中考数学复习指导：利用两点间距离公式求解有关问题

利用两点间距离公式求解有关问题

例1 如图1，二次函数y＝a（x2－2mx－3m2）(其中a，m是常数，且a>0，m>0)的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，－3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连结AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．

(1)用含m的代数式表示a； (2)求证：

AD为定值； AE(3)设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

解 (1)，(2)略；

(3)假设存在点G，使得以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，并设G(x，0)．

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综上所述，存在点G，使得以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时，点G的横坐标是－3m．（或点G的横坐标是m－34m218) 注 本题在试卷中的参考答案是(如图2)；

过点F作FH⊥x轴，垂足为H，连结FC并延长 与x轴交于点G．

∴AD：GF：AE＝3：4：5．

故存在点G，使得以线段GF、AD、AE的长、度为三边长的三角形是直角三角形，此时，点G的横坐标是－3m．

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评析 这是一道二次函数、直角三角形、相似等知识相结合的综合型题目，对学生获取信息、分析问题、解决问题等能力要求较高．据笔者对考生情况的了解来看，很多学生感觉困难，特别是第(3)题，究其原因，笔者以为三个“想不到”阻挡了学生的思路：一想不到

OCHFGF4；二想不到；三想不到AD：GF： AE＝3：4：5．因此让学生对

OGHGAD3这个题目无所适从．教师如果能在复习中，结合试题讲授两点间的距离公式，那么相信很多学生就能在解题时“想得到”了．因为当学生看到“以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是否是直角三角形？”时，他们应顺理成章地求GF、AD、AE，有了两点间的距离公式作为他们的后盾，问题就迎刃而解．

例2如图3，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（33），点C的坐标为（最小值为( )

1，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的213 2319(C)

2(A)

(B)31 2(D)２7

解 由B（3，3），得∠BOA＝30°，

∴△OCC'是等边三角形，C'是C关于OA的对称点， ∴C'（

31，）

4431 231 2运用两点间的距离公式，得 AC'＝∴(PA＋PC)min＝ 答案选B．

评析 本题的难点是求点C关于线段OB的对称点C'，以及对PA＋PC的最小值的理解，而两点间的距离公式的掌握，可促使学生朝这两个方面去想，从而使问题得以解决． 例3 （2012年）如图4，已知抛物线y＝

3

121bx＋b1x（b是实数且b>2）与444

x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C． (1)点B的坐标为_______，点C的坐标为_______（用含b的代数式表示）； (2)请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于26，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）．如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 解 (1)，(3)略；

(2)如图4，假设存在满足题设条件的点P，并设P(x，y)．

过点P作PD⊥AB，PE⊥OC，垂足分别是D、E．

所以，存在满足条件的点P，P的坐标为 （

1616，） 55 评析 本题是一道综合性较强的题目，第(2)题的难点是证明PD＝PE，然后结合题设条件利用两点间的距离公式，可求出P点坐标．

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通过以上例子分析我们发现，能用距离公式解决的题目往往是比较难解决的压轴题，这就对我们的教学有几点启示：

1．教学中可以适当地补充一点课外知识，比如两点间距离公式、中点坐标公式、点到直线的距离公式等等，如此，学生多了一把解题的钥匙，多一点思路，就能提高一点解题能力．

2．教师应多研究一些经典例题、试题，找出其中不变的方法和知识，并加以归纳、总结，以“打包式专题”的形式传授给学生，为他们解题做好准备．

3．教学中，教师应给学生足够的解题训练的时间和思考的空间，以培养学生的钻研精神和探索能力，这对学生来说是极其重要的．

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