必修四三角型复合函数的图像与性质题型归纳学生版

三角型复合函数的图像与性质重难点题型归纳

【知识点1 用五点法作函数yAsinx的图象】

用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0,来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. 【知识点2 由ysinx得图象通过变换得到yAsinx的图象】 1.振幅变换：

3,,,222yAsinx，xR(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短

(0yAsinx的图象，再以x轴为对称轴翻折.A称为振幅.

2.周期变换：

函数ysinx，xR0且1的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短1或伸长01到原来的的周期. 3.相位变换：

函数ysinx，xR(其中0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向：“左加右减”).

一般地，函数yAsin(x)A0,0，xR的图象可以看作是用下面的方法得到的：

(1) 先把ysinx的图象上所有的点向左(>0)或右(<0)平行移动个单位； (2) 再把所得各点的横坐标缩短1或伸长01到原来的

1倍(纵坐标不变).若0则可用诱导公式将符号“提出”再作图.决定了函数1倍(纵坐标不变)； (3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0函数yAsin(x)与函数yAcos(x)可看作是由正弦函数ysinx，余弦函数ycosx复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数ysinx，余弦函数ycosx类似地得到： （1）定义域：R；

（2）值域：A,A；

（3）单调区间：求形如yAsin(x)与函数yAcos(x)(A,0)的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x视为一个“整体”，分别与正弦函数ysinx，余弦函数ycosx的单调递增（减）区间对应解出x，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由

232kx2k(kZ)解出x的范围，所得区间即为减区间．

222k2x2k(kZ)解出x的范围所得区间即为增区间，由

（4）奇偶性：正弦型函数yAsin(x)和余弦型函数yAcos(x)(A,0)不一定具备奇偶性．对于函数yAsin(x)，当k(kz)时为奇函数，当k函数yAcos(x)，当k(kz)时为偶函数，当k2(kz)时为偶函数；对于

2(kz)时为奇函数．

（5）周期：函数yAsin(x)及函数yAcos(x)的周期与解析式中自变量x的系数有关，其周期为T2．

（6）对称轴和对称中心

与正弦函数ysinx比较可知，当xk2(kz)时，函数yAsin(x)取得最大值（或最

小值），因此函数yAsin(x)的对称轴由xk2(kz)解出，其对称中心的横坐标

xk(kz)，即对称中心为k,0(kz)．同理，yAcos(x)的对称轴由

xk(kz)解出，对称中心的横坐标由xk2(kz)解出．

三、题型分析

(一) 五点法作图

例1．（2019·石嘴山市第三中学高一月考）已知函数y3sin2x 3（1）用五点作图在下面坐标系中做出上述函数在，的图象．（请先列表，再描点，图中每个小矩形

66的宽度为

7)（2）请描述上述函数图象可以由函数ysinx怎样变换而来？ 12

【变式训练1】．（2019·全国高三月考（理））把函数f(x)2sinx的图象向左平移(0得到函数yg(x)的图象，函数yg(x)的图象关于直线xπ)个单位，2π对称，记函数h(x)f(x)g(x). 6ππ（1）求函数yh(x)的最小正周期和单调增区间；（2）画出函数yh(x)在区间[,]上的大致图象.

22

(二) 函数图像变换

例2．（2018·浙江高一期末）将函数f（x）=sin（ωx+

）（ω＞0）的图象向左平移个单位，所得到的函48数图象关于y轴对称，则函数f（x）的最小正周期不可能是（ ） A．

 9B．

 5C．

D．2

例3．（2019·宁夏高一期末）要得到函数y2sin2xA．向左平移C．向左平移

 的图象，只需将函数y2cos2x的图象（ ）

6个单位长度B．向右平移个单位长度 33个单位长度D．向右平移个单位长度 66【变式训练1】．（2019·浙江高二期末）将函数ysin2x于y轴对称，则正数的最小正值是（ ） A．

2的图形向左平移个单位后得到的图象关3 3B．

12 C．

5 6D．

5 12【变式训练2】．（2019·安徽高二期末（理））已知曲线C1：ysinx，C2：ycos2x论正确的是（ ）

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移曲线C2

，则下面结

3个单位长度，得到32个单位长度，得到3

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的曲线C2

(三) 已知函数图像求yAsinx

例4．（2019·广东高考模拟（理））把函数yfx的图象向左平移

1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到

1221倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到

1222个单位长度，再把所得的图象上每3个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数gx的图象，并且gx的图象如图所示，则fx的表达式可以为（ ）

fx2sinxfxsin4xfxsin4xfx2sin4xA． B． C． D．

6666例5．（2017·浙江高二期中）函数

_______，

________.

（

，

）的部分图象如图所示，则

【变式训练1】．（2016·浙江高考模拟（理））函数图所示，则将析式为 ．

的图象向右平移个单位后得到

的部分图象如

，得到的函数图象对称轴为 ，函数

解

(四) 函数yAsinx综合应用

例6．（2019·湖北高二月考）已知函数f(x)sin(x)0,||为

，其相邻两条对称轴之间的距离2，将yfx的图象向右平移个单位后，所得函数的图象关于y轴对称，则（ ）

62B．fx的图象关于直线x7对称 D．fx在区间A．fx的图象关于点,0对称

6C．fx在区间

,单调递增 635,单调递增 1212例7．（2018·浙江诸暨中学高一月考）已知函数fxAsin(wx)(A0,w0,2)在一个周期内

的简图如图所示，则函数的解析式为__________，方程fxm（其中1m2）在[0,3]内所有解的和为__________．

【变式训练1】．（2019·甘肃兰州一中高一月考）已知函数f(x)Asin(x),xR(其中

A0,0,0||))的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为, 且图象上一个最低点为

225M(,2).

6(1) 求函数fx的最小正周期和对称中心；

(2) 将函数yfx的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的移

1，再把所得到的图象向左平2个单位长度，得到函数ygx的图象，求函数ygx在区间，上的值域. 6612

四、迁移应用

1．（2019·山西高二期中（文））若0，函数ycos(x对称，则的最小值为（ ） A．

3)的图象向右平移个单位长度后关于原点

311 2B．

5 2C．

1 2D．

3 2个单位长度62．（2019·宁夏高一期末）若函数f(x)sin(2x)(0)的图象上所有的点向右平移

后得到的函数图象关于A．

,0对称，则的值为（ ） 4B．

3 4C．

5 6D．

2 33．（2019·安徽高二期末）函数f(x)4sinx单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ） A．x

(0)的最小正周期是3，则其图象向左平移6个

34

B．x3

C．x5 6D．x19 12ysinxycos2xCC4． （2019·安徽高二期末（理））已知曲线1：，2：则下面结论正确的是（ ），

3A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的曲线C2

5．（2019·辽宁高一期中）已知函数f(x)2cos2x个单位长度，得到32个单位长度，得到31倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到

1221倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到

122，xR. 4

（1）求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； （2）将函数f(x)2cos2x的图象向右平移m(m0)个单位后，再将所得图象的纵坐标不变，横坐4标伸长到原来的2倍，得到的函数g(x)的图象关于y轴对称，求m的最小值.

6（2018秋•海淀区期末）已知函数fx2sin2x（Ⅰ）求T的最小正周期T； （Ⅱ）求fx的单调递增区间；

（Ⅲ）在给定的坐标系中作出函数fxx． 32,的简图，并直接写出函数fx在区间,6366上的取值范围．

8.（2018秋•温州期末）已知函数fxAsinx（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是值为2．

（1）求fx的解析式；（2）求fx的单调增区间；（3）若x0,

2，若将f（x）的图象先向右平移

6个单位，所得函数gx为奇函数，函数gx的最大

，求fx的值域． 3