2021年中考数学总复习:专题24 矩形问题
1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.矩形的性质
(1)矩形的四个角都是直角; (2)矩形的对角线平分且相等。 3.矩形判定定理
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形; (2)对角线相等的平行四边形是矩形; (3)有三个角是直角的四边形是矩形。
4.矩形的面积:S=ab(a、b分别表示矩形的长、宽)
【例题1】(2020•湘西州)如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上,矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上,矩形的边AB=a,BC=b,∠DAO=x,则点C到x轴的距离等于( )
A.acosx+bsinx C.asinx+bcosx
B.acosx+bcosx D.asinx+bsinx
【对点练习】(2019•贵州省铜仁市)如图为矩形ABCD,一条直线将该矩形分割成两个多边形,若这两个多边形的内角和分别为a和b,则a+b不可能是( )
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A.360°
B.0°
C.630°
D.720°
【例题2】(2020•菏泽)如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=12,点P在对角线BD上,且BP=BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为 .
【对点练习】(2019内蒙古通辽)如图,在矩形ABCD中,AD=8,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为点E,且AE平分∠BAC,则AB的长为 .
【例题3】(2020•聊城)如图,在▱ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF,
AC,若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形.
【对点练习】(2019•湖北省鄂州市)如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点O是对角线BD的中点,过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F. (1)求证:四边形DEBF是平行四边形; (2)当DE=DF时,求EF的长.
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一、选择题
1.(2020•怀化)在矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,若△AOB的面积为2,则矩形ABCD的面积为( )
A.4
B.6
C.8
D.10
2.(2020•达州)如图,∠BOD=45°,BO=DO,点A在OB上,四边形ABCD是矩形,连接AC、BD交于点E,连接OE交AD于点F.下列4个判断:①OE平分∠BOD;②OF=BD;③DF=√2AF;④若点G是线段OF的中点,则△AEG为等腰直角三角形.正确判断的个数是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
3.(2019•广东广州)如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若
BE=3,AF=5,则AC的长为( )
A.4
B.4
C.10
D.8
4.(2019•山东泰安)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为AB的中点,F为EC上一动点,P为DF中
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点,连接PB,则PB的最小值是( )
A.2
B.4
C.
D.
5.(2019湖北荆州)如图,矩形ABCD的顶点A,B,C分别落在∠MON的边OM,ON上,若OA=OC,要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线.小明的作法如下:连接AC,BD交于点E,作射线OE,则射线OE平分∠
MON.有以下几条几何性质:①矩形的四个角都是直角,②矩形的对角线互相平分,③等腰三角形的“三线
合一”.小明的作法依据是( )
A.①② 二、填空题
6.(2020•绍兴)将两条邻边长分别为√2,1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片(无余纸片),各种剪法剪出的等腰三角形中,其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的 (填序号).
√32
B.①③ C.②③ D.①②③
①√2, ②1, ③√2−1, ④, ⑤√3.
7.(2020•泸州)如图,在矩形ABCD中,E,F分别为边AB,AD的中点,BF与EC、ED分别交于点M,N.已知AB=4,BC=6,则MN的长为 .
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8.(2020•黔东南州)如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=√2,E为CD的中点,连接AE、BD交于点P,过点
P作PQ⊥BC于点Q,则PQ= .
9.(2019湖南娄底)如图,要使平行四边形 ABCD 是矩形,则应添加的条件是 (添加一个条件即可).
10.(2019黑龙江省龙东地区)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点P是矩形ABCD内一动点,且S△PAB1= S△PCD,则PC+PD的最小值是________. 2ADPBC
11.(2019贵州省安顺市) 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D为斜边BC上的一个
动点,过D分别作DM⊥AB于点M,作DN⊥AC于点N,连接MN,则线段MN的最小值为 .
A M
N D
C
B
12.(2019•湖北省咸宁市)如图,先有一张矩形纸片ABCD,AB=4,BC=8,点M,N分别在矩形的边AD,BC上,将矩形纸片沿直线MN折叠,使点C落在矩形的边AD上,记为点P,点D落在G处,连接PC,交MN于
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点Q,连接CM.下列结论: ①CQ=CD;
②四边形CMPN是菱形; ③P,A重合时,MN=2
;
④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5.
其中正确的是 (把正确结论的序号都填上).
13.(2019·贵州贵阳)如图,在矩形ABCD中,AB=4,∠DCA=30°,点F是对角线AC上的一个动点,连接DF,以DF为斜边作∠DFE=30°的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF两侧,点F从点A到点C的运动过程中,点E的运动路径长是 .
14.(2019•山东潍坊)如图,在矩形ABCD中,AD=2.将∠A向内翻折,点A落在BC上,记为A′,折痕为
DE.若将∠B沿EA′向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B′,则AB= .
15.(2019北京市)在矩形ABCD中,M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA上的点(不与端点重合).对于
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任意矩形ABCD,下面四个结论中, ①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形; ②存在无数个四边形MNPQ是矩形; ③存在无数个四边形MNPQ是菱形; ④至少存在一个四边形MNPQ是正方形. 所有正确结论的序号是_______. 三、解答题
16.(2020•苏州)如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,DF⊥AE,垂足为F. (1)求证:△ABE∽△DFA; (2)若AB=6,BC=4,求DF的长.
17.(2020•贵阳)如图,四边形ABCD是矩形,E是BC边上一点,点F在BC的延长线上,且CF=BE. (1)求证:四边形AEFD是平行四边形;
(2)连接ED,若∠AED=90°,AB=4,BE=2,求四边形AEFD的面积.
18.(2020•遂宁)如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E分别是线段BC、AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF. (1)求证:△BDE≌△FAE; (2)求证:四边形ADCF为矩形.
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19.(2019湖南怀化)已知:如图,在▱ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,E,F分别为垂足. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)求证:四边形AECF是矩形.
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