(回忆版)2012年北京师范大学数学科学院硕士生入学考试真题

专业基础 高等代数部分

1.给出了一个含参数a的线性方程组

（1）当方程组有非零解时，求参数a的值 （2）求线性方程组的秩

2.计算行列式错误！未找到引用源。

3.存在非零向量，使得Am0,Am10，证明： （1）,A,A2,,Am线性无关 （2）秩An=秩An1

4.给出了一个33阶实数矩阵A （1）求矩阵A的特征值和特征向量

（2）求正交矩阵Q和对角矩阵D，使得QTAQD

数学分析部分

1. 曲线C是由yx1和yx1围成的封闭曲线

22（1） 求曲线C的外法向量n

（2） 已知f(x,y)（不记得了），求fnCds，其中，ds为弧长微元，n为外法向量

2. 求k11k2k131k

3. 求zdxdydz，其中，由xyz3,yz0,xz0,z0围成

4. 已知fx单调不减，连续，0gx1，连续，利用这些条件证明一个不等式 5. 判断F1xlnx1dx（大概是这样的）的定义域，连续性，可微性

专业综合

常微分方程部分

1. （15分）已知微分方程xyy0，分别给出了三个初始条件，判断在满足相应初始条

件下，解的存在性及个数，并说明这与解的存在唯一性定理是否矛盾 2. （15分）给出了一个22阶常数矩阵A，求e?

3. （15分）已知yy0，分别给出了三个边值条件，求满足相应边值条件的解

A4. （15分）给出了两个特解，验证它们是x2y5xy5y0的解，求出该微分方程的

所有解并说明理由 5. （15分）求一条曲线，使得从原点出发到任一切线的距离等于切点的横坐标 概率论与数理统计部分

1. （25分）已知随机变量,的联合分布,的密度函数为px,ykex2y （1） 求k

（2） 求,的分布函数F1x,F2y （3） 证明随机变量,相互 （4） 求P01,02

2.（25分）已知随机变量0.12n是0,1上的均匀分布 （1） 对任意的n，求n的分布函数 （2） 证明n是随机变量序列 （3） 证

明

n满足中心极限定理

3.（25分）已知某元件的寿命服从指数分布，参数为，现任意取出n件元件，经过时间T0后，已有k（0后记：虽然很多题目的具体数据记的不是很清楚，但是，通过以上回忆版的真题，大家也应该能感受到，今年的试题很基础，这也为师弟师妹明年的复习指明了方向：书本知识和最基本最基础的东西，永远都是亘古不变的重点。最后，祝愿大家潜心复习，真正的学数学

09年北京师范大学数学考研真题

专业综合一（数分，高代）

1．求xdxdy D为ABC:A(2,0)B(1,1)C(2,3)

D2. 把

Vf(x,y,z)dxdydz化为累次积分f(x,y,z为)连续函数,V为四面体:

P(2,2,0)A(2,0,0)B(0,0,2)C(1,1,3)

3. 求 lim12...nnnn1

4. f(x)处处有导数,求证:f(x)的间断点如果有的话,一定是第二类间断点.

'5. an为实数列, Sna1a2...an,n1n12(S1S2...Sn),已知级数Snnn1收敛,求证an收敛.

n16.求证(1):

n1limcosxx2xnlnsinxx

(2)

n112ntan2n1xcotx

7.已知f(x)连续, limf(t)f(x),求证:f(x)黎曼可积.

tx8.设A为mn矩阵,一定存在一个nm矩阵B,使ABIm的充要条件是秩(A)=m. 9.A是三阶实矩阵, 秩(A)=2,它的二重特征值为126,属于126的特征值分别

TT为1(1,1,0),2(2,1,1),求矩阵A.

10.已知为对称变换,V是一个空间,W为V的一个子空间,则W为的不变子空间. 11.已知A,B为复矩阵, An2Bn20,An1Bn10,求证A,B相似. 专业综合二(概率,常微分,实变函数)

1. 已知第一箱有2个白球,6个黑球,第二箱有4个白球,2个黑球,从第一箱取2个放入第二

箱. 求:1)从第二箱取出白球的概率

2)已知从第二箱取出白球,则从第一箱取出2个白球的概率. 2. 记yn为第n次成功等待的时间,成功概率为p. 求(1) Tnynyn1的分布为0-1分布. (2)证:Tn为相互的随机变量 . (3)求yn的期望和方差.

3. GG1G2,G1G2,总体均值Xx1,x2...x10E(x)1Nnxk1k,从G1中取10个随机变量,

x11,x12,...x20)2,从

1E,1G2中取

)10 个随机变量,

( D)x2,(,已知

11x(D12x,1)求证: Xx20k120120k为总体均值的无偏估计.

2)T120110(xkk110k11xk),求 E(T).

3) T(1032xk1k1320k11ar(T). xk),求V

limm(Ek) k5. m(E),求证:m(limEk)k6.maxkf1(x),f2(x),...fk(x)M,limfk(x)f(x),a.e.E

Ek求证: 8.求

Ef(x)dx0

dydxy1y1,y(0)0的解.

9.求解方程 x(1x3)y'p(x)y2Q(x)yk(x)(这是黎卡提方程) 0010.求A01000201001y1x1y20dyx2,Ax,y,x满足初值y(0)0的解.

y3x30dxy0x4411. 求证:

dy0dx注:以上是我考试完凭记忆写出来的,专业综合二有两道没记下来,其他的地方基本准确,希望

cos(x(yx))满足初值y(a)a的解唯一,且limy(a)0一致成立.

对2010年考北师数学的同学有些帮助.

2007专业基础

1.(15分)求下列极限.

xn(1)lim1,其中n0n xn(2)lim123n3nnxn.

222.(15分)写出将平面直角坐标系下Laplace方程ux2uy20化为平面极坐标系下

的方程ur221ur2221urr0的计算过程.

3.(15分)求fxcosax,x,的Fourier级数，其中aZ,并由此证明恒等式

1sinx1x1n1n1nx1,m,xmxn .Z4.(15分)设fCa,bab.求证 ) (1)fx(ba1baftd(t)babaftd(t )1ba. (2)f1abba2f(t)dt2f(t)dt.

5.(15分)设f(x)un1n(x),xa,b,un(x)(n1,2,)和f(x)均在a,b上

非负连续.求证un(x)在a,b上一致收敛与n1 ).f(x6.(10分)已知f在a,上可导且limf(x)xxC,求证存在xn(n)使得

(n)C . limfxx7.(13分)分别在复数域C和实数域R上将多项式x2分解为不可约多项式的乘积.5 8.(16分)设V是数域F上一个n维向量空间.证明： (1)V的任意一个真子空间都是的V若干个n维1子空间的交.

)在V的n维1子空间 (2存V2,V使,得V 31 V1V2V3V1V3V2V 3.9.(16分)设V是复数域C上的一个n维向量空间，,是V的线性变换，且=.

证明：

(1)的每一个本征总空间都是的不变子空间. (2)与有一个公共的本征向量.

10.(20分)设A=aij是一个任意n阶实矩阵，证明

detA2ai1n21ia2iani.

22

专业综合一

1.(10分)袋中有499只白球与500只黑球，现任取出250只，发现它们是同色的,

请判断取出的这些球的颜色,并指出这种判断犯错误的概率.

2.(10分)假设1,2,,100为同分布的随机变量，都服从0，1区间上的均匀

分布,考虑定积分

11 edx，x2试利用1,2,,100来逼近这个定积分，并阐明逼近的依据.

3.(10分)设,为相互的随机变量,服从0，1区间上的均匀分布，并且概率 P(1)1P(0)0.5, 试分别求和的分布函数.

4.(10分)设1,2,,n为相互的随机变量，其共同的密度函数为

p(x)12a2ax1nn,

试证明1的特征函数为f(t)eat,并且k1k与1具有相同的分布.

5.(10分)请解答下列问题：

(1)假设检验的思想和反证法的思想有何类似之处？(2)假设简单样本(同分布样本)X1,X2,,Xn来自于N(,1)总体,试给出总体 均值的95%置信区间表达式.

x3y6.(13分)求解微分方程 3dy(1e2)dx0.

7.(13分)求解方程(4x1)y2(4x1)y8y0.

8.(12分)已知函数f(x)在(0,+)上可导，且对任意的x0,曲线yf(x)上点

(x,f(x))处的切线在y上截距等于1xx0f(t)dt,求函数f(x)的一般表达式.

9.(12分)已知条件：当t时,a11(t)a22(t)b0.研究方程组1a11(t)x1a12(t)x2,x2a21(t)x1a22(t)x2x

的零解在这个条件下的稳定性.

说明:下面4个题中“可测”与“可积”均指“Lebesgue可测”与“Lebesgue可积”,m(E)表示点集E的Lebesgue测度.10.(10分)证明：R中一切包含集E的闭集的交为E的闭包E.

n11.(15分)设fk(x)是R中的可测集E上的实值可测函数列，m(E).证明：

nklimfk(x)0,a.e.xE

的充要条件是：对任意的j0有

kjlimm({xE:supfk(x)})=0.

n12.(15分)设f(x),g(x)均为R中的可测集E上的非负实值可测函数，且f(x)g(x)

在E上可积.对t0记,tE(1函)数ft()f{xE:g(x)证明t}：.

Etxd(对x)一切t有定0义

E(2)ft(在)(0,+)上可积，且0ftdt=()fxg(xd)x ().13.(10分)设f(x)在a,b上递增，且有

baf(x)dxf(b)f(a),

试证明f(x)在a,b上绝对连续.

2006年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目：专业基础（数学分析、高等代数）

1. 当a、b为何值时，下列线形方程组有解，并求解：

ax1(b1)x22x31 ax1(2b1)x23x31

ax1(b1)x2(b4)x32b1

2. V是n维的线形空间，、V1、V2是V的子空间，且V1、V2的维数相等，证明存在一个子空间W，使得VV1WV2W。

3. 证明：（1）若A是可逆矩阵，则AA′是正定矩阵。

（2）若A是对称矩阵，证明存在一个实数s，使得矩阵In+sA是正定矩阵。

4. A、B是n阶矩阵，证明：

（1） 秩（A－ABA）=秩A+秩(In－BA)－n

（2） 若A+B=In,且秩A+秩B=n,则A2=A,B2=B,且AB=0=BA

5. 若0< x1<1,0<α<1,数列{xn}满足关系式：xn+1=1-(1- xn ),求limxn及limxα

xn1xnx

6．求I

7．函数f(x)C[1,1],且有11Re(x22xyy2)dxdy，其中R2表示整个平面。

f(x)dx0,xf(x)0，证明：至少存在两个不同元

11，使得f(f()0

8．函数g(x)C[0,1],g(1)0,且g(1)0(g(1)可理解为左导数)，证明：xng(x)在

n0[0，1]上一致收敛。

339．f在R上有二阶连续偏导，(x,y,z)R，记f在Br(x,y,z)(r0)上的第一型曲面

积分：F(x,y,z;r)14r2B(x,y,z)f(u,v,w)ds ，其中Br322r(x,y,z)(r0)表示中心

在(x,y,z)半径为r的球面{(u,v,w)R:(xu)(yv)(zw)r}，ds表示

Br(x,y,z)上的面积微元，求证：

22ⅰ>

limF(x,y,z;r)r0f(x,y,z)；

ⅱ>

limr0F(x,y,z;r)r20

ⅲ>

limr0F(x,y,z;r)r2f(x,y,z) ，此处22x22y22z表示R3中的Laplace

微分算子。

10．已知函数f(x)C[0,1],且f(0)0, 证明：若存在使得limx0f(x)f(x)xc(cR为常数)，则

f(x)在点x0的右导数存在