第四章习题与复习题(线性空间)----高等代数

1． 判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间． 2．全体正实数R, 其加法与数乘定义为 abab kaak 其中a,bR,kR+

判断R按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.

3. 全体实n阶矩阵，其加法定义为

ABABBA

+

按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 4．在P22中，WA/A0,AP22,判断W是否是P22的子空间.

习题

1．讨论P22中

a11a1111A1,A,A,A234

1111a11a的线性相关性.

2．在R4中，求向量在基1,2,3,4下的坐标.其中

0121001111，1=，2=，3=，4 003011110123110-11-1103.在P22中求在基=，=，=，=下的坐标. 123447111000004．已知R3的两组基

111（Ⅰ）： 1=1，2=0，3=0

1-111

123（Ⅱ）：1=2，2=3，3=4

143（1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；

1（2） 已知向量在基1,2,3下的坐标为0,求在基1,2,3下的坐标；

-11（3） 已知向量在基1,2,3下的坐标为-1,求在基1,2,3下的坐标;

2（4） 求在两组基下坐标互为相反数的向量. 5．已知P[x]4的两组基

（Ⅰ）：f1(x)1xx2x3，f2(x)xx2，f3(x)1x，f4(x)1

（Ⅱ）：g1(x)xx2x3，g2(x)1x2x3，g3(x)1xx3，g4(x)1xx2 （1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵； （2） 求在两组基下有相同坐标的多项式f(x).

习题

证明线性方程组

3x1x26x34x42x502x12x23x35x43x50 x5x6x8x6x023451的解空间与实系数多项式空间R[x]3同构.

习题

1． 求向量1,1,2,3 的长度.

2． 求向量1,1,0,1与向量2,0,1,3之间的距离. 3．求下列向量之间的夹角

（1） 1,0,4,3，1,21,,1

2

（2） 1,2,2,3，3151,,, （3）1,1,1,2，31，，1,0

3． 设，,为n维欧氏空间中的向量，证明: d(,)d(,)d(,).

习题

1． 在R4中，求一个单位向量使它与向量组

11,1,1,1，21,1,1,1，31,1,1,1 正交.

1102． 将R3 的一组基11,22,31化为标准正交基.

1113．求齐次线性方程组

x1x2x3x43x50 xxx x01235的解空间的一组标准正交基.

3． 设1,2 ,… ,n 是n维实列向量空间Rn 中的一组标准正交基, A是n阶正交矩阵,证明: A1,A2 ,… ,An 也是Rn 中的一组标准正交基． 5．设1,2,3是3维欧氏空间V的一组标准正交基, 证明

1(21223),2(21223),3(12223)

也是V的一组标准正交基.

131313习题四 (A)

一、填空题

1．当k满足 时，11,2,1,22,3,k,13,k,3为R3的一组基. 2．由向量1,2,3所生成的子空间的维数为 .

3

3．R3中的向量3,7,1在基11,3,5,26,3,2,33,1,0下的坐标为 . 4.

R3中的基1,2,3到基12,1,3,21,0,1,32,5,1的过渡矩阵为 . 5. 正交矩阵A的行列式为 .

6．已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3, 则该方程组的解空间的维数为 . 7.已知12,1,1,1,22,1,a,a,33,2,1,a,44,3,2,1不是R4的基且a1,则a满

足 .

二、单项选择题

1．下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是( ). （A） V1x1,0,,0,xnx1,xnR （B） V2（C） V3x,x,,x12nx1x2xn0,xiR x1x2xn1,xiR

x,x,,x12n(D) V4x1,0,,0,0x1R

122.在P33中,由A生成的子空间的维数为（ ）. 3(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 3.已知1,2,3是R3的基,则下列向量组( )是R3的基.(A) 12,23,31 (B)122,2233,331 (C) 12,23,1223 (D) 123,2132223,315253

4.已知1,2,3是R3的基,则下列向量组（ ）不是R3的基.(A) 12,23,13 (B) 122,223,321 (C) 12,23,13 (D) 122,223,1235．n元齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为r, 该方程组的解空间的维数为s, 则( ).

(A) s=r (B) s=n-r (C) s>r (D) sv1.0 可编辑可修改 (A) A+B (B) A-B (C) AB (D) kA （k为数） 7. 线性空间中，两组基之间的过渡矩阵（ ）.

(A) 一定不可逆 (B) 一定可逆 (C) 不一定可逆 (D) 是正交矩阵

(B)

1．已知R4的两组基 （Ⅰ）： 1,2,3, 4

（Ⅱ）：11234,2234,334,44 ( 1 )求由基（Ⅱ）到（Ⅰ）的过渡矩阵； ( 2 )求在两组基下有相同坐标的向量.

2.已知1,2,3是 R3 的基,向量组1,2,3 满足13 123,12 23,23 13(1)证明 1,2,3 是R3的基;(2)求由基 1,2,3 到基1,2,3 的过渡矩阵;(3)求向量  1223 在基 1,2,3下的坐标.

1200210043.设R的两组基1,2,3,4与1,2,3=，4，001200212100 1100且由基1,2,3,4到基1,2,3,4的过渡矩阵为00350012（）求基11,2,3,4；（2）求向量 12324在基1,2,3,4下的坐标.4. 证明f1(x)1xx2,f2(x)1x2x2,f3(x)12x3x2是线性空间P[x]3的一组基,并求f(x)69x14x在这组基下的坐标.2

5．当a 、b 、c 为何值时，矩阵A = 120ba001 是正交阵.

c06．设

（2/T）T为正交矩是n维非零列向量, E为n阶单位阵, 证明:AE5

阵.

（a1,a2,7．设AE2T, 其中T,an）, 若 T = 1. 证明A为正交阵.

8. 设A,B 均为n 阶正交矩阵, 且AB, 证明AB0.

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