1、数列中
n
an 与 Sn 之间的关系：
, (n 1)
n 1
1
a
S S
n
注意通项能否合并。
S ,( n 2).
2、等差数列：
⑴定义： 如果一个数列从第
2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
即 a － an 1
n
=d ，（n≥ 2，n∈N ）， 那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵等差中项：若三数 ⑶通项公式： a
n
a、 A、 b 成等差数列
a b A
2
a1 (n 1)d a
m
(n m)d
或 an
⑷前 n
项和公式：
pn q ( p、q是常数） .
n a a
1
n
n n 1
S
n
na
1
d 2
2
⑸常用性质：
①若 m
n p q m, n, p,q N ，则 am a
, ak a
, a
,
a
p
a ；
q
n
②下标为等差数列的项
，仍组成等差数列；
k m k 2m
③数列
a
n
b
（ ,b为常数）仍为等差数列；
④若 {a } 、 {bn } 是等差数列，则
n
*
{ kan} 、 { kan
pbn} ( k 、 p
是非零常数 )、
{ap nq}( p,q N )、，⋯ 也成等差数列。
⑤单调性： a 的公差为 d ，则：
n
ⅰ） d ⅱ） d ⅲ） d
0 0 0
a 为递增数列； n a 为递减数列； n
a 为常数列； n
an
pn q （ p,q 是常数）
，则
、
、
⑥数列 { an } 为等差数列 ⑦若等差数列
a
n
的前 n 项和
S
n
Sk S2k Sk S3k
⋯
S2k
是等差数列。
3、等比数列
⑴定义： 如果一个数列从第
2 项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个常数，
那么这个数
列就叫做等比数列。 ⑵等比中项：若三数
a、G、b成等比数列 G2 ab, （ ab 同号）。 反之不一定成立。
⑶通项公式：
n 1 n m
a
n
a q
1
a q
m
n
⑷前 n
项和公式：
S
n
a1 1 q 1 q
a1 a q
n
1 q
⑸常用性质
①若 m
n p q m, n, p,q N ，则 a a
,
为等比数列，公比为
m k
a a ；
p
q
n
②
k
,a ,a
k m
a
k 2m
q (下标成等差数列 ,则对应的项成等比数列 )
③数列
a （
n
为不等于零的常数）仍是公比为
q
的等比数列；正项等比数列
a ；则
n
lg an 是公差为 lg q 的等差 数列；
④若
a 是等比数列，则
n
2
n
n
1
n
ca ，a
， a
2
，
a
r
(r Z) 是等比数列，公比依次是
n
. r
q q q ， ， ，
q
1
⑤单调性：
a1 0,q 1或a1 0,0 q 1
为递减数列；
an 为递增数列； a1 0,0 q 1或a1 0,q 1 an
q 1 q 0
an 为常数列； an 为摆动数列；
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 ⑦若等比数列
a
n
的前 n 项和 Sn ，则 Sk 、 S2k
Sk 、 S3k S2k ⋯
是等比数列 .
4、非等差、等比数列通项公式的求法
类型Ⅰ观察法： 已知数列前若干项， 求该数列的通项时， 一般对所给的项观察分析， 寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。 n
类型Ⅱ公式法： 若已知数列的前 公式
n
项和 与
S
n
a 的关系，求数列 an
n
的通项 an 可用
a
S
1
, (n 1) S ,(n 2)
n 1
构造两式作差求解。
S
n
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二 为一”，即 a 和 a 合为一个表达， （要先分 n 1和 n
1
n
2两种情况分别进行运算，然后验证
能否统一）。
类型Ⅲ累加法：
形如 an 1
an
f (n) 型的递推数列 （其中 f (n) 是关于 n
的函数）可
构造：
a
n
a
n 1
f (n 1) f (n 2)
n 2
a
n 1
a
... a a 2 1
f (1)
将上述 n 1个式子两边分别相加，可得： a
n
f (n 1) f (n 2) ... f (2) f (1) a ,( n 2)
1
①若 f (n) 是关于 n② 若 f (n) 是关于 ③若 f (n) 是关于 n④若 f (n) 是关于 n
类型Ⅳ累乘法： 形如 a
n
; 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和
n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
; 的二次函数，累加后可分组求和. 的分式函数，累加后可裂项求和
1
a f (n)
n
a
n 1
型的递推数列
（其中 f (n) 是关于 n的函数） 可构造：
( )
f n
a
n
a
n
f (n 1)
a
n
1
a n 1
f (n 2)
a
n
2
... a 2 a
1
f (1)
将上述 n 1个式子两边分别相乘，可得： a
n
f (n 1) f (n 2) ... f (2) f (1)a ,( n 2)
1
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 类型Ⅴ构造数列法：
㈠形如 an 1
pa
n
q （其中 p,q 均为常数且 p 0） 型的递推式：
（1）若 p 1时，数列 { a }为等差数列 ;
n
（2）若 q 0 时，数列 { a } 为等比数列 ;
n
（3）若 p 1且 q
0 时，数列 { a } 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比
n
数列来求 . 方法有如下两种：
法一：a设
1
p(a
n
n
) , 展开移项整理得an 1 pan ( p 1) , 与题设
q
a
n 1
q
,( p 0)
a
n 1
q
p(a
n
pa
n
q 比较系数（待定系数法） 得 ) p 1
p 1
a
n
p 1
q 1 p
为首项， 以
q
p(a
n 1
q
, 即 a n )
q
构成以 a p 1 1
p 为公比的等
p 1 p 1
比数列 . 再利用等比数列的通项公式求出
a n
q
的通项整理可得 a . p 1
a
1 n
n
a
n
p, 即
法二： 由 an 1 pan q 得 an pan 1 q(n 2) 两式相减并整理得
a
n
a
n 1
a
n 1
a 构成以 a
n
2
a 为首项，以 p 为公比的等比数列 . 求出
1
a
n 1
a 的通项再转化为
n
类型Ⅲ（累加法） ㈡形如 a
n 1
便可求出
a .
n
pa
n
f (n) ( p 1) 型的递推式 ：
⑴当 f (n) 为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设a An B p a
n
1
A(n 1) B ，通过待定系数法确定
n
A 、B 的值，转化
成以 a
1
A B 为首项，以 p
为公比的等比数列
an An B ，再利用等比数列的通项公
式求出 a
n
An B 的通项整理可得 an.
1
法二：当 f (n) 的公差为 d 时，由递推式得： a
n
pa
n
f (n) ， an
pb
pan 1 f (n 1)
两式相减得： a
1 n
a
n
p a
(
n
a
1
d ，令 b )
n
a
n 1
a 得： b
n
n
d 转化为 类型
n 1
n
Ⅴ㈠ 求出
b ，再用 类型Ⅲ（累加法） 便可求出
n
an .
⑵当 f (n) 为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设a
n
f (n) p a
n 1
f (n 1) ，通过待定系数法确定
an
的值，转化成以
a
1
f 为首项，以 p 为公比的等比数列
(1) a a n
n
f (n) ，再利用等比数列的通项公式求
出
f (n)
的通项整理可得
.
法二：当 f (n) 的公比为 q
时，由递推式得：
a 1
n
pa
n
f (n) — —
①，
a
n
pa
n
1
f (n 1)，两以 q 边同时乘得 an q pqan 1 qf (n 1)— — ② ，由①②两式相
减得 a
n
1
a q p(a
n
n
qa 1) ，即
n
a
n 1
qa qa
n n 1
a
n
p ，在转化为 类型Ⅴ㈠ 便可求出 a .
n
法三：递推公式为
n n
1
an 1 pa
n
q （其中 p，q 均为常数） 或
a
n
pa
n
rq （其中 p，
n n
q, r 均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以
n 1
q 1
an
，得： n 1 1
p a
1 ，引入 q
q
q q
辅助数列
bn （其中
a
n
n
n
），得：
b
q
bn
1
p
bn q
再应用 类型Ⅴ㈠ 的方法解决。
q
⑶当 f (n) 为任意数列时，可用 通法：
在 a
n
1
pa
n
f (n) 两边同时除以 p 可得到
n 1
a
n 1 n 1
a
n n
f (n) a ，令 n
n 1
n
b ，则
n
p
p p
n
p
p b .
n
b
n 1
b
n
f (n) ，在转化为 类型Ⅲ（累加法） ，求出 bn 之后得 a
n 1
n
p
类型Ⅵ 形如
对数变换法：
q
a
n
1
pa ( p 0,a
n q
0) 型的递推式：
两边取对数得 lg an 1
在原递推式
a
n 1
pa
qlg an lg p，令 bn lg an 得：
b
b
n
1
qb
n
lg p，化归为 an 1
pan q 型，求出 b 之后得
a
n
n
10 .
（注意：底数不一定
n
要取 10，可根据题意选择） 。
类型Ⅶ 形如 a
n 1
倒数变换法：
a
n
pa a （ p为常数且 p 0 ） 的递推式： 两边同除于 an 1an，转化为
n 1 n
1 a
n
1 a
n 1
形式，化归为 an 1 p
pan q 型求出 1
a
n
的表达式，再求
1 a
n 1
a ；
n
还有形如 a
n
ma
n n
1
的递推式， 也可采用取倒数方法转化成
m 1 q a
n
m 形式， 化归为 p
pa q
n
an 1
n
型求出 1 的表达式，再求 a .
pa q
a
n
类型Ⅷ
an 2 形如
pan 1 qan 型的递推式：
{an a } 的形式求解。方法为：设
n 1
用待定系数法，化为特殊数列
an
2
ka
n 1
h(a
n
1
ka ) ，比较系数得 h k
n
p, hk q ，可解得 h 、k ，于是
{an
1
kan} 是公比为 h 的等比数列，这样就化归为 an 1 pan q
型。
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解， 对不能转化为以上方法 求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
a .
n
5、非等差、等比数列前 ⑴错位相减法
n
项和公式的求法
①若数列 a 为等差数列， 数列
n
bn 为等比数列， 则数列 an bn 的求和就要采用此法 .
bn 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列
②将数列
an bn 的每一项分别乘以
a b
n
n
n项和. 的前
此法是在推导等比数列的前 n项和公式时所用的方法 .
⑵裂项相消法
一般地，当数列的通项 a
n
( a,b ,b ,c为常数）时，往往可将
(an b )( an b ) an
1 2
1
2
c
变成两项的差，采用裂项相消法求和
可用待定系数法进行裂项：
设 a
n
.
an b
1
an b
2
，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得
c b
2
，从而可得
b
1
c
=
(an b )( an b ) (b
1
2
2
c 1
(
b ) an b
1
1
1
).
an b
2
常见的拆项公式有： ①
；
n(n 1) n n 1
1
1 1 1
②
1 1 1 ( );
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
③
1 b
m
a
m 1 n
1
( a a b
m
1
b);
④
C C
n
C ;
n
⑤ n n! (n 1)! n!.
⑶分组法求和
有一类数列，既不是等差数列， 也不是等比数列， 若将这类数列适当拆开， 可分为几个 等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可 ②由通项公式确定如何分组 ⑷倒序相加法
如果一个数列 a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒
.一般分两步：①找通向项公式
.
n
着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：a1 an
a2 an 1 ...
⑸记住常见数列的前
n
项和：
① n(n 1) 1 2 3 ... n ;
2
②
2
1 3 5 ... (2n 1) n ;
③
2 2
2
2
1
1 2 3 ... n
n(n 1)(2 n 1). 6
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