VAR模型(1)

8.1 向量自回归（VAR）模型

1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。

8.1.1 VAR模型定义

VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。假设y1t，y2t之间存在关系，如果分别建立两个自回归模型

y1, t = f (y1, t-1, y1, t-2, …) y2, t = f (y2, t-1, y2, t-2, …) 则无法捕捉两个变量之间的关系。如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。VAR模型的结构与两个参数有关。一个是所含变量个数N，一个是最大滞后阶数k。

以两个变量y1t，y2t滞后1期的VAR模型为例，

y1, t = 1 + 11.1 y1, t-1 + 12.1 y2, t-1 + u1 t

y2, t = 2 + 21.1 y1, t-1 + 22.1 y2, t-1 + u2 t (8.1) 其中u1 t, u2 t  IID (0,  2), Cov(u1 t, u2 t) = 0。写成矩阵形式是，

12.1y 1t=1+11.1y2t221.122.1y1,t1u1ty+ (8.2) 2,t1u2t设， Yt =y1t11.112.1u1t1,  =,  =, u =1tu, y22.12t221.12t则， Yt =  + 1 Yt-1 + ut (8.3) 那么，含有N个变量滞后k期的VAR模型表示如下：

Yt =  + 1 Yt-1 + 2 Yt-2 + … + k Yt-k + ut, ut  IID (0, ) (8.4) 其中，

Yt = (y1, t y2, t … yN, t)'  = (1 2 … N)'

11.j21.j j =N1.j12.j22.jN2.j1N.j2N.j, j = 1, 2, …, k NN.j ut = (u1 t u2,t … uN t)',

Yt为N1阶时间序列列向量。 为N1阶常数项列向量。1, … , k 均为NN阶参数矩阵，

ut  IID (0, ) 是N1阶随机误差列向量，其中每一个元素都是非自相关的，但这些元素，即不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。

因VAR模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与ut是不相关的，所以

1

可以用OLS法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。

VAR模型的特点是：

（1）不以严格的经济理论为依据。在建模过程中只需明确两件事：①共有哪些变量是相互有关系的，把有关系的变量包括在VAR模型中；②确定滞后期k。使模型能反映出变量间相互影响的绝大部分。

（2）VAR模型对参数不施加零约束。（参数估计值有无显著性，都保留在模型中） （3）VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量，所有与联立方程模型有关的问题在VAR模型中都不存在。

（4）VAR模型的另一个特点是有相当多的参数需要估计。比如一个VAR模型含有三个变量，最大滞后期k = 3，则有k N 2 = 3  32 = 27个参数需要估计。当样本容量较小时，多数参数的估计量误差较大。

（5）无约束VAR模型的应用之一是预测。由于在VAR模型中每个方程的右侧都不含有当期变量，这种模型用于预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值做任何预测。

西姆斯（Sims）认为VAR模型中的全部变量都是内生变量。近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量，也可以作为外生变量加入VAR模型。

8.1.2 VAR模型的稳定性特征 现在讨论VAR模型的稳定性特征。稳定性是指当把一个脉动冲击施加在VAR模型中某一个方程的新息（innovation）过程上时，随着时间的推移，分析这个冲击是否会逐渐地消失。如果是逐渐地消失，系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。

下面分析一阶VAR模型

Yt =  + 1 Yt-1 + ut (8.5)

为例。当t = 1时，有

Y1 =  + 1 Y0 + u1 (8.6)

当t = 2时，采用迭代方式计算，

Y2 =  + 1 Y1 + u2 =  + 1 ( + 1 Y0 + u1) + u2

= (I + 1)  + 12 Y0 + 1 u1 + u2 (8.7) 当t = 3时，进一步迭代，

Y3 =  + 1 Y2 + u3 =  + 1 [(I + 1)  + 12 Y0 + 1 u1 + u2] + u3

= (I + 1 + 12)  + 13 Y0 + 12 u1 + 1 u2 + u3 (8.8)

… …

对于t期，按上述形式推导

Yt = (I + 1 + 12 + … + 1t-1)  + 1t Y0 + Π1iut-i (8.9)

i0t1由上式可知，10 = I。通过上述变换，把Yt表示成了漂移项向量、初始值向量Y0和新息向量ut的函数。可见系统是否稳定就决定于漂移项向量、初始值向量Y0和新息向量ut经受冲击后的表现。

假定模型是稳定的，将有如下3个结论。

（1）假设t = 1时，对 施加一个单位的冲击，那么到t期的影响是

(I + 1 + 12 + … + 1t-1)

2

当t  时，此影响是一个有限值，(I - 1) -1。

（2）假设在初始值Y0上施加一个单位的冲击。到t期的影响是 1t。随着t ，1t  0，影响消失（因为对于平稳的VAR模型，1中的元素小于1，所以随着t ，取t次方后，1t  0）。

（3）从Π1ut-i项可以看出，白噪声中的冲击离t期越远，影响力就越小。Π1i=(I

i0i0t1it1- 1) -1，称作长期乘子矩阵，是对Π1iut-i求期望得到的。

i0t1对单一方程的分析知道，含有单位根的自回归过程对新息中的脉动冲击有长久的记忆能力。同理，含有单位根的VAR模型也是非平稳过程。当新息中存在脉动冲击时，VAR模型中内生变量的响应不会随时间的推移而消失。

平稳变量构成的一定是稳定（stability）的模型，但稳定的模型不一定由平稳变量构成。也可能由非平稳（nonstationary）变量（存在协整关系）构成。

8.1.3 VAR模型稳定的条件

VAR模型稳定的充分与必要条件是1（见 (8.3) 式）的所有特征值都要在单位圆以内（在以横轴为实数轴，纵轴为虚数轴的坐标体系中，以原点为圆心半径为1的圆称为单位圆），或特征值的模都要小于1。

1．先回顾单方程情形。以AR(2)过程 yt = 1 y t-1 + 2 y t-2 + ut (8.11)

为例。改写为

(1- 1 L - 2 L 2) yt = (L) yt = ut (8.12)

yt稳定的条件是(L) = 0 的根必须在单位圆以外。

2．对于VAR模型，用特征方程判别稳定性。以 (8.3) 式，Yt =  + 1 Yt-1 + ut，为例，改写为

(I - 1 L) Yt =  + ut (8.13)

其中A(L) = (I - 1 L)。VAR模型稳定的条件是特征方程 | 1 -  I | = 0的根都在单位圆以内。特征方程 | 1 -  I | = 0的根就是1的特征值。

例8.1 以二变量（N = 2），k = 1的VAR模型为例分析稳定性。

y1t5/81/2y1,t1u1t+y=yu (8.14) 1/45/82t2,t12t其中 1 =特征方程

5/81/2 1/45/81/25/81/205/8| 1 -  I | = = = 0 1/45/81/45/80即

(5/8 - )2 – 1/8 = (5/8 - )2 –(1/8)2= (0.978 - ) (0.271 - ) = 0 (8.15) 得 1 = 0.9786, 2 = 0.2714。1，2是特征方程 | 1 -  I | = 0的根，也是1的特征值。因为

3

1 = 0.978, 2 = 0.271，都小于1，所以对应的VAR模型是稳定的。

3．VAR模型的稳定性也可以用相反的特征方程（reverse characteristic function），| I – L 1 | = 0判别。即保持VAR模型平稳的条件是相反的特征方程 | I - L 1| = 0的根都在单位圆以外。

例8.2 仍以VAR模型(8.14) 为例，相反的特征方程

| I - L 1| = (1/4)L(5/8)L= (1/4)L0110(5/8)L(1/2)L1(5/8)L(1/2)L

1(5/8)L = (1- (5/8) L)2 - 1/8 L 2 = (1-0.978 L) (1-0.27 L) = 0 (8.16)

求解得

L 1 = 1/0.978 = 1.022, L 2 = 1/0.27 = 3.690,

因为L 1，L 2都大于1，所以对应的VAR模型是稳定的。

注意：

（1）特征方程与相反的特征方程的根互为倒数， = 1/L。

（2）在单方程模型中，通常用相反的特征方程 (L) = 0的根描述模型的稳定性；而在VAR模型中通常用特征方程 | 1 -  I | = 0的根描述模型的稳定性。即单变量过程稳定的条件是（相反的）特征方程(L) = 0的根都要在单位圆以外。VAR模型稳定的条件是，相反的特征方程| I – L 1 | = 0的根都要在单位圆以外，或特征方程 | 1 -  I | = 0的根都要在单位圆以内。

4．对于k>1的k阶VAR模型可以通过友矩阵变换（companion form），改写成1阶分块矩阵的VAR模型形式。然后利用其特征方程的根判别稳定性。具体变换过程如下。

给出k阶VAR模型， Yt =  + 1 Yt-1 + 2 Yt-2 + … + k Yt-k + ut (8.17)

再给出如下等式，

Yt -1 = Yt -1 Yt -2 = Yt -2 …

Yt -k +1 = Yt - k +1

把以上k个等式写成分块矩阵形式，

YtΠ1YI0t1Yt2=0+0Ytk1NK10NK10Π20I0Πk100IΠk000NKNKYt1utY0t2Yt3+0 (8.18) YtkNK10NK1其中每一个元素都表示一个向量或矩阵。令

Yt = (Yt-1 Yt-2 … Yt-k+1) 'NK1 A0 = ( 0 0 … 0) 'NK1

4

Π1IA1 =00Π20I0Πk100IΠk0 00NKNKUt = (ut 0 0 … 0) ' NK1

上式可写为

Yt = A0 + A1 Yt -1 + Ut (8.19) 注意，用友矩阵变换的矩阵（向量）用正黑体字母表示。k阶VAR模型用友矩阵表示成了1阶分块矩阵的VAR模型。

例如，2变量2阶VAR模型的友矩阵变换形式是

Yt1Y=+t10I2Yt1ut+ (8.20) 0Yt20其中等式的每一个元素（项）都表示一个41阶向量或44阶矩阵。

例如，2变量3阶VAR模型的友矩阵变换形式是

Yt1Y=0+t1 Yt20023Yt1ut0 00Y+0 (8.21) t2Yt30其中等式的每一个元素（项）都表示一个61阶向量或66阶矩阵。

VAR模型的稳定性要求A1的全部特征值，即特征方程 | A 1 -  I | = 0的全部根必须在单位圆以内或者相反的特征方程 | I - L A 1| = 0的全部根必须在单位圆以外。

注意：特征方程中的A 1是NkNk阶的。特征方程中的I也是NkNk阶的。 以2阶VAR模型的友矩阵变换为例，

I012IL1L2L| I - L A 1| = I=0I0LII= 1- L 1 - L 2 2  = 0 (8.22)

的全部根必须在单位圆以外。

以3阶VAR模型的友矩阵变换为例，

I00| I - L A 1| =0I0L 00I00 0=LI001L1L2ILIL30I

= | I- L 1 - L 2 2 - L 3 3 | = 0 (8.23)

的全部根必须在单位圆以外。因此，对于k阶VAR模型的友矩阵变换形式，特征方程是，

| I - 1 L - 2 L 2 - … - k L k | = 0 (8.24) 例8.3 用以具体数字为系数的2变量、2阶VAR模型做进一步说明。有

Yt =  + 1 Yt-1 + 2 Yt-2 + ut

5

其中，

1 = , 2 =1/43/43/16友矩阵变换形式是

Yt=+1I0Yt15/85/161/81/4 3/42Yt1ut+ (8.25) 0Yt20y1t15/8y2t23/4或 =+y011t10y02t15/163/16011/81/41/43/40000y1t1u1tyu2t12t+ (8.26) y01t20y2t2或 Yt = A0 + A1 Yt -1 + Ut (8.27) 因为A1的阶数为44（注意，因为N=2，k=2，所以A1的阶数为44），所以有4个特

征根。特征方程是

5/85/161/81/413/43/161/43/40| A 1 -  I | =1000001000000100 0100015/165/83/43/16=10101/81/41/43/4= 0 (8.28) 004个根见下表：

根 1 = 1.000 2 = 0.947

3 = 0.380-0.144 i 4 = 0.380-0.144 i

模 1.000 0.947 0.406 0.406

尽管有3个根在单位圆内，因为有一个根为1，落在单位圆上，所以平稳性条件未能得到满足。

8.1.4 VAR模型的脉冲响应函数和方差分解

由于VAR模型参数的OLS估计量只具有一致性，单个参数估计值的经济解释是很困难的。要想对一个VAR模型做出分析，通常是观察系统的脉冲响应函数和方差分解。

（1）脉冲响应函数。

脉冲响应函数描述一个内生变量对误差冲击的反应。具体地说，它描述的是在随机误差项上施加一个标准差大小的冲击后对内生变量的当期值和未来值所带来的影响。

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对于如下VAR模型，y1, t表示GDP，y2, t表示货币供应量，

y1, t = 1 + 11.1 y1, t-1 + 12.1 y2, t-1 + u1 t

y2, t = 2 + 21.1 y1, t-1 + 22.1 y2, t-1 + u2 t (8.1) 在模型（8.1）中，如果误差u1t 和u2t不相关，就很容易解释。u1t是y1, t的误差项；u2t

是y2, t的误差项。u2t的脉冲响应函数衡量当期一个标准差的货币冲击对GDP和货币存量的当前值和未来值的影响。

对于每一个VAR模型都可以表示成为一个无限阶的向量MA(∞)过程。具体方法是对于任何一个VAR(k)模型都可以通过友矩阵变换改写成一个VAR(1)模型（见8.1.3节）。

Yt = A1 Yt -1 + Ut (I - L A 1) Yt = Ut Yt = (I - L A 1)-1 Ut

= Ut + A1Ut-1 + A12 Ut-2 + …+ A1s Ut-s + … 这是一个无限阶的向量MA(∞)过程。或写成，

Yt+s = Ut+s + A1Ut+s -1 + A12 Ut+s -2 + …+ A1s Ut + …

Yt+s = Ut+s + 1Ut+s -1 + 2 Ut+s -2 + …+ s Ut + … (8.29)

其中

1 = A1, 2 = A12, …,  s = A1 s,

显然，由 (8.29)式有下式成立，  s =

Yts Ut s中第i行第j列元素表示的是，令其他误差项在任何时期都不变的条件下，当第j个变量对应的误差项uj t在t期受到一个单位的冲击后，对第i个内生变量在t+ s期造成的影响。 把 s中第i行第j列元素看作是滞后期s的函数

yi,tsujt, s = 1, 2, 3, …

称作脉冲响应函数（impulse-response function），脉冲响应函数描述了其他变量在t期以及以前各期保持不变的前提下，yi, t+s对 yj, t时一次冲击的响应过程。

对脉冲响应函数的解释出现困难源于误差项从来都不是完全非相关的。当误差项相关时，它们有一个共同的组成部分，不能被任何特定的变量所识别。为处理这一问题，常引入一个变换矩阵M与ut相乘，

vt = M ut  (0, )

从而把ut的方差协方差矩阵变换为一个对角矩阵。现在有多种方法。其中一种变换方法称作乔利斯基（Cholesky）分解法，从而使误差项正交。

原误差项相关的部分归于VAR系统中的第一个变量的随机扰动项。在上面的例子里，u1 t和u2t的共同部分完全归于u1t，因为u1t在u2 t之前。

虽然乔利斯基分解被广泛应用，但是对于共同部分的归属来说，它还是一种很随意的方法。所以方程顺序的改变将会影响到脉冲响应函数。因此在解释脉冲响应函数时应小心。

对于每一个VAR模型都可以表示成为一个无限阶的向量MA(∞)过程。 Yt =  + ut + 1 ut -1 + 2 ut -2 + … (8.29) 对于ut中的每一个误差项，内生变量都对应着一个脉冲响应函数。这样，一个含有4个内生变量的VAR将有16个脉冲响应函数。要得到VAR模型的脉冲响应函数，可以在VAR

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的工具栏中选择Impulse功能健。

（2）方差分解。

另一个评价VAR模型的方法是方差分解。VAR的方差分解能够给出随机新息的相对重要性信息。EViews对于每一个内生变量都计算一个独立的方差分解。3个变量的VAR跨时为10的方差分解如下图。

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S.E.所对应的列是相对于不同预测期的变量的预测误差。这种预测误差来源于新息的当期值和未来值。其他的几栏给出关于源于某个特定的新息所引起的方差占内生变量总方差的百分比。向前一个时期，一个变量的所有变动均来自其本身的新息。因此第一个数字总是100%。同样，方差分解主要取决于方程的顺序。

8.1.5 VAR模型滞后期k的选择

建立VAR模型除了要满足平稳性条件外，还应该正确确定滞后期k。如果滞后期太少，误差项的自相关会很严重，并导致参数的非一致性估计。正如在第4章介绍ADF检验的原理一样，在VAR模型中适当加大k值（增加滞后变量个数），可以消除误差项中存在的自相关。但从另一方面看，k值又不宜过大。k值过大会导致自由度减小，直接影响模型参数估计量的有效性。下面介绍几种选择k值的方法。

1．用LR统计量选择k值。LR（似然比）统计量定义为， LR = - 2 (log L(k) - log L(k+1) ) 2(N2) (8.34) 其中log L(k) 和log L(k+1) 分别是VAR(k) 和 VAR(k+1) 模型的极大似然估计值。k表示VAR模型中滞后变量的最大滞后期。LR统计量渐近服从2(N2)分布。显然当VAR模型滞后期的增加不会给极大似然函数值带来显著性增大时，即LR统计量的值小于临界值时，新增加的滞后变量对VAR模型毫无意义。应该注意，当样本容量与被估参数个数相比不够充分大时，LR的有限样本分布与LR渐近分布存在很大差异。

2．用赤池（Akaike）信息准则 (AIC) 选择k值。  AIC = logˆt2t1u2k+ (8.35) TTTˆt表示残差，T表示样本容量，k表示最大滞后期。选择k值的原则是在增加k值的过其中u程中使AIC的值达到最小。 EViews 3.0的计算公式是

logL2kAIC = -2+

TT 3．用施瓦茨（Schwartz）准则 (SC) 选择k值。

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 SC = logˆt2t1uklogT+ (8.36) TTTˆt表示残差，T表示样本容量，k表示最大滞后期。选择最佳k值的原则是在增加k值其中u的过程中使SC值达到最小。 EViews 3.0的计算公式是

logLklogTSC =-2 +

TT8.1.6格兰杰非因果性检验

VAR模型还可用来检验一个变量与另一个变量是否存在因果关系。经济计量学中格兰杰（Granger）非因果性定义如下：

格兰杰非因果性：如果由yt和xt滞后值所决定的yt的条件分布与仅由yt滞后值所决定的条件分布相同，即

( yt  yt -1, …, xt -1, …) = ( yt  yt -1, …), (8.37) 则称xt -1对yt存在格兰杰非因果性。

格兰杰非因果性的另一种表述是其他条件不变，若加上xt的滞后变量后对yt的预测精度不存在显著性改善，则称xt -1对yt存在格兰杰非因果性关系。

为简便，通常总是把xt-1 对yt存在非因果关系表述为xt（去掉下标 -1）对yt存在非因果关系（严格讲，这种表述是不正确的）。在实际中，除了使用格兰杰非因果性概念外，也使用“格兰杰因果性”概念。顾名思义，这个概念首先由格兰杰（Granger 1969）提出。西姆斯（Sims 1972）也提出因果性定义。这两个定义是一致的。

根据以上定义，xt 对yt 是否存在因果关系的检验可通过检验VAR 模型以yt 为被解释变量的方程中是否可以把xt 的全部滞后变量剔除掉而完成。比如VAR 模型中以yt 为被解释变量的方程表示如下：

yt =

iyti+ixti+ u1 t (8.38)

i1i1kk如有必要，常数项，趋势项，季节虚拟变量等都可以包括在上式中。则检验xt 对yt存在格兰杰非因果性的零假设是 H0: 1 = 2 = …= k = 0

显然如果（8.24）式中的xt 的滞后变量的回归参数估计值全部不存在显著性，则上述假设不能被拒绝。换句话说，如果xt 的任何一个滞后变量的回归参数的估计值存在显著性，则结论应是xt 对yt 存在格兰杰因果关系。上述检验可用F统计量完成。 F =

(SSErSSEu)k (8.39)

SSEu(TkN)其中SSEr 表示施加约束（零假设成立）后的残差平方和。SSEu 表示不施加约束条件下的残差平方和。k表示最大滞后期。N表示VAR模型中所含当期变量个数，本例中N = 2，T表示样本容量。在零假设成立条件下，F统计量近似服从F( k, T - k N ) 分布。用样本计算的F值如果落在临界值以内，接受原假设，即xt 对yt 不存在格兰杰因果关系。

例：（file: stock）以661天（1999.1.4-2001.10.5）的上海（SH）和深圳（SZ）股票收盘价格综合指数为例，

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滞后10期的Granger因果性检验结果如下：（当概率小于0.05时，表示推翻原假设）

上表中概率定义为，

P(F>1.36) = 0.19316

图示如下：

0.80.60.40.2临界值 1.36 0.511.522.5 P(F>23.44) = 0.00000

因为F值（1.36）落在原假设接受域，所以原假设“上海股票价格综合指数对深圳股票价格综合指数不存在Granger因果关系” 被接受。

因为F值（23.44）落在原假设拒绝域，所以原假设“深圳股票价格综合指数对上海股票价格综合指数不存在Granger因果关系” 被推翻。

用滞后110期的检验式分别检验，结论都是深圳股票价格综合指数是上海股票价格综合指数变化的原因，但上海股票价格综合指数不是深圳股票价格综合指数变化的原因，

EViews操作方法是，打开数剧组窗口，点View键，选Granger Causility。在打开的对话窗口中填上滞后期（下面的结果取滞后期为10。），点击OK键。

VAR模型的EViews估计步骤。 点击Quick, 选Estimate VAR功能。

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输出结果如下（部分）

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8.2 VAR模型与协整 如果VAR模型

Yt = 1 Yt-1 + 2 Yt-1 + … + k Yt-k + ut, ut  IID (0, ) (8.40) 的内生变量都含有单位根，那么可以用这些变量的一阶差分序列建立一个平稳的VAR模型。

Yt = 1* Yt-1 + 2* Yt-2 + … + k* Yt-k + ut* (8.41)

然而，当这些变量存在协整关系时，这种建模方法不是最好的选择。如果Yt  I(1)，且非平稳变量间存在协整关系。那么非平稳变量的由协整向量组成的线性组合则是平稳的。这时，采用差分的方法构造VAR模型虽然是平稳的，但不是最好的选择。建立单纯的差分VAR模型将丢失重要的非均衡误差信息。因为变量间的协整关系给出了变量间的长期关系。同时用这种非均衡误差以及变量的差分变量同样可以构造平稳的VAR模型。从而得到一类重要的模型，这就是向量误差修正模型。

下面推导向量误差修正（VEC）模型的一般形式。

对于k = 1的VAR模型，Yt = 1 Yt-1 + ut，两侧同减Yt-1，得

 Yt = (1 – I )Yt-1 + ut (8.42) 对于k=2的VAR模型，Yt = 1 Yt-1 + 2 Yt-2 + ut，两侧同减Yt-1，在右侧加、减 2 Yt-1，

并整理得

 Yt = (1 + 2 - I ) Yt-1 - 2 Yt-1 + ut (8.43) 对于k=3的VAR模型，Yt = 1 Yt-1 + 2 Yt-2 + 3 Yt-3 + ut，两侧同减Yt-1，在右侧加、减 2 Yt-1和3 Yt-1并整理得

Yt = (1 + 2 + 3 - I ) Yt-1 - 2 Yt-1 - 3 Yt-1 + 2 Yt-2 + 3 Yt-3 + ut

= (1 + 2 + 3 - I ) Yt-1 – 2 Yt-1 - 3 Yt-1 + 3 Yt-3+ ut 在右侧加、减 3 Yt-2并整理得

Yt = (1 + 2 + 3 - I ) Yt-1 - 2 Yt-1 - 3 Yt-1 + 3 Yt-2 - 3 Yt-2 + 3 Yt-3+ ut = (1 + 2 + 3 - I ) Yt-1 - 2 Yt-1 - 3 Yt-1 - 3 Yt-2 + ut

= (1 + 2 + 3 - I ) Yt-1 – (2 +3 ) Yt-1 - 3 Yt-2 + ut (8.44) 对于k阶VAR模型，Yt = 1 Yt-1 + 2 Yt-2 + … + k Yt-k + ut，利用k=1, 2, 3的VAR模型的推导规律，见(8.42) - (8.44)式，其向量误差修正模型（VEC）的表达式是

Yt = (1 +2 +…+k - I ) Yt -1- (2 +3 +…+k) Yt-1- (3 +…+k) Yt-2 -…- k Yt - (k-1) +ut

(8.45) 令 j = -kij1i, j = 1, 2, …, k-1，

k = - 0 - I =i- I = 1 + 2 + … + k - I， (8.46)

i1则上式写为

Yt =  Yt-1 + 1 Yt-1 + 2 Yt-2 + … + k-1 Yt - (k-1) + ut (8.47)

这是向量误差修正模型（VEC）的一般表达式。 称为压缩矩阵（影响矩阵）。 是全部参数矩阵的和减一个单位阵。 为多项式矩阵，其中每一个元素都是一个多项式。运算规则于一般矩阵相同。滞后期的延长不影响对协整向量个数的分析。

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根据Granger定理，向量误差修正模型（VEC）的表达式是

A†(L) (1- L) Yt =   ' Yt-1 + d (L) ut (8.48) 其中A†(L) 是多项式矩阵A(L)分离出因子(1- L)后降低一阶的多项式矩阵，d (L)是由滞后算子表示的多项式矩阵。

上式与 (8.47) 式完全相同。其中

A†(L) (1- L) Yt = A†(L) Yt = Yt - 1 Yt-1 - 2 Yt-2 - … - k-1 Yt - (k-1) d(L) ut = ut

在这里d (L) 退化为单位阵。

若Yt  CI(1, 1)，比较 (8.47) 和 (8.48) 式必然有

 =   '

其中是协整矩阵， 是调整系数矩阵。 和 都是Nr阶矩阵。表示有r个协整向量，1,

2 … , r，存在r个协整关系。因为Yt  I(1)，所以 Yt  I(0)。从模型 (8.45) 变换为模型 (8.47)

称为协整变换。压缩矩阵  决定模型 (8.47) 中是否存在，以及以什么规模存在协整关系。因为 Yt  I(0)，所以除了 Yt-k ，模型 (8.47) 中各项都是平稳的。而对于 Yt-k有如下三种可能。

1．当Yt 的分量不存在协整关系，的特征根为零， = 0。

2．若rank () = N（满秩），保证  Yt-k平稳的唯一一种可能是Yt  I(0)。 3．当Yt  I(1)，若保证  Yt-k平稳，只有一种可能，即Yt 的分量存在协整关系。  'Yt  I(0)

VEC模型是带有误差修正机制的关于Yt 的VAR模型。增加Yt-1滞后项的目的是吸收ut中的自相关成分，使其变为白噪声。没有这些项，等于丢掉了动态成分。

假定Yt  I(1) 具有一般性。如果某个变量的单整阶数高于1，可通过差分取其相应单整阶数为1的序列加入模型。上式也可以加入位移项与趋势项。

若  =   ' 成立，且存在r个协整关系，则 Yt-1的一般表达式是

11  Yt-1 =   'Yt-1 = 21N111 = 21N11r2rNr1r2rNrNrNr111Nr1rNrNy1,t1y2,t1 yN,t1N111y1,t1...1NyN,t1y...yr11,t1rNN,t1

r111(11y1,t1...1NyN,t1)1r(r1y1,t1...rNyN,t1) = (y...y)(y...y)N1111,t11NN,t1Nrr11,t1rNN,t1

N1 (8.49)

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为便于理解，现在以N =2, k=1的VEC模型为例，说明VEC模型中的协整关系。 例8.4 有VEC模型  y1, t = -  y2, t =

11( y1, t-1 –y2, t-1) + u1 t (8.50) 2811( y1, t-1 –y2, t-1) + u2 t (8.51) 28看(8.50)式，令误差修正项 [y1, t-1 – (1/8) y2, t-1] = v1, t-1。当v1, t-1增加，系统偏离了均衡点，y1,

，在t期将导致  y1, t减小，也即y1, t减小。从而t-1 > (1/8) y2, t-1，因为调整系数为负（- 1/2）

使y1, t移向均衡点。反之亦然。把 (8.51) 式改写如下，

 y2, t = -

1( y2, t-1 – 8 y1, t-1) + v 2 t 16误差修正机制的解释与上类似。

把 (8.50)，(8.51) 写成矩阵形式。

=y2,t1/2y1,t

1/21/161/16y1,t1u1ty+=  Yt-1 + ut (8.52) 2,t1u2t现在分析矩阵。因为    =如下特征方程，

|  -  I | = 1/21/21/21/16= 0，是降秩的。为求  的特征值，解1/21/161/1601/2= 1/1601/21/16

1/16 = 1/32 + 9/16 +  2 –1/32

=  2 + 9/16 =  ( + 9/16) = 0 (8.53)

两个根是1 = 0，2 = - 9/16。

1 = 0，说明  是降秩的。一般来说，非零根的个数既是  的秩。  有三种情形。（1）当  完全降秩，即rank() = 0时，任意形式的  通过适当线性变换，可以得到  = 0。于是（8.52）式变为，

 Yt = ut

这是一阶差分形式的平稳的VAR模型。说明Yt中含有一个单位根。VAR模型中没有协整向量。

现在讨论多于一个协整关系的情形。

例8.5 设三个变量的k = 1的误差修正模型如下，

 y1, t = - (1/2) [y1, t-1 - (1/8) y2 t-1] + (1/4) [y2, t-1 - (1/4) y3 t-1]+ u1 t  y2, t = (1/8) [y1, t-1 - (1/8) y2 t-1]– (5/8) [y2, t-1 - (1/4) y3 t-1]+ u2 t  y3, t = (1/4) [y1, t-1 - (1/8) y2 t-1] + (3/8) [y2, t-1 - (1/4) y3 t-1]+ u3 t 矩阵形式是

y1,t y2,t=

y3,t1/21/41/85/83/81/4011/8011/4y1,t1u1ty2,t1+u2t (8.54) y3,t1u3t 15

1/21/41/85/8 =   ' =3/81/45/161/161/2011/8=1/841/645/320 11/41/411/323/32 的特征值是 -0.7928，-0.4416，0。存在两个协整关系。

注意：在第一个协整向量中，y3, t的系数被约束为零。在第二个协整向量中，y1, t的系数

被约束为零。这说明两个均衡关系是不一样的，可识别的。

例8.6 设k = 2的VAR模型

y1ty = 2t5/81/163/43/16y1,t11/81/4y+2,t11/43/4y1,t2u1ty+ 2,t2u2t与其相应的误差修正模型是，

y1,t1/21/16=y2,t1/21/16y1,t11/81/4y+2,t11/43/4y1,t1u1ty+ (8.55) 2,t1u2ty1,t1u1ty+ 2,t1u2ty1,t1u1ty+ 2,t1u2t1/21y1,t11/81/4 = (1 -)+y1/282,t11/43/41/21/81/41 =  ( y -y) +1, t-12 t –11/43/481/2其中 = 1/21/21/161/21=(1 -) =   '。 1/161/281若Yt  CI(1, 1)，则协整向量是 (1 -) '。

88.3 存在单位根与 降秩的关系。

下面分析VAR模型中存在单位根与压缩矩阵降秩的关系。以k = 1的VAR模型为例，

Yt = 1 Yt-1 + ut (8.56)

它的VEC表达式是 Yt =  Yt-1 + ut。(8.56)式还可以写为

(I - 1 L)Yt = A (L)Yt = ut (8.57)

其中A (L) = (I - 1 L)。8.1.3节已经介绍，对于1阶VAR模型，变量稳定的条件是1的所有特征值的模都要比1小，或者说相反的特征方程的根应在单位圆以外。

根据矩阵运算规则，对于方阵A，有A(L)-1 = adj (A(L) )/  A(L) ，或

 A(L)  A(L)-1 = adj (A(L) ) (8.58) 其中adj (A(L) )是A的伴随矩阵。用adj (A(L) )左乘(8.57)式 adj (A(L) )A (L)Yt = adj (A(L) ) ut

把(8.58)式关系代入上式，得

 A(L)  Yt = adj (A(L) ) ut (8.59)

其中 A(L) 是一个以滞后算子L为变数的k阶多项式（标量）。 A(L)  与Yt中每一个分量相乘。因为ut是平稳的，如果Yt  I (1)， A(L) 就可以被分解为 (1- L) A*(L) 。其中A*(L) 是分解出因子(1- L)后，相应k -1阶多项式（标量）。单位根算子(1- L)将与Yt中每一个变量

16

相乘。

为了评价VEC模型中协整向量的个数，需要考察 =i- I（见(8.46)式）非零特征

i1k值的个数，也即的秩。存在协整关系就意味着降秩。

为了考察Yt中是否含有单位根，需要计算  A(L)  =  I -i(L)  的值。

i1k注意：上面所说的协整向量个数与单位根个数的关系是，若存在单位根，则必有 A(1)  =  I -i(1)  = -    = 0。所以如果VAR模型中存在单位根，一定是降秩的，而这意味

i1k着至少存在一个协整向量。

例8.4 一阶2变量VAR模型如下：

Yt = 1 Yt-1 + ut

1/21/16其中 1 =

1/215/16101/21/16A(L) = I - 1 L= - 011/215/16 A(L)  = 1- (23/16)L + (7/16)L2 = (1-7/16 L) (1- L)

其中A*(L) = (1-7/16 L)。上式显示存在两个根，一个是L=1，一个是L=7/16。

条件 A(1)  = 0与单变量过程中的条件是一致的。 A(1)  = 0，意味着   = 0，降秩。 把结论代入(8.59) 式， A(L)  Yt = adj (A(L) ) ut。

(1-7/16 L) (1- L) Yt = (1-7/16 L) (1- L)y1ty1t= (1-7/16 L)y y2t2tu1t(115/16L)u1t1/16Lu2tu= 2t(1/2L)u1t(11/2L)u2t115/16L1/16L=11/2L1/2L整理上式

y1ty1t1(115/16L)u1t1/16Lu2ty= 7/16y+(1/2L)u(11/2L)u

1t2t2t2t1 因为存在一个单位根，所以原变量的差分变量Yt写成的表达式是平稳的。

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