2020-2021学年山东省枣庄市滕州市高二(下)期中数学试卷(解析版)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数f（x）＝x2+x在x＝1处的瞬时变化率为（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

2．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车2班，轮船3班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法种数为（ ） A．24

B．16

C．13

D．48

3．把3封信投入4个邮筒，共有不同的投法数为（ ） A．A

B．C

C．34

D．43

4．下列求导运算正确的是（ ） A．B．

C．（x2sinx）′＝2xcosx D．（3x）′＝3x 5．若A．8

，则整数n＝（ ）

B．9

C．10

D．11

6．函数f（x）＝x+﹣3lnx的单调减区间是（ ） A．（﹣1，4）

B．（0，1）

C．（4，+∞）

D．（0，4）

7．点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的距离的最小值是（ ） A．1

B．

C．2

D．2

8．已知函数f（x）＝x3﹣3x+m只有一个零点，则实数m的取值范围是（ ） A．[﹣2，2] C．（﹣2，2）

B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9．函数f（x）的定义域为R，它的导函数y＝f'（x）的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）

A．在（1，2）上函数f（x）为增函数 B．在（3，5）上函数f（x）为增函数 C．在（1，3）上函数f（x）有极大值

D．x＝3是函数f（x）在区间[1，5]上的极小值点 10．下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是（ ） A．

B．

C． D．

11．下列说法正确的为（ ）

A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有

种不同的分法

B．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法

C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法 D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有0种不同的分法 12．已知函数f（x）＝

，则下列结论正确的是（ ）

A．函数f（x）存在两个不同的零点 B．函数f（x）既存在极大值又存在极小值

C．当﹣e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根 D．若x∈[t，+∞）时，f（x）max＝

，则t的最小值为2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线y＝lnx+x+1的一条切线的斜率为1+（e为自然对数的底数），该切线的方程为 ．

14．某校要求每位学生从8门课程中选修5门，其中甲、乙两门课程至多只能选修一门，则

不同的选课方案有 种（以数字作答）．

15．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，满足xf'（x）﹣f（x）＜0，且f（2）＝2，则不等式f（2x）﹣2x＞0的解集是 ． 16．对于任意的实数x∈[1，e]，总存在三个不同的实数y，使得xylnx﹣ay﹣

＝0成立，

其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．3位男同学和2位女同学站成一排．

（Ⅰ）2位女同学必须站在一起，有多少种不同的排法（用数字作答）； （Ⅱ）2位女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法（用数字作答）． 18．要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动

（Ⅰ）甲当选且乙不当选，有多少种不同的选法？（用数字作答）； （Ⅱ）至多有3名男生当选，有多少种不同的选法？（用数字作答）． 19．已知函数f（x）＝x3﹣3ax﹣1在x＝﹣1处取得极值． （1）求实数a的值；

（2）当x∈[﹣2，1]时，求函数f（x）的最小值．

20．欲设计如图所示的平面图形，它由上、下两部分组成，其中上部分是弓形（圆心为O，半径为1，∠AOB＝2θ，0＜θ＜

），下部分是矩形ABCD，且BC＝AB．

（Ⅰ）求该平面图形的面积S（θ）；

（Ⅱ）试确定θ的值，使得该平面图形的面积最大，并求出最大面积．

21．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝﹣x2+ax﹣3． （Ⅰ）求f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值； （Ⅱ）若存在x

使不等式2f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．

22．已知函数f（x）＝2lnx﹣．

（Ⅰ）当m＝1时，试判断f（x）零点的个数； （Ⅱ）若x≥1时，f（x）≤0，求m的取值范围．

参

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数f（x）＝x2+x在x＝1处的瞬时变化率为（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

【分析】先求出f′（x），再求出f′（1），即为瞬时变化率． 解：∵f（x）＝x2+x， ∴f′（x）＝2x+1， ∴f′（1）＝2+1＝3， 故选：D．

2．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车2班，轮船3班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法种数为（ ） A．24

B．16

C．13

D．48

【分析】根据分类加法原理进行计算即可．

解：从甲地到乙地，坐汽车，火车，轮船都能到达乙地， 则共有8+2+3＝13种不同的走法， 故选：C．

3．把3封信投入4个邮筒，共有不同的投法数为（ ） A．A

B．C

C．34

D．43

【分析】利用分步计数原理进行计算即可．

解：3封信投入4个邮筒，为分步问题，第1封信有4种投法，第2封信有4种投法，第3第1封信有4种投法， 共有4×4×4＝43， 故选：D．

4．下列求导运算正确的是（ ） A．

B．

C．（x2sinx）′＝2xcosx D．（3x）′＝3x

【分析】直接利用常见函数的导数公式以及导数的运算性质对各个选项逐一判断即可． 解：

，故选项B错误；

（x2sinx）′＝（x2）′sinx+x2（sinx）′＝2xsinx+x2cosx，故选项C错误； （3x）′＝3xln3，故选项D错误． 故选：A． 5．若A．8

，则整数n＝（ ）

B．9

C．10

D．11 ，故选项A正确；

【分析】直接利用组合数公式以及排列数公式化简求解即可． 解：因为所以故选：A．

6．函数f（x）＝x+﹣3lnx的单调减区间是（ ） A．（﹣1，4）

B．（0，1）

C．（4，+∞）

D．（0，4）

，

，解得n＝8．

【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可． 解：函数的定义域是（0，+∞）， f′（x）＝1﹣

﹣＝

，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜4， 故f（x）在（0，4）递减， 故选：D．

7．点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的距离的最小值是（ ） A．1

B．

C．2

D．2

【分析】画出函数的图象，故当点P是曲线的切线中与直线y＝x﹣2平行的直线的切点时，然后求解即可．

解：由题意作图如下，

当点P是曲线的切线中与直线y＝x﹣2平行的直线的切点时，最近； 故令y′＝2x﹣＝1解得，x＝1； 故点P的坐标为（1，1）； 故点P到直线y＝x﹣2的最小值为故选：B．

8．已知函数f（x）＝x3﹣3x+m只有一个零点，则实数m的取值范围是（ ） A．[﹣2，2] C．（﹣2，2）

B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） ＝

；

【分析】利用导数求出函数的极大值和极小值，要使函数f（x）＝x3﹣3x+m只有一个零点，则满足极大值小于0或极小值大于0． 解：∵f（x）＝x3﹣3x+m，∴f'（x）＝3x2﹣3， 由f'（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1，此时函数单调递增， 由f'（x）＜0，得﹣1＜x＜1，此时函数单调递减． 即当x＝﹣1时，函数f（x）取得极大值， 当x＝1时，函数f（x）取得极小值，

要使函数f（x）＝x3﹣3x+m只有一个零点，则满足极大值小于0或极小值大于0， 即极大值f（﹣1）＝﹣1+3+m＝m+2＜0，解得m＜﹣2． 极小值f（1）＝1﹣3+m＝m﹣2＞0，解得m＞2． 综上实数m的取值范围：m＜﹣2或m＞2． 故选：B．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9．函数f（x）的定义域为R，它的导函数y＝f'（x）的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）

A．在（1，2）上函数f（x）为增函数 B．在（3，5）上函数f（x）为增函数 C．在（1，3）上函数f（x）有极大值

D．x＝3是函数f（x）在区间[1，5]上的极小值点

【分析】结合导数与单调性及极值的关系分析各选项即可判断．

解：由图象可得，当1＜x＜2时，f′（x）＞0，函数单调递增，当2＜x＜4时，f′（x）＜0，函数单调递减，当4＜x＜5时，f′（x）＞0，函数单调递增， 故当x＝2时，函数取得极大值，当x＝4时，函数取得极小值． 故选：AC．

10．下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是（ ） A．

B．

C． D．

【分析】由题意利用排列数公式、组合数公式，逐一检验各个选项是否正确，从而得出结论．

解：由题意利用排列、组合数公式，可得（n+1）（n﹣m+1）＝

，故A正确；

＝（n+1）•n•（n﹣1）•（n﹣2）…

∵m＝m•＝，n＝n•＝＝

，∴m＝n，故B成立；

∵＝，＝＝＝，∴≠

，故C不成立；

∵＝

＝•n（n﹣1）（n﹣2）…（n﹣m）＝n（n﹣1）（n﹣2）…（n﹣m+1）

，故D成立，

故选：ABD．

11．下列说法正确的为（ ）

A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有

种不同的分法

B．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法

C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法 D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有0种不同的分法 【分析】根据题意，依次分析选项：

对于A，分析三人没2本的分法数目，由分步计数原理计算可得A正确；

对于B，先将6本书分为1、2、3的三组，再将分好的三组分成甲乙丙三人，由分步计数原理计算可得B错误；

对于C，用挡板法分析，在6本书之间的5个空位中任选2个，插入挡板即可，由组合数公式计算可得C正确；

对于D，分三种情况讨论：①三人每人2本，②三人中一人1本，一人2本，一人3本，③三人中一人4本，其余2人各1本，由加法原理可得D正确；综合即可得答案． 解：根据题意，依次分析选项：

对于A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，先分给甲，有C62种情况，再分给乙，有C42种情况，最后2本分给丙，有对于B，先将6本书分为1、2、3的三组，有成甲乙丙三人，有A33种情况，则有

种不同的分法，A正确；

种分组方法，再将分好的三组分

A33种不同分法，B错误；

对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，用挡板法分析，在6本书之

间的5个空位中任选2个，插入挡板即可，有C52＝10种分法，C正确； 对于D，分三种情况讨论： ①三人每人2本，有

＝90种不同的分法，

A33＝360种不同的分法， ＝90种不同的分法，

②三人中一人1本，一人2本，一人3本，有③三人中一人4本，其余2人各1本，有则有90+360+90＝0种不同的分法，D正确； 故选：ACD． 12．已知函数f（x）＝

，则下列结论正确的是（ ）

A．函数f（x）存在两个不同的零点 B．函数f（x）既存在极大值又存在极小值

C．当﹣e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根 D．若x∈[t，+∞）时，f（x）max＝

，则t的最小值为2

【分析】利用导数分析函数的图象的可能情况，即可得到结论． 解：

，令f′（x）＝0，解得x＝﹣1或x＝2，

当x＜﹣1或x＞2时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调递减，当﹣1＜x＜2时，f′（x）＞0，故函数在（﹣1，2）上单调递增， 且函数f（x）有极小值f（﹣1）＝﹣e，有极大值∞，当x→+∞时，f（x）→0， 故作函数草图如下，

，当x→﹣∞时，f（x）→+

由图可知，选项ABC正确，选项D错误． 故选：ABC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线y＝lnx+x+1的一条切线的斜率为1+（e为自然对数的底数），该切线的方程为 （1+）x﹣y+1＝0 ．

【分析】根据切线的斜率等于切点处的导数值，求出切点坐标，问题可解． 解：设切点为（m，lnm+m+1）， 由

得，

，故m＝e，

，

故切点为（e，2+e），斜率为

故切线方程为：y﹣（2+e）＝（1+）（x﹣e）， 即（1+）x﹣y+1＝0． 故答案为：（1+）x﹣y+1＝0．

14．某校要求每位学生从8门课程中选修5门，其中甲、乙两门课程至多只能选修一门，则不同的选课方案有 36 种（以数字作答）．

【分析】本题是一个排列组合的实际应用，甲、乙两门课程至多只能选修一门则包括选一门和选两门两种情况第一类甲和乙两门课都不选，第二类甲和乙中选一门，剩余6门课中选两门．

解：由题意知本题是一个排列组合的实际应用， ∵甲、乙两门课程至多只能选修一门

则包括选一门和选两门两种情况

第一类甲和乙两门课都不选，有C65＝6种方案；

第二类甲和乙中选一门，剩余6门课中选四门，有C21C＝30种方案． ∴根据分类计数原理知共有6+30＝36种方案． 故答案为：36

15．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，满足xf'（x）﹣f（x）＜0，且f（2）＝2，则不等式f（2x）﹣2x＞0的解集是 （﹣∞，l） ． 【分析】构造新函数g（x）＝

（x＞0），求导后可知g（x）在（0，+∞）上单调

递减；由f（2）＝2可推出g（2）＝1；不等式f（2x）﹣2x＞0等价于g（2x）＝＞1＝g（2）⇒0＜2x＜2，解之即可． 解：设g（x）＝

（x＞0），

∵xf'（x）﹣f（x）＜0，x∈（0，+∞）， ∴g'（x）＝

＜0，

∴g（x）在（0，+∞）上单调递减， ∵f（2）＝2， ∴g（2）＝

＝1，

不等式f（2x）﹣2x＞0等价于g（2x）＝＞1＝g（2），

∴0＜2x＜2，解得x＜1，∴不等式的解集为（﹣∞，l）， 故答案为：（﹣∞，l）．

16．对于任意的实数x∈[1，e]，总存在三个不同的实数y，使得xylnx﹣ay﹣

＝0成立，

其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣）． ．

【分析】将方程的恒成立转化为两个函数图象交点个数的问题，利用导数求解． 解：原式可化简为

，

令

f′（x）＝1+lnx＞0

，

故函数f（x）在x∈[1，e]上单调递增， f（x）∈[﹣a，e﹣a]；

，

故函数在（﹣∞，0）上单调递增，（0，2）上单调递减，（2，+∞）上单调递增，

图象如图：

对于任意的实数x∈[1，e]，总存在三个不同的实数y， 使得

成立，

则即

， ，

）．

故答案为：（﹣∞，﹣

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．3位男同学和2位女同学站成一排．

（Ⅰ）2位女同学必须站在一起，有多少种不同的排法（用数字作答）； （Ⅱ）2位女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法（用数字作答）． 【分析】（Ⅰ）利用相邻问题捆绑法进行求解即可， （Ⅱ）利用不相邻问题插空法进行求解即可． 解：（Ⅰ）把2位女生看作一个元素，则有

＝48种不同的排法．

＝6×12＝72种

（Ⅱ）先排3位男同学，然后隔开4个空，在排2位女同学，共有不同的排法．

18．要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动

（Ⅰ）甲当选且乙不当选，有多少种不同的选法？（用数字作答）； （Ⅱ）至多有3名男生当选，有多少种不同的选法？（用数字作答）．

【分析】（Ⅰ）利用组合公式进行进行计算即可．（Ⅱ）至多有3名男生当选，则有1男4女，2男3女，3男2女，三种情况，然后进行求解即可． 解：（Ⅰ）若甲当选，乙不当选，则从剩余8人选4人即可，即

＝70种选法，

（Ⅱ）至多有3名男生当选，则有1男4女，2男3女，3男2女，三种情况，共有

+

+

＝6+60+120＝186种选法．

19．已知函数f（x）＝x3﹣3ax﹣1在x＝﹣1处取得极值． （1）求实数a的值；

（2）当x∈[﹣2，1]时，求函数f（x）的最小值．

【分析】（1）f（x）在x＝﹣1处取得极值，则f′（﹣1）＝0可求出a 的值； （2）求出函数在[﹣2，1]上的单调区间，从而得出函数的最小值； 解：（1）f′（x）＝3x2﹣3a，

又函数f（x）在x＝﹣1处取得极值，则f′（﹣1）＝3﹣3a＝0；

即a＝1，此时f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； 所以当a＝1时满足条件； 所以a＝1；

（2）由（1）可知f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递增，[﹣1，1]单调递减； 所以 当x∈[﹣2，1]时，函数f（x）的最小值是f（﹣2），f（1）中的较小者； f（﹣2）＝﹣3，f（1）＝﹣3； 故函数f（x）的最小值为﹣3．

20．欲设计如图所示的平面图形，它由上、下两部分组成，其中上部分是弓形（圆心为O，半径为1，∠AOB＝2θ，0＜θ＜

），下部分是矩形ABCD，且BC＝AB．

（Ⅰ）求该平面图形的面积S（θ）；

（Ⅱ）试确定θ的值，使得该平面图形的面积最大，并求出最大面积．

【分析】（Ⅰ）过圆心O作AB的垂线，垂足为H，用θ表示出OH，HB，AB，BC，进而求出矩形ABCD的面积S1，三角形AOB的面积S2，扇形AOB的面积S3，又因为该平面图形的面积S（θ）＝S1+S2+S3，代入即可求出结果． （Ⅱ）求导可得当

时，S（θ）单调递增；当θ∈（

，

）时，S（θ）

单调递减，从而求出S（θ）的最大值，以及此时θ的值． 解：（Ⅰ）过圆心O作AB的垂线，垂足为H， 则OH＝cosθ，HB＝sinθ， ∴AB＝2sinθ，BC＝AB＝sinθ， ∴矩形ABCD的面积S1＝2sinθ×

＝sin2θ，

三角形AOB的面积S2＝×2sinθ×cosθ＝sinθcosθ， 扇形AOB的面积S3＝

＝π﹣θ，

）．

∴该平面图形的面积S（θ）＝S1+S2+S3＝sinθ（sinθ+cosθ）+π﹣θ（0（Ⅱ）∵S（θ）＝S1+S2+S3＝sinθ（sinθ+cosθ）+π﹣θ（0∴S'（θ）＝cosθ（sinθ+cosθ）+sinθ（cosθ﹣sinθ）﹣1 ＝sin2θ+cos2θ﹣1 ＝∵0

，∴

＝

，即

﹣1，

，

，），

令S'（θ）＝0得，2当

时，S'（θ）＞0，S（θ）单调递增；当θ∈（）时，S'（θ）＜

0，S（θ）单调递减，

∴当S时，（θ）取得最大值，最大值为S（）＝+．

＝1+ ，

即当θ的值为时，该平面图形的面积最大，最大面积为1+

21．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝﹣x2+ax﹣3． （Ⅰ）求f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值； （Ⅱ）若存在x

使不等式2f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．

【分析】（Ⅰ）对函数求导，根据导函数与0的关系写出函数的单调性和区间，讨论所给的区间和求出的单调区间之间的关系，在不同条件下做出函数的最值；

（Ⅱ）2f（x）≥g（x）可化为2lnx+x+≥a，令h（x）＝2lnx+x+，则问题等价于h（x）

max≥a，利用导数可求得

x时h（x）max；

解：（1）f′（x）＝lnx+1，令f′（x）＝0得x＝， 当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增． ①当0＜t＜t+2≤时，t无解； ②当0＜t＜＜t+2时，即0＜t＜时，

＝﹣；

③当≤t＜t+2时，即t≥时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min＝f（t）＝tlnt；

∴f（x）min＝．

（Ⅱ）x时，

2f（x）≥g（x）即2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，亦即2lnx≥﹣x+a﹣，可化为2lnx+x+≥a， 令h（x）＝2lnx+x+，则问题等价于h（x）max≥a， h′（x）＝+1﹣

＝

，

当x∈[，1）时，h′（x）＜0，h（x）递减；当x∈（1，e]时，h′（x）＞0，h（x）递增；

又h（）＝2ln++3e＝3e+﹣2，h（e）＝2lne+e+＝e++2， 而h（e）﹣h（）＝﹣2e++4＜0，所以h（e）＜h（）， 故x

时，h（x）max＝h（）＝3e+﹣2，

所以实数a的取值范围是：a≤3e+﹣2． 22．已知函数f（x）＝2lnx﹣

．

（Ⅰ）当m＝1时，试判断f（x）零点的个数； （Ⅱ）若x≥1时，f（x）≤0，求m的取值范围．

【分析】（Ⅰ）写出m＝1时的函数解析式，利用导数判断出函数单调性即可得到零点个数；

（Ⅱ）写出函数的导数的判别式即可进行求解． 解：（Ⅰ）当m＝1时，

，

．

，讨论m≤0以及m＞0时的情况，结合根

所以f'（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减， 又f（1）＝0，∴f（x）有且只有一个零点． （Ⅱ）∵f（1）＝0，

．

（1）当m≤0时，在[1，+∞）上f'（x）≥0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（1）＝0，不符合题意． （2）当m＞0时，设g（x）＝﹣mx2+2x﹣1，

当△＝4﹣4m≤0即m≥1时，g（x）＝﹣mx2+2x﹣1≤0恒成立， 所以在[1，+∞）上f'（x）≤0恒成立，

∴f（x）在[1，+∞）上单调递减，∴f（x）≤f（1）＝0，符合题意，∴m≥1． 当△＝4﹣4m＞0即0＜m＜1时，g（x）＝0有两不等实根，设为x1，x2 因为g（1）＝1﹣m＞0，可知x1＜1＜x2，

所以x∈（1，x2）时f'（x）＞0，x∈（x2，+∞）时f'（x）＜0 即f（x）在区间（1，x2）上单调递增，（x2，+∞）单调递减

所以f（x2）＞f（1）＝0，不符合题意． 综上，m的取值范围为[1，+∞）．