2021年中考数学总复习：专题24 矩形

2021年中考数学总复习：专题24 矩形问题

1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2．矩形的性质

（1）矩形的四个角都是直角； （2）矩形的对角线平分且相等。 3．矩形判定定理

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形。

4．矩形的面积：S=ab（a、b分别表示矩形的长、宽）

【例题1】（2020•湘西州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的距离等于（ ）

A．acosx+bsinx C．asinx+bcosx

B．acosx+bcosx D．asinx+bsinx

【对点练习】（2019•贵州省铜仁市）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（ ）

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A．360°

B．0°

C．630°

D．720°

【例题2】（2020•菏泽）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为 ．

【对点练习】（2019内蒙古通辽）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAC，则AB的长为 ．

【例题3】（2020•聊城）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，

AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．

【对点练习】（2019•湖北省鄂州市）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）当DE＝DF时，求EF的长．

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一、选择题

1．（2020•怀化）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（ ）

A．4

B．6

C．8

D．10

2．（2020•达州）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF＝BD；③DF=√2AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（ ）

A．4

B．3

C．2

D．1

3.（2019•广东广州）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若

BE＝3，AF＝5，则AC的长为（ ）

A．4

B．4

C．10

D．8

4．（2019•山东泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中

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点，连接PB，则PB的最小值是（ ）

A．2

B．4

C．

D．

5.（2019湖北荆州）如图，矩形ABCD的顶点A，B，C分别落在∠MON的边OM，ON上，若OA＝OC，要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线．小明的作法如下：连接AC，BD交于点E，作射线OE，则射线OE平分∠

MON．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的“三线

合一”．小明的作法依据是（ ）

A．①② 二、填空题

6．（2020•绍兴）将两条邻边长分别为√2，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的 （填序号）．

√32

B．①③ C．②③ D．①②③

①√2， ②1， ③√2−1， ④， ⑤√3．

7．（2020•泸州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为 ．

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8．（2020•黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC=√2，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点

P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝ ．

9.（2019湖南娄底）如图，要使平行四边形 ABCD 是矩形，则应添加的条件是 （添加一个条件即可）．

10.（2019黑龙江省龙东地区）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB1＝ S△PCD，则PC＋PD的最小值是________． 2ADPBC

11.（2019贵州省安顺市） 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D为斜边BC上的一个

动点，过D分别作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 .

A M

N D

C

B

12.（2019•湖北省咸宁市）如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于

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点Q，连接CM．下列结论： ①CQ＝CD；

②四边形CMPN是菱形； ③P，A重合时，MN＝2

；

④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．

其中正确的是 （把正确结论的序号都填上）．

13.（2019·贵州贵阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是 ．

14．（2019•山东潍坊）如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为

DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝ ．

15.（2019北京市）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）．对于

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任意矩形ABCD，下面四个结论中， ①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形； ②存在无数个四边形MNPQ是矩形； ③存在无数个四边形MNPQ是菱形； ④至少存在一个四边形MNPQ是正方形． 所有正确结论的序号是_______． 三、解答题

16．（2020•苏州）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F． （1）求证：△ABE∽△DFA； （2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．

17．（2020•贵阳）如图，四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CF＝BE． （1）求证：四边形AEFD是平行四边形；

（2）连接ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四边形AEFD的面积．

18．（2020•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：△BDE≌△FAE； （2）求证：四边形ADCF为矩形．

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19．（2019湖南怀化）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形AECF是矩形．

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