数学选修2-3第三章统计案例教案

§3.1 性检验（1）

1． 某医疗机构为了了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了515个成年人，其中吸烟者220人，

不吸烟者295人．调查结果是：吸烟的220人中有37人患呼吸道疾病（简称患病），183人未患呼吸道疾病（简称未患病）；不吸烟的295人中有21人患病，274人未患病．

问题：根据这些数据能否断定“患呼吸道疾病与吸烟有关”？

为了研究这个问题，（1）引导学生将上述数据用下表来表示：

吸烟 不吸烟 合计 一．建构数学 1．性检验：

（1）假设H0：患病与吸烟没有关系．

若将表中“观测值”用字母表示，则得下表：

吸烟 不吸烟 合计 患病 未患病 合计 患病 37 21 58 未患病 183 274 457 合计 220 295 515 a c ac b d bd ab cd abcd 如果实际观测值与假设求得的估计值相差不大，就可以认为所给数据（观测值）不能否定假设H0．否则，应认为假设H0不能接受，即可作出与假设H0相反的结论． （2）卡方统计量：

为了消除样本对上式的影响，通常用卡方统计量（χ2卡方χ2统计量公式：

(观测值预期值)2预期值）来进行估计．

nadbcχ2（其中nabcd）

abcdacbd由此若H0成立，即患病与吸烟没有关系，则χ2的值应该很小．把a37,b183,c21,dχ211.8634，统计学中有明确的结论，在H0成立的情况下，随机事件“发生的概率约为0.01，即P(222274代入计算得

6.635”

6.635)0.01，也就是说，在H0成立的情况下，对统计量χ2进行多次观测，

观测值超过6.635的频率约为0.01．由此，我们有99%的把握认为H0不成立，即有99%的把握认为“患病与吸烟有关系”．

象以上这种用统计量研究吸烟与患呼吸道疾病是否有关等问题的方法称为性检验．

22．性检验的一般步骤：

一般地，对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值：类患呼吸道疾病与不患呼吸道疾病），得到如下表所示：

Ⅰ 类1 Ⅱ 类2 合计 A和类B（如吸烟与不吸烟），Ⅱ也有两类取值：类1和类2（如

A 类B 类合计 a c ac b d bd ab cd abcd 推断“Ⅰ和Ⅱ有关系”的步骤为：

第一步，提出假设H0：两个分类变量Ⅰ和Ⅱ没有关系； 第二步，根据2×2列联表和公式计算χ2统计量； 第三步，查对课本中临界值表，作出判断． 3．性检验与反证法：

反证法原理：在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立；

性检验（假设检验）原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立． 四．数用 1．例题：

例1．在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示．问：该种血清能否起到预防感冒的作用？

使用血清 未使用血清 合计 未感冒 258 216 474 感冒 242 284 526 合计 500 500 1000 分析：在使用该种血清的人中，有

24228448.4%的人患过感冒；在没有使用该种血清的人中，有56.8%的500500人患过感冒，使用过血清的人与没有使用过血清的人的患病率相差较大．从直观上来看，使用过血清的人与没有使用过血清的人的患感冒的可能性存在差异．

解：提出假设H0：感冒与是否使用该种血清没有关系．由列联表中的数据，求得

1000(258284242216)27.075

4745265005002∵当H0成立时，26.635的概率约为0.01，∴我们有99%的把握认为：该种血清能起到预防感冒的作用．

例2．为研究不同的给药方式（口服或注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如表所示．根据所选择的193个病人的数据，能否作出药的效果与给药方式有关的结论？

口服 注射 合计 有效 58 122 无效 40 31 71 合计 98 95 193 分析：在口服的病人中，有

5859%的人有效；在注射的病人中，有67%的人有效．从直观上来看，口服95与注射的病人的用药效果的有效率有一定的差异，能否认为用药效果与用药方式一定有关呢？下面用性检验的方法加以说明．

解：提出假设H0：药的效果与给药方式没有关系．由列联表中的数据，求得

193(583140)21.362.072

1227198952当H0成立时，21.36的概率大于15%，这个概率比较大，所以根据目前的调查数据，不能否定假设H0，

即不能作出药的效果与给药方式有关的结论． 说明：如果观测值22.706，那么就认为没有充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”，但也不能作出结论“H0成立”，

即Ⅰ与Ⅱ没有关系．

§3.1 性检验（2）

二．数用 1．练习题：

1．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性人。女性中有43人主要的休闲方

式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动。

（1）根据以上数据建立一个2× 2列联表； （2）判断性别与休闲方式是否有关系。

例2．气管炎是一种常见的呼吸道疾病，医药研究人员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比，所得数据如表所示．问它们的疗效有无差异（可靠性不低于99%）？

复方江剪刀草 胆黄片 合计

例3．下表中给出了某周内中学生是否喝过酒的随机调查结果，若要使结论的可靠性不低于95%，根据所调查的数据，能否作出该周内中学生是否喝过酒与性别有关的结论？

男生 女生 合计 喝过酒 77 16 93 没喝过酒 404 122 526

合计 481 138 619

有效 184 91 275 无效 61 9 70 合计 245 100 345 §3.2 回归分析(1)

一．建构数学

1．线性回归模型的定义：

我们将用于估计

y值的线性函数abx作为确定性函数；

，称之为随机误差；

y的实际值与估计值之间的误差记为将

yabx称为线性回归模型．

说明：（1）产生随机误差的主要原因有：

①所用的确定性函数不恰当引起的误差；②忽略了某些因素的影响； ③存在观测误差． （2）对于线性回归模型，我们应该考虑下面两个问题： ①模型是否合理；②在模型合理的情况下，如何估计a，b？ 2．探求线性回归系数的最佳估计值： 设有

n对观测数据

(xi,yi)(i1,2,3,L,n)，根据线性回归模型，对于每一个

nxi，对应的随机误差项

iyi(abxi)n，我们希望总误差越小越好，即要使

i12i越小越好．所以，只要求出使

Q(,)(yixi)2取得最小值时的i1$，b$． ，值作为a，b的估计值，记为a注：这里的

i就是拟合直线上的点

xi,abxi到点Pixi,yi的距离．

$，b$？ 用什么方法求a线性回归方程的方法：最小二乘法．

$，b$的计算公式为 利用最小二乘法可以得到an(xix)(yiy)$i1bn(xix)2i1$$aybxxynxyiinxi1i1n2in(x)2，

1n其中xxini11n，yyi

ni1$，b$分别为a，b$bx$就称为这n对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中a由此得到的直线$ya$称为回归截距，b$称为回归系数，$的估计值，ay称为回归值．

$，b$的意义是：以a$为基数，x每增加1个单位，$bx$中a3． 线性回归方程$ya4． 化归思想（转化思想）（了解）

在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要我们根据专业知识或散点图，对某些特殊的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转化为线性回归方程，从而确定未知参数．下面列举出一些常见的曲线

$个单位； y相应地平均增加b方程，并给出相应的化为线性回归方程的换元公式． （1） （2） （3）

yab1，令y'y，x'，则有y'abx'． xxyaxb，令y'lny，x'lnx，a'lna，则有y'a'bx'． yaebx，令y'lny，x'x，a'lna，则有y'a'bx'．

（4）

yaebx，令

y'lny，x'1，a'lna，则有y'a'bx'． x （5）

yablnx，令y'y，x'lnx，则有y'abx'．

二．数用 1．例题：

例1．下表给出了我国从1949年至1999年人口数据资料，试根据表中数据估计我国2004年的人口数．

年份 人口数/百万 1949 19 1959 19 1969 1974 1979 1984 19 1994 1999 2 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246 解：为了简化数据，先将年份减去1949，并将所得值用x表示，对应人口数用y表示，得到下面的数据表：

x y 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 2 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246 作出11个点

x,y构成的散点图，

yabx来表示它们之间的关系．

由图可知，这些点在一条直线附近，可以用线性回归模型根据公式（1）可得

$14.453,b $a527.591.$$分别为a,b的估 这里的a,b

计值，因此线性回归方程 为$y527.59114.453x 由于2004年对应的

x55,代入

线性回归

方程$，即2004年的人口总数估计为13.23亿. y527.59114.453x可得$y1322.506（百万）

§3.2 回归分析(2)

1．相关系数的计算公式：

对于x，

ny随机取到的n对数据(xi,yi)(i1,2,3,L,n)，样本相关系数r的计算公式为

iir(xx)(yy)i1(xx)(yy)2iii1i1nn2xynxyiii1n(xi2n(x)2)(yi2n(y)2)i1i1nn．

2．相关系数r的性质： （1）|r|1；

（2）|r|越接近与1，x， （3）|r|越接近与0，x，

y的线性相关程度越强； y的线性相关程度越弱．

可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关． 3． 作出统计推断：若|r|r0.05，则否定H0，表明有95%的把握认为变量则没有理由拒绝H0，即就目前数据而言，没有充分理由认为变量

说明：1．对相关系数r进行显著性检验，一般取检验水平某种关系．

3．这里的r是对抽样数据而言的．有时即使|r|1，两者也不一定是线性相关的．故在统计分析时，不能就数据论数据，要结合实际情况进行合理解释．

4．对于上节课的例1,可按下面的过程进行检验： （1）作统计假设H0：x与

y与x之间具有线性相关关系；若|r|r0.05，

y与x之间具有线性相关关系．

0.05，即可靠程度为95%．

2．这里的r指的是线性相关系数，r的绝对值很小，只是说明线性相关程度低，不一定不相关，可能是非线性相关的

y不具有线性相关关系；

0.602；

（2）由检验水平0.05与n29在附录2中查得r0.05（3）根据公式（4）因为

2得相关系数r0.998；

r0.9980.602，即rr0.05，所以有95﹪的把握认为x与y之间具有线性相关关系,线性回归方

程为$y527.59114.453x是有意义的．