椭圆的焦点弦长公式

2ab2F1F22ac2cos2及其应用

在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：

若椭圆的焦点弦F1F2所在直线的倾斜角为，a、b、c分别表示椭圆的长半轴长、

2ab2短半轴长和焦半距，则有F1F22。 22accos上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。

例1、已知椭圆的长轴长AB8，焦距F1F242，过椭圆的焦点F1作一直线交椭圆于P、Q两点，设PF1X(0)，当取什么值时，PQ等于椭圆的短轴长？

分析：由题意可知PQ是椭圆的焦点弦，且a4，c22，从而b22，故由焦

24(22)22ab242，解得点弦长公式F1F22及题设可得：222168cosaccoscos22，即arccos22或arccos22。

例2、在直角坐标系中，已知椭圆E的一个焦点为F（3，1），相应于F的准线为Y轴，直线l通过点F，且倾斜角为方程。

16，又直线l被椭圆E截得的线段的长度为，求椭圆E的

53(xc3)2(y1)21，又椭圆E相应于F的准线分析：由题意可设椭圆E的方程为22aba2c3 （1）为Y轴，故有， 又由焦点弦长公式有c2ab2a2c2cos22316 （2）5又 abc （3）。解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：a4，b3，c1，

2222(x4)2(y1)21。 从而所求椭圆E的方程为

43x2y2xy例3、已知椭圆C：221（ab0），直线l1：1被椭圆C截得的

abab弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截得的弦长是它的长轴长的求椭圆C的方程。

2，5分析：由题意可知直线l1过椭圆C的长、短轴的两个端点，故有ab8， （1）

222ab24a3又由焦点弦长公式得2=， （2） 因=，得，（3） tan22accos53又 abc （4）。解由（1）、（2）、（3）、（4）联列的方程组得：a6，b2，

22222x2y21。 从而所求椭圆E的方程为62