天津西青区大寺中学2022年高三数学理联考试题含解析

天津西青区大寺中学2022年高三数学理联考试题含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 复数

（其中是虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

参考答案：

B 略

2. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(0,0,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，则此四面体在xOy坐标平面上的正投影图形的面积为（ ）

A.

B.

C.

D. 1

参考答案：

B 【分析】 求出、

在

坐标平面上的投影点的坐标后可求四面体的正投影的面积.

【详解】

、

在

坐标平面上的投影点的坐标分别为

，

故四面体的正投影为构成的三角形

， 因为

，故

，

所以为等腰直角三角形，故，

故选：B.

【点睛】本题考查空间直角坐标系中的几何图形的面积，注意根据利用解直角三角形（有时是解三角

形）的方法来求解，本题属于容易题.

3. 在三棱锥D-ABC中，已知AD⊥平面ABC，且△ABC为正三角形，

，点O为三棱锥

D-ABC的外接球的球心，则点O到棱DB的距离为（ ）

A.

B.

C.

D.

参考答案：

D 【分析】

题中要求点O到棱DB的距离，需要借助于外接圆直径和棱DB计算。设法构造三角形，使得棱DB

和直径都在这个三角形中，使得待求的O到棱DB的垂线段构造的三角形另一条边的中位线。这

个三角形就是三角形(其中F点是

延长线与球

的交点)。恰恰

点在平面

上，那就作

平面ODA和平面

截外接球得到的截面圆.

【详解】作平面ODA交平面BC于E，交于F，设平面ODA截得外接球面为

，D,A,F是

圆周上的点，又平面ABC，

，

DF是的直径，因此球心O在DF上，AF是

的直径，连结BD,BF，

，，

平面DAB，，

，

，又DO=OF，

OH是

的中位线，故

.故选D.

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【点睛】本题是三棱锥外接球的典型问题，是有难度的一类问题。一般这类问题需要用平面截外接球所得的外接圆，将立体问题转化为平面问题。

4. 要得到函数的图象，只需的图象（ ）

A. 向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）

B. 向左平移

个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的

倍（横坐标不变）

C. 向左平移

个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的

倍（横坐标不变）

D. 向左平移

个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）

参考答案：

D 【分析】

先将函数的解析式化为，再利用三角函数图象的变换规律得出正确选项.

【详解】，

因此，将函数的图象向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍

（横坐标不变），可得到函数的图象，故选：D.

【点睛】本题考查三角函数的图象变换，处理这类问题的要注意以下两个问题：

（1）左右平移指的是在自变量上变化了多少；（2）变换时两个函数的名称要保持一致.

5. 已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是

（ ）

A． B． C． D．

参考答案：

C

6. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百

八十一，请问尖头几盏灯”． 这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（ ）盏灯．

A．2 B．3 C．5 D．6

参考答案：

B

【考点】89：等比数列的前n项和．

【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得a的方程，解方程可得．

【解答】解：设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数 构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，

∴由等比数列的求和公式可得=381，解得a=3，

∴顶层有3盏灯，

故选：B．

7. 一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示（单位：cm)，则该几何体的体积为

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(A) 120 cm2 (B)80 cm2 (C)100 cm2 (D)60 cm2

参考答案：

C 略

8. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A．10+

B．10+

C．6+2

+

D．6+

+

参考答案：

C

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，CD⊥底面PAD，BA⊥底面PAD，PA⊥AD，PA=AD=CD=2，AB=1．即可得出．

【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，CD⊥底面PAD，BA⊥底面PAD，PA⊥AD，PA=AD=CD=2，AB=1． PC=2，PB=

，BC=

． ∴S△PBC=

=．

该几何体的表面积S=+

+

+

+

=6+． 故选：C．

9. 在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施个程序，其中程序只能出现在第一或最后一步，

程序和

在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有

A．

种 B．

种

C．

种

D．

种

参考答案：

C

10. 若p是真命题，q是假命题，则

A．是真命题 B．是假命题 C．

是真命题

D．

是真命题

参考答案：

D

因为是真命题，是假命题，所以是假命题，选项A错误，

是真命题，选项B错误，

是假

命题，选项C错误，是真命题，选项D正确，故选D.

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 已知R为实数集，集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x（4﹣x）＜0}，则A∩（?RB）= ．参考答案：

{1，2，3，4}

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】化简集合B，根据补集与交集的定义写出A∩（?RB）即可． 【解答】解：集合A={1，2，3，4，5}，

B={x|x（4﹣x）＜0}={x|x（x﹣4）＞0}={x|x＜0或x＞4}， ∴?RB={x|0≤x≤4}

∴A∩（?RB）={1，2，3，4}． 故答案为：{1，2，3，4}． 12. 若曲线

在点P处的切线平行于直线

，则点

的坐标为 ▲ ．

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参考答案：

(1,0)

设点的坐标为，则由

;解得：

代入

得

；

.

13. 在空间直角坐标系中，点，点

和点

构成的

的面积

是 ．

参考答案：

14. 对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1.{an}的“差数列”的通项公式为ann＋1－an＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝________.

参考答案：

2

n＋1

－n－2

15. 已知角的终边经过点

，且,则的值为 ．

参考答案：

试题分析：由已知，

考点：任意角的三角函数.

16. 设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数且A＞0，ω＞0，

＜φ＜

）的部分图象

如图所示，若f(α)=

（0＜α＜

），则f(α+

)的值为 ．

参考答案：

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【分析】由函数f（x）的图象求出A、T、ω和φ的值，写出f（x）的解析式； 再由f（α）的值，利用三角恒等变换求出f（α+）的值．

【解答】解：由函数f（x）的图知，A=2，

由T=2×[

﹣（﹣

）]=2π，得ω=

=1，

∴f（x）=2sin（x+φ）；

又f（

）=2sin（

+φ）=2，且﹣

＜φ＜

，

∴φ=﹣

，

∴f（x）=2sin（x﹣

）； 由f（α）=2sin（α﹣

）=，

∴sin（α﹣）=； 又0＜α＜

， ∴﹣

＜α﹣

＜，

∴cos（α﹣

）=

=；

∴f（α+

）=2sinα

=2sin[（α﹣）+]

=2sin（α﹣

）cos

+cos（α﹣

）sin

=2××+2×× =

．

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…1分

故答案为： 17. 从

这个整数中任意取个不同的数作为二次函数

的系数，则使得

分

．

……2

（为整数集）的概率为 ．

参考答案：

略

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18. (本小题满分12分)记函数

的定义域为集合A，函数

的定义域为B．

（1）求和；

（2）若 ，，求实数P的取值范围．

参考答案：

19. （本小题满分12分）

已知的最小正周期为.

（1）求的值； （2）在中，角

所对应的边分别为

，若有

，则求角

的大小以及

的取值范围.

参考答案：

（1）

…

……3分

的最小正周期为 ，即： 分

……5分

…6分

（2）

∴由正弦定理可得：

……7分

……8分

……9分

……10分

……11分

……4

…

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……12分

20. （本小题满分15分）

已知点（）,过点

作抛物线

的切线，切点分别为

、

（其中）．

（Ⅰ）求

与

的值（用表示）； （Ⅱ）若以点为圆心的圆

与直线

相切，求圆

面积的最小值．

参考答案： 解：（Ⅰ）由可得，． ……1分

∵直线

与曲线

相切，且过点

，

∴，即， ……3分

∴，或， ……4分

同理可得：，或 ……5分

∵，∴，

． ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

， ……7分

则直线的斜率， ……8分 ∴直线

的方程为：

，又

，

∴

，即．

∵点到直线的距离即为圆的半径，即，……10分

∴

，

当且仅当，即，

时取等号．

故圆面积的最小值

．……15分

略

21. 环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试，以确定它的行车里程的等级，右表是对 100 辆新车模型在一个耗油单位内行车里程（单位：公里）的测试结果.

分组 频数 [30,32) 6 [32,34) 10 [34,36) 20 [36,38) 30 [38,40) 18 [40,42) 12 [42,44) 4 （Ⅰ）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组；

（Ⅱ）用分层抽样的方法从行车里程在区间[38,40)与[40,42)的新车模型中任取5辆，并从这5辆中随机抽取2辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在[40,42)内的概率.

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参考答案：

（Ⅰ）图略，中位数在区间.（Ⅱ）

【分析】

（Ⅰ）画出频率分布直方图后，找到频率总和为0.5时对应的分组区间；

（Ⅱ）先利用分层抽样计算每组内抽取的辆数，然后对车辆进行标记，利用古典概型计算目标事件的概率.

【详解】（Ⅰ）由题意可画出频率分布直方图如图所示：

前3组频率总和为，第组频率为

，且

，则

由图可知，中位数在区间.

（Ⅱ）由题意，设从

中选取的车辆为

，从

中选取的车辆为

，

则从这5辆车中抽取2辆的所有情况有10种，分别为

，

其中符合条件的有6种，，所以所求事件的概率为.

【点睛】中位数计算方法： （1）找到频率总和为

所在的区间段；

（2）计算前几组频率总和，记为，频率总和为所在的区间段的频率记为；

（3）计算组距，记为；

（4）频率总和为所在的区间段的左端点值得到的结果即为中位数.

22. (I) 已知扇形

的圆心角

为

，半径

，求弧长

及扇形面积。

(II)已知扇形周长为，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？

参考答案：

（１）因为

，所以，

．

（２）设弧长为，半径为，由已知

，所以

，

，

从而

，

当

时，

最大，最大值为

，这时

．