课后篇巩固提升
基础巩固
1.设P是双曲线
𝑥2𝑥2
−
𝑥29
=1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的
左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|等于( ) A.1或5 解析因为双曲线
B.7
𝑥2𝑥2
C.8 D.9
3
−
𝑥29
=1的渐近线方程为y=±𝑥x,而已知一条渐近线方程为3x-2y=0,所以a=2.根
据双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=4.又|PF1|=3,从而解得|PF2|=7或|PF2|=-1(舍去). 答案B
2.过双曲线x-y=1的顶点分别作其渐近线的垂线,则两条垂线段与渐近线围成矩形的面积等于( ) A.
21
2
2
B.
√22
C.1 D.√2 解析因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等,故可取双曲线的一个顶点为(1,0),取一条渐近线为y=x,所以点(1,0)到直线y=x的距离为,所以围成矩形的面积是答案A
3.设F1,F2是双曲线C:16−𝑥2=1(b>0)的两个焦点,P是双曲线C上一点,若∠F1PF2=90°,且△PF1F2的面积为9,则C的离心率等于( ) A.
35
√22
√2√2×22
=.
2
1
𝑥2𝑥2
B. 4
5
C.2 D.
2
5
||𝑥𝑥1|-|𝑥𝑥2||=8,
√2
解析由已知得{|𝑥𝑥1|+|𝑥𝑥2|=4(16+𝑥2),解得b=9,于是离心率e=12
2
2
16+94
=.
4
5
·|𝑥𝑥1|·|𝑥𝑥2|=9,
答案B
𝑥2
4.已知双曲线𝑥2
𝑥2π
−𝑥2=1(a>0,b>0),过原点作一条倾斜角为3的直线分别交双曲线左、右两支于
P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为 A.√2+1
B.√3+1
C.2
D.√5 解析设P(x1,y1),Q(x2,y2),依题意,直线PQ的方程为y=√3x,代入双曲线方程并化简,得
( )
x2
22𝑥2𝑥2223𝑥𝑥=𝑥2-3𝑥2,y=3x=𝑥2-3𝑥2,故
x1+x2=0,x1·x2=𝑥2-3𝑥2,y1·y2=3x1·x2=𝑥2-3𝑥2,设焦点坐标为F(c,0),由
2
4
-𝑥2𝑥2-3𝑥2𝑥2
于以线段PQ为直径的圆经过点F,故𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(x1-c,y1)·(x2-c,y2)=0,即4x1x2+c=0,即b- 1
6ab-3a=0,两边除以a故选B. 答案B 5.双曲线
𝑥216
2244
𝑥4𝑥2𝑥2
,得()-6()-3=0,解得()=3+2√3.故
𝑥𝑥𝑥𝑥c=√1+()=√4+2√3=√3+1,
𝑥2
−
𝑥29
=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点,I是△PF1F2的内心,且
𝑥△𝑥𝑥𝑥2=𝑥△𝑥𝑥𝑥1-λ𝑥△𝑥𝑥1𝑥2,则λ=( )
A.-5
3
B.-5 4
C.5
3
D.5
4
解析如图,设△PF1F2内切圆的半径为r.
由𝑥△𝑥𝑥𝑥2=𝑥△𝑥𝑥𝑥1-λ𝑥△𝑥𝑥1𝑥2,得·|PF2|·r=·|PF1|·r-λ··|F1F2|·r,
2
2
2
1
1
1
整理得|PF1|-|PF2|=λ|F1F2|. 因为P为双曲线右支上一点, 所以|PF1|-|PF2|=2a=8,|F1F2|=10, 所以λ==.故选D.
10
58
4
答案D
6.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与左支交于A,B两点,若|AB|=5且实轴长为8,则△ABF2的周长为 .
解析依题意|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,所以|AF2|-|AF1|+|BF2|-|BF1|=16,即|AF2|+|BF2|-|AB|=16,于是|AF2|+|BF2|=21,故△ABF2的周长为21+5=26.
答案26
7.设双曲线E:𝑥2−𝑥2=1(a>0,b>0)的离心率为2,则E的渐近线方程为 . 解析∵e=𝑥=√1+𝑥2=2,
𝑥𝑥2
𝑥2
𝑥2
∴b2=3a2,
𝑥2
∴双曲线的方程为𝑥2
𝑥2
𝑥2
𝑥2
−3𝑥2=1.
由𝑥2−3𝑥2=1,得y=±√3x,即√3x±y=0,
∴双曲线的渐近线方程为√3x±y=0.
2
答案√3x±y=0 8.直线y=x+1与双曲线
𝑥22
−
𝑥23
=1相交于A,B两点,则|AB|=𝑥=𝑥+1,
2
.
解析设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得{𝑥2
得x-4x-8=0,则x1+x2=4,x1·x2=-8,
2
-
𝑥23
=1,
2
所以|AB|=√(1+𝑥2)[(𝑥1+𝑥2)-4𝑥1𝑥2]=4√6.
答案4√6 9.已知动圆M与圆C1:(x+4)+y=2外切,与圆C2:(x-4)+y=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
2
2
2
2
解设动圆M的半径为r,则由已知|MC1|=r+√2,|MC2|=r-√2(如图所示).
所以|MC1|-|MC2|=2√2.
又C1(-4,0),C2(4,0),所以|C1C2|=8.
因为2√2<|C1C2|,所以根据双曲线的定义,知点M的轨迹是以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线的右支.
因为a=√2,c=4,所以b=c-a=14. 故点M的轨迹方程为
𝑥22
2
2
2
−
𝑥214
=1(x≥√2).
10.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(2,0),直线3x-2y=0与双曲线C的一个交点的横坐标为2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)过点(0,1),倾斜角为135°的直线l与双曲线C相交于A、B两点,O为坐标原点,求△OAB的面积.
解(1)设双曲线C的标准方程是𝑥2−𝑥2=1(a>0,b>0),
由题可知,点(2,3)在双曲线C上, 从而有{
𝑥2
𝑥2
𝑥2+𝑥2=4,
4
𝑥2
-
9
𝑥2
=1,
2
解得{𝑥2=1,
𝑥=3.
2
所以双曲线C的标准方程为x-𝑥23
=1.
(2)由已知得直线l的方程为y=-x+1,即x+y-1=0, 所以原点O到直线l的距离d=|0+0-1|√12+12=
√2. 2
3
2
2𝑥联立{𝑥-3
=1,消去y,可得x2+x-2=0.
𝑥=-𝑥+1,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-1,x1·x2=-2.
所以|AB|=√1+𝑥2·√(𝑥1+𝑥2)-4𝑥1𝑥2=√1+12·√(-1)-4×(-2)=3√2, 所以△OAB的面积S=×|AB|×d=×3√2×
2
2
1
1
√22
2
2
=.
2
3
能力提升
1.已知双曲线
𝑥22
−
𝑥2
=1(b>0)的左、右焦点分别为𝑥2
F1,F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(√3,y0)在该
双曲线上,则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥𝑥1·⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥𝑥2等于( ) A.-12 C.0
2
B.-2 D.4
解析由题意得b=2,所以F1(-2,0),F2(2,0).
又点P(√3,y0)在双曲线上,则𝑥2𝑥𝑥1·⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥𝑥2=(-2-√3,-y0)·(2-√3,-y0)=-1+𝑥20=1,所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 0=0. 答案C
2.如图,双曲线x-2
𝑥24
=1的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线右支上一点,PF1与圆x2+y2=1相切于
点T,M是PF1的中点,则|MO|-|MT|=( )
A.1 C.
21
B.2 D. 23
解析因为M是PF1的中点,O是F1F2的中点,所以|MO|=|𝑥𝑥2|2
;又|OF1|=c,|OT|=a,所以有
|𝑥𝑥2|2
|F1T|=√|𝑥𝑥1|-|𝑥𝑥|=b=2,所以|MT|=|𝑥𝑥1|2
22
|𝑥𝑥1|2
-|F1T|=|𝑥𝑥1|2
-2,所以|MO|-|MT|=−
+2=-|𝑥𝑥1|-|𝑥𝑥2|
2
+2,由双曲线的定义,知|PF1|-|PF2|=2,所以|MO|-|MT|=-|𝑥𝑥1|-|𝑥𝑥2|
2
+2=1.故
选A. 答案A
4
3.已知双曲线C:
𝑥2𝑥2
−
𝑥2
=1(a>0,b>0)的离心率为𝑥2
2,A,B为左右顶点,点P为双曲线C在第一象限的
任意一点,点O为坐标原点,若PA,PB,PO的斜率分别为k1,k2,k3,设m=k1k2k3,则m的取值范围为( ) A.(0,3√3) 𝑥𝑥B.(0,√3)
2
2
2
C.(0,) D.(0,8)
9
√3解析因为e==2,a+b=c,所以b=√3a.
设P(x,y),则
𝑥2𝑥2
−=
𝑥2
=1, 𝑥2𝑥2𝑥2-𝑥2
𝑥𝑥k1k2=𝑥+𝑥·𝑥-𝑥=
𝑥2
=3. 𝑥2
又双曲线渐近线为y=±√3x,所以0 − 𝑥2 2222 =1的右支上一点,M,N分别是圆(x+5)+y=4和(x-5)+y=1上的点,则|PM|-16 |PN|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析两圆圆心分别为双曲线的左右焦点F1(-5,0),F2(5,0).要使|PM|-|PN|取到最大,应使|PM|取到最大,|PN|取到最小,这时|PM|-|PN|=(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=6+3=9. 答案D 5.已知双曲线C:𝑥2−𝑥2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线C右支上一点,直线 𝑥2 𝑥2 PF1与圆x2+y2=a2相切,且∠F1PF2=∠PF1F2,则双曲线C的离心率为( ) A. √100 3 B. 3 4 C. 3 5 D.2 解析如图, 设直线PF1与圆x+y=a相切于点M,则|OM|=a,OM⊥PF1,取PF1的中点N,连接NF2, 由∠F1PF2=∠PF1F2,可得|PF2|=|F1F2|=2c,则NF2⊥PF1,|NP|=|NF1|, 22 由|NF2|=2|OM|=2a,则|NP|=√|𝑥𝑥2|-|𝑥𝑥2|=√4(𝑥2-𝑥2)=2b,即有|PF1|=4b, 2 2 2 由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,即:4b-2c=2a,2b=c+a, 可得4b=(c+a),即4(c-a)=(c+a),解得𝑥=3,即e=3,故选C. 5 2 2 2 2 2 𝑥55 答案C 6.已知点A(-√3,0)和B(√3,0),动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2. (1)求点C的轨迹方程; (2)点C的轨迹与经过点(2,0)且斜率为1的直线交于D、E两点,求线段DE的长. 解(1)∵点A(-√3,0)和B(√3,0), 动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2. |AB|=2√3>2, ∴点C的轨迹方程是以A(-√3,0)和B(√3,0)为焦点的双曲线, 且a=1,c=√3, ∴点C的轨迹方程是x2 -𝑥2 2=1. (2)∵点C的轨迹方程是2x2 -y2 =2,经过点(2,0)且斜率为1的直线方程为y=x-2. ∴联立{ 2𝑥2-𝑥2=2,得x2𝑥=𝑥-2, +4x-6=0, 设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1x2=-6, ∴|DE|=√(1+1)[(-4)2 -4×(-6)]=4√5. 故线段DE的长为4√5. 7.(选做题)已知双曲线C𝑥21:x2 -4 =1. (1)求与双曲线C1有相同的焦点,且过点P(4,√3)的双曲线C2的标准方程. (2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A,B两点.当𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3时,求实数m的值.解(1)双曲线C1的焦点坐标为(√5,0),(-√5,0), 设双曲线C𝑥2 𝑥2 2的标准方程为𝑥2−𝑥2=1(a>0,b>0), 则{𝑥2+𝑥2=5, 16 3 𝑥2=4, 𝑥2 -𝑥2=1, 解得{ 𝑥2=1, ∴双曲线C的标准方程为𝑥2 224-y=1. (2)双曲线C1的渐近线方程为y=2x,y=-2x. 设A(x1,2x1),B(x2,-2x2). 由{ 𝑥=2𝑥, 𝑥=𝑥+𝑥, 可得x=m,y=2m, ∴点A的坐标为(m,2m). 由{ 𝑥=-2𝑥, 12𝑥=𝑥+𝑥, 可得x=-3m,y=3m. ∴点B的坐标为-13m,2 3m, 6 222 ∴𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3m+3m=m. 14 ∵𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3, ∴m2=3,即m=±√3. 7
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容