中考压轴题 中考新定义题型

2.定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点

（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3求BN的长；

（2）如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC>DE≥BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点

（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可） （4）如图4，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN>AM≥BN，△AMC，△MND 和△NBM均是等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探究SAMF，SBEN和S四边形MNHG的数量关系，并说明理由

3.（本题12分）

类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”。 （1）概念理解

如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件，使得四边形ABCD是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件； （2）问题探究

①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由；

②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿∠B的平分线BB’方向平移得到△A’B’C’，连结AA’，BC’。小红要使平移后的四边形ABC’A’是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB’的长）？ （3）应用拓展

如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，AC=2AB。试探究BC，CD，BD的数量关系。

4.如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OAOBOP，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角.

（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°. 求证：∠APB是∠MON的智慧角；

（2）如图1，已知∠MON=（0°<<90°），OP=2，若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积； （3）如图3，C是函数y23(x0)图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和xy轴于点A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标.

5. （2013浙江台州,24,13分）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个

三角形为“好玩三角形”

（1）请用直尺与圆规画一个“好玩三角形”； （2）如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA3,求证：△ABC是“好玩三角形”； 2（3）如图2,已知菱形ABCD的边长为a, ∠ABC=2β,点P,Q从点A同时出发,以相同的速度

分别沿折线AB－BC和AD－DC向终点C运动,记点P所经过的路程为S

①当β=45°时,若△APQ是“好玩三角形”,试求

a的值 s②当tanβ的取值在什么范围内,点P,Q在运动过程中,有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”请直接写出tanβ的取值范围. （4）本小题为选做题

依据（3）中的条件,提出一个关于“在点P,Q的运动过程中,tanβ的取值范围与△APQ是“好玩三角形”的个数关系的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）.

A C B A B P A B D Q C C 备用图

D

6.过平行四边形ABCD顶点B分别作边AD,CD所在直线的垂线，垂足分别为E,F,连接EF，则△BEF叫做平行四边形ABCD的特征三角形。

如果一个平行四边形是由两个全等的直角三角形拼成，则该平行四边形叫做直角平行四边形，如果一个平形四边形是由两个全等的等腰三角形拼成，那么这个平行四边形叫做等腰平行四边形。

（1） 在下面空格上填写三角形的类别，使对应的两个命题都是真命题：

①命题1：矩形的特征三角形是____________; 命题2：菱形的特征三角形是______________。

②写出命题1的逆命题，并探索其是否正确，若正确，给出证明，若不正确，举出反例。

(2)如果平行四边形ABCD的特征三角形是等腰三角形，证明：四边形ABCD是等腰平行四边形。

（3）如果平行四边形的特征三角形是含30°角的等腰三角形，直接写出它的邻边长的平方的比