指数运算与指数函数专题(含详细解析)

第五讲 指数运算与指数函数

时间： 年 月 日 刘满江老师 学生签名：

一、 兴趣导入

二、 学前测试

1. 已知a0，函数f(x)axbxc，若x0满足关于x的方程2axb0，则下列选项的命题中为

假命题的是

（A）xR,f(x)f(x0) （B）xR,f(x)f(x0) （C） xR,f(x)f(x0) （D）xR,f(x)f(x0) 解析：选C.函数f(x)的最小值是f(2b)f(x0) 2a等价于xR,f(x)f(x0)，所以命题C错误.

2. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为StS00，则导函数ySt的图像大致为

'

【答案】A

【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，

—————————————————————————————————————————————————— 既然选择了远方，就必须风雨兼程！

1

既然选择了远方，就必须风雨兼程1

产生中断，选择A。

三、 方法培养

1．根式的概念

结论：当n是奇数时，nana,当n是偶数时，nan|a|

2．分数指数幂

a(a0)

a(a0)amnnam(a0,m,nN*,n1) amn1amn1nam(a0,m,nN*,n1)

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．有理指数幂的运算性质 （1）a·aarrrsrs(a0,r,sQ)； （2）(ar)sars(a0,r,sQ)；

（3）(ab)aa(a0,b0,rQ)． 指数函数的概念

一般地，函数ya(a0,且a1)叫做指数函数，其中x是自

xs变量，函数的定义域为R．

1 指数函数的定义是一个形式定义 注意：○

2 注意指数函数的底数的取值范围，底数为什么不能是○

负数、零和1．

（三）指数函数的图象和性质

注意内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 指数函数的图象如右图： 4．指数函数的性质 图象特征 函数性质 a1 0a1 a1 0a1 函数的定义域为R 非奇非偶函数 函数的值域为R+ 向x、y轴正负方向无限延伸 图象关于原点和y轴不对称 函数图象都在x轴上方 函数图象都过定点（0，1） 自左向右看， 图象逐渐上升 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 图象上升趋势是越来越陡 自左向右看， 图象逐渐下降 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 图象上升趋势是越来越缓 增函数 a01 减函数 x0,ax1 x0,ax1 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快； x0,ax1 x0,ax1 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢； 2

—————————————————————————————————————————————————— 既然选择了远方，就必须风雨兼程！

既然选择了远方，就必须风雨兼程1

利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，f(x)a(a0且a1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]； （2）若x0，则f(x)1；f(x)取遍所有正数当且仅当xR； （3）对于指数函数f(x)a(a0且a1)，总有f(1)a； （4）当a1时，若x1x2，则f(x1)f(x2)；

11111[例1] 化简12321216128124122，结果是（ ）

11A、123224xx11111

B、1232 C、1232 D、1232

24136a963a92、等于（ ）

A、a16

B、a8

C、a4

D、a

2变式练习11．若32x+9=10•3x，那么x2+1的值为（ D ） A ． 1 B． 2 C． 5 解：令3x=t，（t＞0）， 原方程转化为：t2﹣10t+9=0， 所以t=1或t=9，即3x=13x=9 所以x=0或x=2，所以x2+1=1或5 故选D 或D． 1或5 2．若关于x的方程 A ． 解：∵1﹣≤a＜ =3﹣2a有解，则a的范围是（ A ） B． a≥ C． ＜a＜ D． a＞ ≤1，函数y=2x在R上是增函数，∴0＜≤21=2， 故 0＜3﹣2a≤2，解得 ≤a＜， 故选A．

1111〖例2〗已知ab,ab0，下列不等式（1）ab；(2)22；(3)；(4)a3b3；

ab22ab—————————————————————————————————————————————————— 既然选择了远方，就必须风雨兼程！

3

既然选择了远方，就必须风雨兼程1

11(5)中恒成立的有（ ）

33A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

变式练习2

1－

1．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝()1.5，则( )

2

A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2 解析：选D.y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，

1

y3＝()－1.5＝21.5，

2∵y＝2x在定义域内为增函数， 且1.8>1.5>1.44， ∴y1>y3>y2.

a，x>1

2．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为( ) a

4－x＋2，x≤12A．(1，＋∞)

C．(4,8)

B．(1,8) D．[4,8)

a>1

x

ab

4－a>0

解析：选D.因为f(x)在R上是增函数，故结合图象(图略)知2

a4－2＋2≤a

，解得4≤a<8.

1－

3．函数y＝()1x的单调增区间为( )

2

A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0,1)

1t

11－x的递解析：选A.设t＝1－x，则y＝，则函数t＝1－x的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y＝22增区间．

4．已知函数y＝f(x)的定义域为(1,2)，则函数y＝f(2x)的定义域为________．

解析：由函数的定义，得1＜2x＜2⇒0＜x＜1.所以应填(0,1)． 答案：(0,1)

〖例3〗已知函数f(x)x2bxc满足f(1x)f(1x)，且f(0)3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是_____．

，c的值再比较大小，要注意b，c的取值是否在同一单调区间内． 分析：先求b 解：∵f(1x)f(1x)， ∴函数f(x)的对称轴是x1． 故b2，又f(0)3，∴c3．

xx1上递减，在1，∞上递增． ∴函数f(x)在∞， 若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)；

4

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既然选择了远方，就必须风雨兼程！

既然选择了远方，就必须风雨兼程1

若x0，则321，∴f(3)f(2)． 综上可得f(3)≥f(2)，即f(c)≥f(b)．

xxxxxxxx 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．

变式练习：

1已知(a22a5)3x(a22a5)1x，则x的取值范围是___________．

分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵a2a5(a1)4≥41，

22 ∴函数y(a2a5)在(∞，∞)上是增函数， ∴3x1x，解得x2x11．∴x的取值范围是，∞． 44 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．

〖例4〗求函数y16x2的定义域和值域．

解：由题意可得16x2≥0，即6x2≤1，

2． ∴x2≤0，故x≤2． ∴函数f(x)的定义域是∞， 令t6x2，则y1t，

x2 又∵x≤2，∴x2≤0． ∴06 ∴0≤1t1，即0≤y1．

≤1，即0t≤1．

1． ∴函数的值域是0， 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．

变式练习：函数ya2x2ax1(a0且a1)在区间[11]，上有最大值14，则a的值是_______．

分析：令ta可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t的取值范围．

x 解：令ta，则t0，函数ya2xx2ax1可化为y(t1)22，其对称轴为t1．

， ∴当a1时，∵x11，

∴

11≤ax≤a，即≤t≤a． aa2 ∴当ta时，ymax(a1)214． 解得a3或a5（舍去）；

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5

既然选择了远方，就必须风雨兼程1

， 当0a1时，∵x11，

∴a≤ax≤11，即a≤t≤， aa211 ∴ t时，ymax1214，

aa 解得a111或a（舍去），∴a的值是3或． 353

四、强化练习

1．下列命题中，真命题是

(A)mR,使函数f（x）=xmx（xR）是偶函数 (B)mR,使函数f（x）=xmx（xR）是奇函数 (C)mR,使函数f（x）=xmx（xR）都是偶函数 (D)mR,使函数f（x）=xmx（xR）都是奇函数

【答案】A

【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念，与存在量词、全称量词的含义，属于容易题。当m=0时，函数

2

f（x）=x是偶函数，所以选A.

【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。 2．用

表示a，b两数中的最小值。若函数

的图像关于直线x=22221对2称，则t的值为

A．-2 B．2 C．-1 D．1

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既然选择了远方，就必须风雨兼程1

五、训练辅导

〖例6〗．设函数f(x)x1，对任意x,，f则实数m的取值范围是 . 【答案】D

【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。

223x24mf(x)f(x1)4f(m)恒成立，mx23222214m(x1)(x1)14(m1)依据题意得在x[,)上恒定成立，即m2213232在4m1x[,)上恒成立。

m2x2x2332515222当x时函数y21取得最小值，所以24m，即(3m1)(4m3)0，解

2xx3m3得m33或m 22【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解

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既然选择了远方，就必须风雨兼程！

7

既然选择了远方，就必须风雨兼程1

变式练习

1直线y1与曲线yx2xa有四个交点，则a的取值范围是 .

2

解方程3x232x80．

x2xx2 解：原方程可化为9(3)80390，令t3(t0)，上述方程可化为9t80t90，解得t9或

1x，∴39，∴x2，经检验原方程的解是x2． t（舍去）

9 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．

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既然选择了远方，就必须风雨兼程1

附件：堂堂清落地训练

111

1．设<()b<()a<1，则( )

333A．aa（坚持堂堂清，学习很爽心）

B．aa解析：选C.由已知条件得0∴ab1＋1－

2．若()2a1<()32a，则实数a的取值范围是( )

22

1

A．(1，＋∞) B．(，＋∞)

2

1

C．(－∞，1) D．(－∞，)

2

1

解析：选B.函数y＝()x在R上为减函数，

21

∴2a＋1>3－2a，∴a>.

2

3．下列三个实数的大小关系正确的是( )

111212

A．()＜22011＜1 B．()＜1＜22011

20112011

111212

C．1＜()＜22011 D．1＜22011＜()

20112011

1112

解析：选B.∵＜1，∴()＜1,22011＞20＝1.

20112011

－|x|

4．设函数f(x)＝a(a＞0且a≠1)，f(2)＝4，则( ) A．f(－1)＞f(－2) B．f(1)＞f(2) C．f(2)＜f(－2) D．f(－3)＞f(－2)

1

解析：选D.由f(2)＝4得a－2＝4，又a＞0，∴a＝，f(x)＝2|x|，∴函数f(x)为偶函数，在(－∞，0)上单

2调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

1

5．函数f(x)＝x在(－∞，＋∞)上( ) X k b 1 . c o m

2＋1

A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值 C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值

解析：选A.u＝2x＋1为R上的增函数且u＞0，

1

∴y＝在(0，＋∞)为减函数．

u

1

即f(x)＝x在(－∞，＋∞)上为减函数，无最小值．

2＋16．若x＜0且ax＞bx＞1，则下列不等式成立的是( ) A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b

11

解析：选B.取x＝－1，∴＞＞1，∴0＜a＜b＜1.

ab1

7．已知函数f(x)＝a－x，若f(x)为奇函数，则a＝________.

2＋1解析：法一：∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，

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9

既然选择了远方，就必须风雨兼程1

∴f(0)＝0，即a－1

20＋1

＝0.

∴a＝12.

法二：∵f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，新 课 标 第 一 网

即a－111

2－x＋1＝2x＋1

－a，解得a＝2. 答案：12

8．当x∈[－1,1]时，f(x)＝3x－2的值域为________．

解析：x∈[－1,1]，则13≤3x≤3，即－5

3

≤3x－2≤1.

答案：－5

3，1

9．若函数f(x)＝e－(x－

u)2的最大值为m，且f(x)是偶函数，则m＋u＝________. 解析：∵f(－x)＝f(x)， ∴e－(x＋u)2＝e－(x－u)2， ∴(x＋u)2＝(x－u)2， ∴u＝0，∴f(x)＝e－x2.

∵x2≥0，∴－x2≤0，∴0＜e－x2≤1， ∴m＝1，∴m＋u＝1＋0＝1. 答案：1

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