高中数学人教版B版精品教案《一元二次不等式的解法》

【教学目标】 1．掌握一元二次不等式的解法．（重点） 【核心素养】 通过一元二次不等式的学习，培养数2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．（难点） 算素养． 【教学过程】

一、新知初探

1．一元二次不等式的概念

一般地，形如a2＋b＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0． 2．一元二次不等式的一般形式 （1）a2＋b＋c＞0（a≠0）． （2）a2＋b＋c≥0（a≠0）． （3）a2＋b＋c＜0（a≠0）． （4）a2＋b＋c≤0（a≠0）．

思考2：不等式2－2>0是一元二次不等式吗？

提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式． 3．一元二次不等式的解与解集

使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．

思考：类比“方程2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式

2

>1的解集及其含义是什么？

提示：不等式2>1的解集为{|1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解

均使不等式成立．

7．三个“二次”的关系 设＝a2＋b＋c（a＞0），方程a2＋b＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 解不等式＞0或＜0的步骤 求方程＝0的解 画函数＝a2＋b＋c（a＞0）的图像 Δ＞0 数根1，2（1＜2） Δ＝0 根1＝2＝－错误! Δ＜0 数根 有两个不相等的实有两个相等的实数没有实

思考：若一元二次不等式a2＋－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？

提示：结合二次函数图像可知，若一元二次不等式a2＋－1>0的解集为R，则错误!0的解集为R．

二、初试身手

1．不等式32－2＋1＞0的解集为（ ） A．错误! C．∅ 答案：D

解析：因为Δ＝（－2）2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式32－2＋1＞0的解集为R． 2．不等式－32＋5－4>0的解集为________． 答案：∅

解析：原不等式变形为32－5＋40； （2）－42＋18－错误!≥0；

（3）－22＋3－2021以方程22＋7＋3＝0有两个不等实根1＝－3，2＝－错误!．又二次函数＝22＋7＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为错误!0，因为Δ＝9－4×2×2＝－70；（2）2－4＋4>0；

（3）－2＋2－30．

解：（1）∵Δ>0，方程22－3－2＝0的根是1＝－错误!，2＝2，∴不等式22－3－2>0的解集为

错误!．

B．错误! D．R

（2）∵Δ＝0，方程2－4＋4＝0的根是1＝2＝2， ∴不等式2－4＋4>0的解集为错误!． （3）原不等式可化为2－2＋3>0，

由于Δ0，方程32－5＋2＝0的两根为1＝错误!，2＝1，

∴不等式－32＋5－2>0的解集为错误!0三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？

解：当a＝0时，原不等式可化为>1． 当a≠0时，原不等式可化为（a－1）（－1）0， ∵错误!1．

当a>0时，原不等式可化为错误!（－1）1，则错误!1，即01；当a＝0时，原不等式的解集为

{|>1}；当01时，原不等式的解集为错误! 0、

0时自变量组成的集合，亦即二次函数＝2－2－3的图像在轴上方时点的横坐标

的集合{|3}；同理，满足0（a>0）或a2＋b＋c0）是函数＝a2＋b＋c（a≠0）的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当＝0时，函数＝a2＋b＋c（a≠0）就转化为方程，当>0或0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？

提示：方程2－2－3＝0的解集为{－1，3}．

不等式2－2－3>0的解集为{|3}，观察发现不等式2－2－3>0解集的端点值恰好是方程2－2－3＝0的根．

3．设一元二次不等式a2＋b＋c>0（a>0）和a2＋b＋c0）的解集分别为{|2}，{|10（a>0）和a2

＋b＋c0）的解集分别为{|2}，{|10的解集为{|2021

集为{|20212－错误!＋错误!>0，解得错误!，所以

不等式c2＋b＋a0的解集为{|2021集．

解：由根与系数的关系知错误!＝－5，错误!＝6且a0，

即2－错误!＋错误!0的解集为{|2021一根（Δ＝0），无根（Δ0，则一元二次不等式a2＋1>0无解．（ ）

（3）若一元二次方程a2＋b＋c＝0的两根为1，2（10，所以不等式a2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R．

（3）错误．当a>0时，a2＋b＋c2（－1）．

解：（1）原不等式可化为2－7＋12≤0，因为方程2－7＋12＝0的两根为1＝3，2＝4所以原不等式的解集为{|3≤≤4}．

（2）原不等式可以化为2－2＋2>0，因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程2－2＋2＝0无实根，而抛物线＝2－2＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R．