解三角形经典例题

一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形

asinAbsinBcsinC2R(R为三角形外接圆半径） 变式：（）1a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC(边化角公式） （2）sinAabc2R,sinB2R,sinC2R(角化边公式） （3）a:b:csinA:sinB:sinC (4)asinbAasinAbsinBsinB,csinC,csinC 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边；

（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论

b2c2a2cosAa2b2c22bccosA2bcb2a2c22accosB cosBa2c2b2c2a2b22abcosC2ac

cosCa2b2c22ab4．余弦定理适用情况：

（1）已知两边及夹角； （2）已知三边.

注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式

（1）S1ABC2底高； （2）S=12absinC11abc2acsinB2bcsinA4RR为ABC外接圆半径 （两边夹一角）；

6．三角形中常用结论

（1）abc,bca,acb(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）在ABC中，ABabsinAsinB(即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC中，ABC，所以 ①sinABsinC；②cosABcosC；

③tanABtanC；④sinAB2cosC2,⑤cosAB2sinC2 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）

（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②） 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③） 如： ①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；

②“东北方向”表示北偏东（或东偏北）45.

（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）

7) 三角形的五心：

垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点 内心——三角形三内角的平分线相交于一点

旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点

典型例题

典型例题

题型1 正余弦定理的简单应用

[例1 ]在ABC中，若sinA:sinB:sinC3:5:7，则角C的度数为

2 若a、b、c是ABC的三边，f(x)b2x2(b2c2a2)xc2，则函数f(x)的图象与x轴( )

A、有两个交点 B、有一个交点 C、没有交点 D、至少有一个交点 3．在ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝ ( ) A．43 B．23 C．3

D．32

4．在ABC中，a2b2c23bc，则A等于( ) A．60° B．45° C．120° D．150°

5．在锐角中ABC,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB3b,则角A等于( )

A．12 B．6 C．4 D．3

.asinBcosCcsinBcosA16．在ABC,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c2b,且ab,则B ( )

25A．6 B．3 C．3 D．6

题型2 三角形解的个数

[例2]1，在ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( ) A、a7，b14，A30； B、b25，c30，C150； C、b4，c5，B30；

D、a6，b3，B60。

2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有 ( ) A．无 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定 题型3 面积问题

[例3] 1ABC的一个内角为1200，并且三边构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为 2．在ABC中，AB3,AC1,A30，则ABC面积为( ) A． 32 B．34 C．

32或3 D．334或2 3．已知ABC的三边长a3,b5,c6，则ABC的面积为( ) A． 14 B．214 C．15

D．215 题型4 判断三角形形状

[例4] 在ABC中，已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB),判断该三角形的形状。

3．设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若bcosCccosBasinA, 则ABC的形状为( )

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形

D．不确定

4．若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC3:5:7，则△ABC( ) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 5．在ABC中，若cos Acos B＝b

a

，则△ABC是( )

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

三、高考真题赏析

1．(2018新课标III文理4)若

sin13，则cos2（ ） 87A．9 B．9

C．7 D．9 2. (2018新课标II文15)已知tan(α5π4)15，则tanα__________．

3. (2018新课标II理15)已知sincos1,cossin0，则sin__________． 4. (2017新课标I文15)已知0,2,tan α=2，则cos4__________ 5. (2017新课标III文4)已知sincos43，则sin2=（ ） A．779

B．29

C．

29 D．

9 6. (2016新课标III文6)若tan13 ，则cos2（ ） （A）45 （B）1145 （C）5 （D）5 7.(2016新课标II理9)若cos(4)35，则sin2（ ） （A）725 （B）1175 （C）5 （D）25

8. (2016新课标I文14)已知θ是第四象限角,且sin(θ+π3π4)=5,则tan(θ–4)= .

9. (2016新课标III理5)若tan34，则cos22sin2 （ ） (A)25 (B)4825 (C)1 (D)1625

10. (2016新课标I理2)sin20ocos10ocos160osin10o =( )

（A）32 （B）32 （C）12 （D）12 11．（2016年山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

2(tanAtanB)tanAtancosBBcosA. （Ⅰ）证明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC的最小值.

12．（2016年全国I）△ABC的内角A，

B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB+bcosA)c.（I）求C；（II）若c7,△ABC的面积为

332，求△ABC的周长．

12．(2015高考新课标2)ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面

积的2倍．(Ⅰ) 求sinBsinC； (Ⅱ)若AD1，DC22，求BD和AC的长．

解三角形单元测试题

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝1，则最小角为( )

A.π12 B.π6 C.π4 D.π3

2．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝ (b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( ) A.π6 B.π3 C.π2π2 D.3

3.在△ABC中，已知|AB|＝4，|AC→|＝1，S→→

△ABC＝3，则AB·AC等于( ) A．－2 B．2 C．±4 D．±2 4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( ) A.6 B．2 C.3 D.2

5．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin B

sin C

的值为( )

A.85 B.58 C.533 D.5

6．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x，则x的取值范围是( )

A．1A．－223 B.22663 C．－3 D.3

8．下列判断中正确的是( )

A．△ABC中，a＝7，b＝14，A＝30°，有两解 B．△ABC中，a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 C．△ABC中，a＝6，b＝9，A＝45°，有两解 D．△ABC中，b＝9，c＝10，B＝60°，无解 9．在△ABC中，B＝30°，AB＝3，AC＝1，则△ABC的面积是( )

A.34 B.33332 C.3或2 D.2或4

10．在△ABC中，BC＝2，B＝π3，若△ABC的面积为3

2，则tan C为( )

A.3 B．1 C.333 D.2

11．在△ABC中，如果sin Asin B＋sin Acos B＋cos Asin B＋cos Acos B＝2，则△ABC是( ) A．等边三角形 B．钝角三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形 12．△ABC中，若a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则角C的度数是( ) A．60° B．45°或135°C．120° D．30° 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．在△ABC中，若sin Acos B

a＝b

，则B＝________.

14．在△ABC中，A＝60°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积为________． 15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/小时．

16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(3b－c)cos A＝acos C，则cos A＝________.

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.在△ABC中，角A、B、C的对边是a、b、c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC (1)求cosA的值；(2)若a＝1，cosB＋cosC＝

23

3

，求边c的值．

18．(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2bsin A. (1)求B的大小．

(2)若a＝33，c＝5，求b.

19.已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋12c＝b.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围.

20．在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，已知2acosAccosBbcosC.

(1）求cosA的值；

(2）若a1,cosBcosC32，求边c的值.

21．(12分)在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c＝2，C＝π

3

. (1)若△ABC的面积等于3，求a，b. (2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积．

22．如图，在ABC中，点D在BC边上，AD33，sinBAD513，cosADC35．(1）求sinABD的值； (2）求BD的长．