10，则A【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题.

(ðRB)（ ）

A.x|1x2 B.x|2x1 C. x|2x1 D. x|2x2

9． 已知f（x）=x3﹣3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（ ） A．m＞2

B．m＞4

10．下列命题中的说法正确的是（ ）

A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1” B．“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”的必要不充分条件

C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＞0” D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆否命题为真命题

11．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ） A．y=2x3

B．y=|x|+1

C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x|

12．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )

C．m＞6

D．m＞8

A5 B4 C3 D2

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

13．自圆C：(x3)(y4)4外一点P(x,y)引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则PQ的最小值为（ ） A．

221321 B．3 C．4 D． 1010【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想．

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14．（lg2）2+lg2•lg5+

的值为 ．

15．如图，已知m，n是异面直线，点A，Bm，且AB6；点C，Dn，且CD4.若M，N分 别是AC，BD的中点，MN22，则m与n所成角的余弦值是______________.

【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.

16．等比数列{an}的前n项和Sn＝k1＋k2·2n（k1，k2为常数），且a2，a3，a4－2成等差数列，则an＝________．

三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．证明：f（x）是周期为4的周期函数； （2）若f（x）=

（0＜x≤1），求x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．

是奇函数．

18．已知函数f（x）=

18．（本小题满分12分）△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线．

1

（1）求证：AD＝2b2＋2c2－a2；

2

19sin B3

（2）若A＝120°，AD＝，＝，求△ABC的面积．

2sin C5

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19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．

（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；

（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；

（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．

20．（本小题满分12分）

某超市销售一种蔬菜，根据以往情况，得到每天销售量的频率分布直方图如下：

频率组距a0.0250.020.0150.005O5060708090100销售量/千克

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（Ⅰ）求频率分布直方图中的a的值，并估计每天销售量的中位数；

（Ⅱ）这种蔬菜每天进货当天必须销售，否则只能作为垃圾处理．每售出1千克蔬菜获利4元，未售出的蔬菜，每千克亏损2元．假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估计当超市每天的进货量为75千克时获利的平均值．

21．若数列{an}的前n项和为Sn，点（an，Sn）在y=（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若c1=0，且对任意正整数n都有

．

22．已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且

．

（1）求A； （2）若

，求bc的值，并求△ABC的面积．

，求证：对任意正整数n≥2，总有x的图象上（n∈N*），

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广灵县高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1． 【答案】C

【解析】解：函数f（x）=∵a2014，a2016是函数f（x）=数列{an}中，满足an+2=2an+1﹣an， 可知{an}为等差数列，

∴a2014+a2016=a2000+a2030，即a2000+a2012+a2018+a2030=16， 从而log2（a2000+a2012+a2018+a2030）=log216=4． 故选：C．

【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．

2． 【答案】B

2222

【解析】解：∵圆C：x+y﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）+（y﹣1）=4，

+6x﹣1，可得f′（x）=x2﹣8x+6， +6x﹣1的极值点，

2

∴a2014，a2016是方程x﹣8x+6=0的两实数根，则a2014+a2016=8．

表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．

由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1）， 故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）． ∵AC=

∴切线的长|AB|=故选：B．

【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．

3． 【答案】B 【

解

析

】

=

=2=6．

，CB=R=2，

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考

点：棱柱、棱锥、棱台的体积． 4． 【答案】B

【解析】由题意知x＝a＋b，a∈A，b∈B，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素，故选B 5． 【答案】D 【解析】

考

点：等差数列． 6． 【答案】A 【解析】

考

点：三角函数的图象性质． 7． 【答案】A

【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：

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，

由图象得P（3，0）到平面区域的最短距离dmin=

22

∴（x﹣3）+y的最小值是：

，

．

故选：A．

【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．

8． 【答案】B

【解析】易知Bx|x10x|x1，所以A9． 【答案】C

(ðRB)x|2x1，故选B.

2

【解析】解：由f′（x）=3x﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0得到x1=1，x2=﹣1（舍去）

∵函数的定义域为[0，2]

∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0， 则f（x）min=f（1）=m﹣2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m 由题意知，f（1）=m﹣2＞0 ①； 由①②得到m＞6为所求． 故选C 值

10．【答案】D

f（1）+f（1）＞f（2），即﹣4+2m＞2+m②

∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，

【点评】本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大

22

【解析】解：A．命题“若x=1，则x=1”的否命题为“若x≠1，则x≠1”，故A错误，

B．由x2+5x﹣6=0得x=1或x=﹣6，即“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”既不充分也不必要条件，故B错误， C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≤0﹣5，故C错误，

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D．若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，即命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的为真命题．则命题的逆否命题也成立，故D正确 故选：D．

【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定，比较基础．

11．【答案】B

33

【解析】解：对于A．y=2x，由f（﹣x）=﹣2x=﹣f（x），为奇函数，故排除A；

对于B．y=|x|+1，由f（﹣x）=|﹣x|+1=f（x），为偶函数，当x＞0时，y=x+1，是增函数，故B正确；

2

对于C．y=﹣x+4，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，但x＞0时为减函数，故排除C；

对于D．y=2﹣，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，当x＞0时，y=2﹣，为减函数，故排除D．

|x|

x

故选B．

12．【答案】C

【解析】由已知，得{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，所以集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为3.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

13．【答案】D 【

解

析

】

14．【答案】 1 ．

2

【解析】解：（lg2）+lg2•lg5+

=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=1，

故答案为：1．

15．【答案】【

5 12解

析

】

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16．【答案】

【解析】当n＝1时，a1＝S1＝k1＋2k2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（k1＋k2·2n）－（k1＋k2·2n－1）＝k2·2n－1， ∴k1＋2k2＝k2·20，即k1＋k2＝0，① 又a2，a3，a4－2成等差数列． ∴2a3＝a2＋a4－2， 即8k2＝2k2＋8k2－2.② 由①②联立得k1＝－1，k2＝1， ∴an＝2n－1. 答案：2n－1

三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．【答案】

【解析】（1）证明：由函数f（x）的图象关于直线x=1对称， 有f（x+1）=f（1﹣x），即有f（﹣x）=f（x+2）．

又函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（﹣x）=﹣f（x）．故f（x+2）=﹣f（x）． 从而f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．即f（x）是周期为4的周期函数．

．故x∈[﹣1，0]时，．

从而，x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式为数对函数式进行整理，本题是一个中档题目．

18．【答案】 【解析】解：

（2）解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（0）=0．x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，

．x∈[﹣5，﹣4]时，x+4∈[﹣1，0]，

．

【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数解析式的求解常用的方法，本题解题的关键是根据函数是一个奇函

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（1）证明：∵D是BC的中点，

a

∴BD＝DC＝.

2

a2

法一：在△ABD与△ACD中分别由余弦定理得c＝AD＋－2AD·

4

a

cos∠ADB，① 2

2

a22ab＝AD＋－2AD··cos∠ADC，②

42

2

222a①＋②得c＋b＝2AD＋，

2

2

2

即4AD2＝2b2＋2c2－a2，

1

∴AD＝2b2＋2c2－a2.

2

法二：在△ABD中，由余弦定理得

a2a22

AD＝c＋－2c·cos B

42

2222a＋c－ba

＝c2＋－ac·

42ac

2b2＋2c2－a2

＝，

41

∴AD＝2b2＋2c2－a2.

2

1sin B3

（2）∵A＝120°，AD＝19，＝，

2sin C5由余弦定理和正弦定理与（1）可得 a2＝b2＋c2＋bc，① 2b2＋2c2－a2＝19，②

b3

＝，③ c5

联立①②③解得b＝3，c＝5，a＝7，

11153

∴△ABC的面积为S＝bc sin A＝×3×5×sin 120°＝. 22415

即△ABC的面积为3.

419．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，

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所以A1O⊥AC．

又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC， 交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C， 所以A1O⊥平面ABC．

（Ⅱ）如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴所以得： 则有：

．

，

．

．

．

，

设平面AA1B的一个法向量为n=（x，y，z），则有令y=1，得

所以

因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量n与（Ⅲ）设即所以

令OE∥平面A1AB，得即﹣1+λ+2λ﹣λ=0，得

，

，得，

，

所成锐角互余，所以

，得

，

即存在这样的点E，E为BC1的中点．

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【点评】本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力

20．【答案】（本小题满分12分）

解：本题考查频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估计中位数与平均数． （Ⅰ）由(0.0050.0150.020.025a)101得a0.035 （3分）

0.151074.3千克 （6分） 0.35（Ⅱ）若当天的销售量为[50,60)，则超市获利554202180元；

每天销售量的中位数为70 若当天的销售量为[60,70)，则超市获利654102240元； 若当天的销售量为[70,100)，则超市获利754300元， （10分） ∴获利的平均值为0.151800.22400.65300270元. （12分） 21．【答案】

【解析】（I）解：∵点（an，Sn）在y=∴当n≥2时，∴

当n=1时，∴

=，化为

，解得a1=．

=

．

=2n+1，

，

，

，

x的图象上（n∈N*），

（2）证明：对任意正整数n都有

∴cn=（cn﹣cn﹣1）+（cn﹣1﹣cn﹣2）+…+（c2﹣c1）+c1 =（2n﹣1）+（2n﹣3）+…+3

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=

∴当n≥2时，∴

=，

又∴

==

=（n+1）（n﹣1）．

=

+…+

．

=

＜

=．

．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式与等差数列的前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”、对数的运算性质、“放缩法”、递推式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

22．【答案】

【解析】解：（1）∵A、B、C为△ABC的三个内角，且cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=∴B+C=则A=（2）∵a=2解得：bc=4， 则S△ABC=

bcsinA=

×4×

=

．

， ；

，b+c=4，cosA=﹣

，

，

222222

∴由余弦定理得：a=b+c﹣2bccosA=b+c+bc=（b+c）﹣bc，即12=16﹣bc，

【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．

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