专题26 矩形与正方形-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型(原卷版)

【知识要点】 知识点一 矩形

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 矩形的性质： 1）矩形具有平行四边形的所有性质； 2）矩形的四个角都是直角； 几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90° 3）对角线相等； 几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD 推论： 1、在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。 2、直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。 4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。 矩形的判定： 1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2）对角线相等的平行四边形是矩形； 3）有三个角是直角的四边形是矩形。 矩形的面积公式： 面积=长×宽 知识点二 正方形

正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

正方形的性质：

1、正方形具有平行四边形和菱形的所有性质。 2、正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 3、正方形对边平行且相等。

4、正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； 5、正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 6、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 正方形的判定：

1）有一个角是直角的菱形是正方形； 2）对角线相等的菱形是正方形； 3）一组邻边相等的矩形是正方形； 4）对角线互相垂直的矩形是正方形；

5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； 6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 正方形的面积公式：面积=边长×边长=对角线×对角线 21【考查题型】

考查题型一 探索矩形的性质

典例1．（2020·甘肃兰州市·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，EB//DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是( )

A．7

B．

3 8C．

7 8D．

5 8变式1-1．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C，D处，DE与BF交于点G．已知BGD30，则的度数是（ ）

A．30° B．45° C．74° D．75°

变式1-2．（2020·贵州毕节市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，

F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB6cm，BC8cm，则EF的长是（ ）

A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm

变式1-3．（2020·海南中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB6,BC10,点E、F在AD边上，BF和CE交于点G,若EF1AD，则图中阴影部分的面积为（ ） 2

A．25 B．30

C．35

D．40

考查题型二 考查直角三角形斜边中线计算问题

典例2．（2020·江苏盐城市·中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,H为BC中点，AC6,BD8．则线段OH的长为：（ ）

A．

12 5B．

5 2C．3 D．5

变式2-1．（2020·浙江宁波市·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（ ）

A．2 B．2.5 C．3 D．4

变式2-2（2020·四川阿坝藏族羌族自治州·中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

变式2-3．（2020·黑龙江鹤岗市·中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DHAB于点H，连接OH，若OA6，S菱形ABCD48，则OH的长为（ ）

A．4 B．8

C．13 D．6

考查题型三 证明四边形是矩形

典例3．（2020·四川遂宁市·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中

点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：△BDE≌△FAE； （2）求证：四边形ADCF为矩形．

变式3-1．（2020·北京中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形；

（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

变式3-2．（2020·山东聊城市·中考真题）如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，且AF＝AD，连接BF，求证：四边形ABFC是矩形．

考查题型四 矩形性质与判定的综合

典例4．（2020·河北承德市·九年级二模）如图，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线AC、BD相交于点O，且

OAOD，OAD55，则OAB的度数为（ ）

A．35° B．40° C．45° D．55°

变式4-1（2020·北京模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（ ）

A．310 2B．310 5C．10 5D．35 5变式4-2．如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8，过对角线交点O作EFAC交AD于点E，交

BC于点F，则DE的长是( )

A．1 B．

7 4C．2 D．

12 5变式4-3．（2020·安徽芜湖市模拟）矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE为边作▱AEDF．在点E从点B移动到点C的过程中，▱AEDF的面积（ ）

A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变

变式4-4．（2020·石家庄市模拟）如图所示，AB⊥AD于点A，CD⊥AD于点D，∠C＝120°．若线段BC与CD的和为12，则四边形ABCD的面积可能是（ ）

A．243 B．303 C．45 D．493 2考查题型五 探索正方形的性质

典例5．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且． BE1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

变式5-1．（2020·天津中考真题）如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是0,0，

0,6，点C在第一象限，则点C的坐标是（ ）

A．6,3 B．3,6 C．0,6 D．6,6

变式5-2．（2020·山东烟台市·中考真题）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品—“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（ ）

A．B．C．D．

变式5-3．（2020·广东中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB3，点E，F分别在边AB，CD上，

EFD60．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（ ）

A．1

B．2 C．3 D．2

考查题型六 证明四边形是正方形

典例6．（2017·上海中考真题）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．

变式6-1．（2020·太仓市模拟）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．

(1) 求证：CF＝AD；

(2) 若CA＝CB，∠ACB＝90°，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由．

变式6-2．（2020·山东省青岛模拟）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连接BE，CF． （1）求证：△BDF≌△CDE；

（2）当ED与BC满足什么数量关系时，四边形BECF是正方形？请说明理由．

考查题型七 正方形性质与判定的综合

典例7．（2019·内蒙古九年级一模）如图，在正方形ABCD中，AD＝4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF＝45°，EC＝1，将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，连接EF，过点B作BM∥AG，交AF于点M，则以下结论：①DE+BF＝EF②BF＝正确的是（ ）

SFBM1202； ③AF＝；④中

S42577FEA

A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④

变式7-1．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且BAE＝22.50，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为

A．1

B．2 C．422 D．324

变式7-2．（2019·广东深圳市·中考模拟）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于（ ）

A．4 B．5

C．6 D．14