数学建模考试题

A题 货运公司的运输问题

某地区有8个公司（如图一编号①至⑧），某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口（编号⑨）分别运往各个公司。路线是唯一的双向道路（如图一）。货运公司现有一种载重 6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次（车辆每出动一次为一车次）。每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时（不考虑塞车现象），每日工作不超过8小时。运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.4元/公里。一个单位的原材料A,B,C分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在上，大件在下。卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要满足各公司当天的需求量（见图二）。

问题：

1.货运公司派出运输车6辆，每辆车从港口出发（不定方向）后运输途中不允许掉头，应如何调度（每辆车的运载方案，运输成本）使得运费最小。

2. 每辆车在运输途中可随时掉头，若要使得成本最小，货运公司怎么安排车辆数？应如何调度？

3.如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车，载重运费都是1.8元/吨公里，空载费用分别为0.2，0.4，0.7元/公里，其他费用一样，又如何安排车辆数和调度方案？

（图 一）运输路线图和里程数

③5公里9公里④8公里⑤8公里⑥②7公里①8公里

4公里⑦⑧港口⑨6公里5公里

（图 二）各个公司对每种材料的需求量（单位/天）

公司 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧

各种材料的需求量（单位/天） A 4 1 2 3 1 0 2 5 B 1 5 0 1 2 4 2 3 C 5 2 4 2 4 3 5 1

B题 水塔流量的估计

某社区的自来水是由一个圆柱形水塔提供。水塔高12.2米，直径17.4米。当水塔水位降至约8.2米时，水泵自动启动加水；水位升高到约10.8米时，水泵停止工作；一般水泵每天工作两次。下表给出了某一天在不同时间记录水塔中水位的数据，其中有三次观察时水泵正在供水，无水位记录。

时刻(h) 0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 水位(cm) 968 948 931 913 898 881 869 852 839 822

时刻(h) 9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 水位(cm) // // 1082 1050 1021 994 965 941 918 892

时刻(h) 19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91 水位(cm) 866 843 822 // 10.82 1059 1035 1018 试建立适当的数学模型，计算任意时刻的水流速度，并估算一天的用水量和水泵的工作功率。