13.1.2线段的垂直平分线的性质(2)导学案

【学习目标】：

1、使学生掌握作线段的垂直平分线，过一点作已知直线垂线的两种基本作图； 2、继续训练学生用简练、准确地运用几何语言表达作图方法与步骤，认识它的正确性、合理性；

3、培养学生探索问题、解决问题的方法，经历如何画线段的垂直平分线，体验利用画线段垂直平分线的方法为基础，画过一点作已知垂线的作图。 【重点难点】：

1、重点：让学生掌握过一点作直线的垂线，作直线的垂直平分线的基本方法； 2、难点：理解作图的理论依据。 【学习过程】： 一、复习

1、什么叫做尺规作图？

（限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图） 2、用尺规作图

（1）作线段，使它等于已知线段的长； （2）作角，使它等于已知角；

①让学生在练习本上画任意长的线段和任意角。

②提问学生口述作法，教师在黑板上操作尺规画图，或教师口述作图步骤，让学生按老师的口述，操作尺规作图。

作线段：已知线段a，作射线AC，以A为圆心，在AC上截取ABa，AB就是所求作的；

作角：已知AOB，作射线O'A'，以O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、C两点，以O'为圆心，以OC为半径作弧，交O'A'于C'，以点C'为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于D'，经过D'作射线O'B'，

A'O'B'就是所求的角。

3、什么垂直平分线？

（过线段的中点，垂直这条线段的直线） 4、线段垂直平分线有哪些特征？

（线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；反过来，到线段两端点距离相等的点在线段 的垂直平分线上） 二、做一做

如图，如图、已知线段AB，画出它的垂直平分线.

图24.4.6 提示：由线段垂直平分线的特征能否为你提供一些作图的依据。

若有学生懂得画，请他上台展示；若讨论没有结果的话，教师示范。

1AB2作法：1、分别以A、B两点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于C、

D两点；

2、过C、D两点作直线CD。 所以，直线CD就是所求作的。 三、议一议

能否说出这种画法的依据，小组讨论交流。并发表小组的共识。

我们知道，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；反过来，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，因此如果能找到两个到线段两点的距离相等的点，那么过这两点就可画线段的垂直平分线。

如图，以点A为圆心，以大于AB一半的长为半径，在AB的一侧画弧； 以点B为圆心，以同样的长为半径，在AB的同一侧画弧，两弧的交点记为C，则C

是线段AB垂直平分线上的一点．请你利用类似的方法确定另一点D。

图24.4.7

因为画图可知AC=BC，所以点C在线段AB的垂直平分线上；又AD=BD，所以点D也在线段AB的垂直平分线上；根据两点确定一条直线，所以直线CD就是线段AB的垂直平分线。

四、试一试

1、如图，点C在直线l上，试过点C画出直线l的垂线。

提示：能否利用画线段垂直平分线的方法解决呢？

请同学们把你的作法在小组内交流，请一些同学上台展示其画图过程、画图的作法，并说明画图的依据。 作法：（1）以C为圆心，任一线段的长为半径画弧，交l于A、B两点；

1AB（2）分别以A、B两点为圆心，以大于2长为半径画弧，两弧相交于C、D

图24.4.8 两点；

（3）过C、D两点作直线CD。 所以，直线CD就是所求作的。

理由：以C为圆心，任一线段的长为半径画弧，交l于A、B两点，则C是线段AB的中点．因此，过C画直线l的垂线转化为画线段AB的垂直平分线。 2、如图，如果点C不在直线l上，试和同学讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直线l的垂线？

请同学们把讨论结果上台展示。

作法：（1）任取一点M，使点M和点C在l的两侧；

（2）以C点为圆心，以CM长为半径画弧，交l于A、B两点；

1AB2（3）分别以A、B两点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于D点；

（4）过C、D两点作直线CD。

所以，直线CD就是所求作的。

你能否用所学的知识证明这个结论呢？试试看。

证明：连结CA、CB、DA、DB，设CD、AB相交于O。 由作法知，CACB，DADB，CD是公共边， 所以△CAD≌△CBD（SSS）

所以ACDBCD（全等三角形的对应角相等） 于是△ACO≌△BCO（SAS）

图24.4.10 所以AO=BO，AOCBOC（全等三角形的对应边、对应角相等） 所以CD是线段AB的垂直平分线。 五、练一练 练习1、2 六、说一说

1、本节你有何收获？ 2、本节你有何体会？ 3、本节你有何疑惑？ 七、作业

习题 4、5