２０１４年６月 第８卷第２期 伊犁师范学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｙｉｌｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎ￣ｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｊｕｎ．２Ｏ１４ Ｖｏ１．８ ＮＯ．２ 基于欠阻尼二阶系统响应曲线的起始 磁化曲线拟合方法研究 郭永辉 （伊犁师范学院电子与信息工程学院，伊宁８３５０００） 摘要：欠阻尼二阶系统响应曲线与起始磁化曲线有很好的相似性，通过调节欠阻尼二阶系 统响应曲线的超调量和峰值时间，用已知的欠阻尼二阶系统响应函数来拟合起始磁化曲线，给出 了一种起始磁化曲线拟合的新方法． 关键词：欠阻尼二阶系统：阶跃响应曲线；超调量；磁化曲线；拟合 中图分类号：ＴＭ４０：ＴＰ１８文献标识码：Ａ文章编号：１６７３－－９９９Ｘ（２０１４）０２—００６３—０４ １ 引言 掌握铁磁介质的起始磁化曲线的变化规律，对 于研究不同磁场强度下铁磁介质的磁导率，并进而 系统中的暂态过程提供了新方式・ ２起始基本磁化曲线的数据表 对某一铁磁物质，利用数字磁通计测得起始磁 研究变压器、电动机和发电机等含铁磁介质的电气 设备在不同电路中的电气响应特性尤为重要．在变 压器模型仿真过程中，准确地描述磁化曲线对于建 模的可行性和准确性非常重要…．一般情况下，铁 磁介质的起始磁化曲线都是通过实验测量得到的， 磁感应强度Ｂ与磁场强度Ｈ的关系很难用函数描 述，这对研究暂态过程中的磁通量、感应电流及感 应电动势的变化规律带来了一定的困难．实际过程 中，为得到一些确定性的结论，不得不做一些近似 化曲线各项数据如表１所示． 表１基本磁化曲线记录及修正表 处理，找到一种好的拟合磁化曲线的方法，建立起 始磁化曲线函数，可以更好地运用磁化曲线规律研 究含铁磁介质电气设备的暂态过程．为此，人们花 费了很多的精力，也找到了一些方法，但这些方法 在曲线拟合的过程中存在着拟合性不好或函数形 式过于复杂等问题． 本文基于欠阻尼二阶系统响应曲线的函数特 性，找到了一种起始磁化曲线拟合的新方法，该方 法在一定范围内可以精ｌｉ角地拟合磁化曲线并得到 其解析表达式，这为研究含铁磁物质电气设备电力 收稿日期：２０１４－０１．０２ 作者简介：郭永辉（１９８７一），男，山东济宁人，在读硕士研究生，研究方向：电力系统过电压 伊犁师范学院学报（自然科学版） ２０１４血 ３磁化曲线拟合方法与步骤 选取二阶欠阻尼系统的阶跃响应曲线来拟合 起始磁化曲线，通过调节超调量和延迟时间可使两 曲线重合以达到最好的拟合效果．由此给出的起始 磁化曲线解析表达式可与实际测量得到的结果很 好吻合． ３．１ 拟合函数类的选取 由表１给出的磁场强度Ｈ和磁感应强度Ｂ的关 磁场强度Ｈ实际（ｍＡ，ｍ） ｘ １０。 图３．１．１磁场强度Ｈ和磁感应强度日的关系曲线（起始 磁化曲线） 由图３．１．１磁化数据型值点的变化特点，可以 看出它和二阶线性系统的阶跃响应曲线相似，可以 考虑用二阶线性系统的阶跃响应曲线来代替起始 磁化曲线．将二阶线性系统的阶跃响应曲线与起始 磁化曲线画在同一坐标系中，如图３．１．２所示．在图 ３．１．２中具有振荡性质的欠阻尼二阶线性系统的阶 跃响应曲线与磁化曲线在起始部分拟合得很好． 主 蛊 罾 嚣 图３．１．２二阶线性系统阶跃响应曲线与起始磁化曲线 ３．２调节超调量与峰值时间 调节超调量与峰值时间可使欠阻尼二阶系统 响应曲线在所关注的区域内与起始磁化数据型值 点重合． 二阶线性系统的阶跃响应曲线的具体表达式： ）＝ ｌ 一赤Ｐ Ｈ 。 （３．２．１） 这里， ； √ｌ一 是阻尼振荡角频率：其中， 是自然振荡频率， ＝ａｒｃｓｉｎ（￣）是阻尼角， 是阻 尼系数． 分析（３．２．１）式可知， （ｆ）中的变量有 、 、 、 ，而由 ＝ ，√ｌ一 ， ＝ａｒｃｓｉｎ（￣）可知， 、 决定了 、 ．所以 （，）只与ｃ，、 、 有 关，即 、 决定了厅（ｆ）的曲线形状．输入信号Ｕ 影响着峰值和超调量，而 ： 根据峰值和超 ＋１ 调量亦可确定输入信号（以下拟合曲线中同时给出 了相应的输入信号Ｕ）． 下面给出 、 的表达式： ｌｎ（ ）Ｏ ＇ ｐ ’ 式中 是超调量，ｔｐ是峰值时间．由上式可知， 是由ｏｒＰ唯一确定的， 由Ｏ＇ｐ、ｔｐ确定，即Ｏ＇ｐ、， 第２期 可以确定 、 郭永辉：基于欠阻尼二阶系统响应曲线的起始磁化曲线拟合方法研究 一Ｊ．呈∞ 积 俺疆 ６５ ’ ’ 的值，而 、 决定了二阶线性 ． ＿ 。 。 。 ｉ 系统的阶跃响应曲线 （ｆ），所以Ｏ＇ｐ、ｔｐ确定了ｈ（ｔ） 的变化规律，或者说ｈ（ｔ）的图像是由 、ｔｐ控制 的．由此可以通过调节ａｒＰ、ｔｐ的值来改变厅（ｆ）的图 像，使之与起始磁化曲线拟合．下面确定 、ｆ 的 值． ／ － －；，／ ； ． ＿ ｔ 。 ｌ ‘ 由图３．１．２，考虑到二阶线性系统的阶跃响应曲 线峰值来临前的区域与磁化曲线拟合较好，所以可 以取峰值时间ｔｐ＝３．５×ｌ０ ，然后依次取 ＝０．１， ０．２，０－３，０．４，０．５，０．一∞ 髓 镩ｊ毂 ６，０．７，０．８，０．９，给出对应 的曲线如图３．２．１所示，由此选出最好的拟合参数． ’—一一 ． 药 Ｉ ． ／ ；％箍 ｜ － ／ 锄铲 ｔ ・ ，， ，ｒ 皇 ，，， 。 ．。 磁场强度Ｈ实际 ） ｘ １０ｅ 图３．２．１ ｔ ＝３．５ｘｌＯ‘时不同超调量对应曲线 （横线是不同参数曲线下对应的输入信号Ｕ） 由图３．２．１可知，二阶线性系统的阶跃响应曲 线峰值来临前区域与磁化曲线的变化趋势是相同 的，但两者拟合得仍不理想．从图中可以看出，若 将 延迟一段时间，则两者拟合得会更好，所以取 ，ｐ＝４ｘｌＯ ，再取Ｏ＇ｐ＝０．５，０．６，Ｏ．７，０．８，给出对 应的曲线，如图３．２．２所示． 磁场强度Ｈ实际（ ｌＡｒｍ） ｘ 图３．２．２ ｔｐ＝４ｘ１０‘时不同超调置对应的曲线 进一步分析这四条曲线，当ｆ ＝４ｘｌＯ ， ０．７ （上Ｅ∞醚嘿域 撂 时，欠阻尼二阶系统响应曲线的起始磁化曲线拟合 得最好，如图３．２．３所示． ’ ’ ‘ 。。 。 ｔ ． ／ ． 。 ’ ． ／ ｔ ．／． ． ＿ ＿ ｔ， 磁场强度Ｈ实际（ｍ～ｍ） 图３．２．３ ｔｐ＝４×１０‘，盯ｐ＝０．７时对应的曲线 ３．３二阶系统响应曲线中自然振荡频率和阻尼系 数的确定 根据 ＝４×１０ 和 ＝０．７求出ｃｏ，，， ，并通 过（３．２．１）式可确定二阶线性系统的阶跃响应曲线 的具体表达式．可以用ｍａｔｌａｂ命令提取需要的量． 各参数值为： Ｕ＝９５．２９４１， ＝０．１ｌ１５， ＝１．４５９０； ＝７．９０３３×１０～，ｃｏａ＝７．８５４×ｌＯ～， 将上述物理量代入（３．２．１）式得： ｈ（ｔ）＝９５．２９４ｌ×【ｌ一１．００６３ｅ 引 伊犁师范学院学报（自然科学版） 量∞ 承毯霹甜 ｘｓｉｎ（７．８５４０ｘ１０一 ，＋１．４５９０）］．ｆ ０（３．３．１） ２０１４年 为了验证（３．３．１）式中函数ＪＩｌ（，）与起始磁化曲 线的拟合程度，在同一坐标中做出函数｜Ｉｌ（ｒ）曲线和 起始磁化曲线，如图３．３．１． ’ ’ ’ ’ ’ ’ 线中峰值点之前的曲线来拟合起始磁化曲线可以 得到较好的拟合结果，由此可以得到磁化曲线的表 达式如下： （ ）＝９５．２９４１ ｘ［１—１．００６３ｅ 。 ∞ｘ ×ｓｉｎ（７・８５４０×１０－￣Ｈ＋１．４５９０）］ （３－４．１） 这里０ Ｈ ３．５×１０ （ｍＡ／ｍ１，其中Ｂ是磁感应强 ． ＿ ／ 度，单位为ｍＴ，Ｈ是磁场强度，单位为ｍＡ／ｍ． ４结论 由于欠阻尼二阶系统响应曲线峰值前区域与 芦 ／ 起始磁化曲线具有相同的变化规律，所以可以用欠 阻尼二阶系统响应曲线峰值前区域拟合起始磁化 ． ． ／ 曲线，并由欠阻尼二阶系统响应曲线峰值前区域函 数表达式来拟合起始磁化曲线表达式，该表达式的 ｔ 一，＿ ． ． － 。‘ 可解析性对于研究涉及磁化曲线关系的物理量有 磁场强度Ｈ实际 ｎＡ ） ｘ １０ｅ 重要意义．对于不同材料的磁化曲线，也可以根据 图３．３．１函数ｈ（ｔ）曲线与起始磁化曲线的拟合 上述方法，通过调节欠阻尼二阶系统响应曲线的超 ３．４通过二阶系统响应曲线表达式给出起始磁化 调量和峰值时间，使欠阻尼二阶系统响应曲线与该 曲线的表达式 材料磁化数据型值点重合，从而得到相应材料的拟 由图３－３．１可知，用二阶线性系统的阶跃响应曲 合起始磁化曲线的表达式． 参考文献： ［１］ 王建，姚缨英．机电工程表面响应模型在磁化曲线拟合中的应用［Ｊ］．机电工程，２００８（３）． ［２］磁滞回线实验数据［ＥＢ／ＯＬ］．ｈｔｔｐ：／／ｗｅｎｋｕ．ｂａｉｄｕ．ｃｏｍ／ｖｉｅｗ／ｅａａｆｂ１３７３９６８０１Ｉｃａ３００９１ａ１．ｈｔｍｌ，２０１２－０４—０９． ［３］ 胡寿松．自动控制原理［Ｍ］．北京：科学出版社。２００７． ［４］ 吴大正．信号与线性系统分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００５． ［５］ 马宏忠．电机学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００９． ［６］ 许晓峰．电机与拖动［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００９． ［７］ 唐介．电机与拖动［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７． ［责任编辑：张建国］ Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ Ｕｎｄｅｒ－ｄａｍｐｅｄ Ｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒ Ｓｙｓｔｅｍ Ｒｅｓｐｏｎｓｅ Ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｉｎｉｔｉａｌ Ｍａｇｎｅｔｉｚａｔｉｏｎ Ｃｕｒｖｅ Ｆｉｔｔｉｎｇ Ｍｅｔｈｏｄ ＧＵ０ Ｙｏｎｇ－ｈｕｉ （Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ。Ｙｉｌｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙｉｎｉｎｇ，Ｘｉｎｊｉａｎｇ ８３５０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｇｏｏｄ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｕｎｄｅｒ－ｄａｍｐｅｄ ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ ｓｙｓｔｅｍ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ＣＨＩＶＥＳ ａｎｄ ｔｈｅ ｉｎｉｔｉａｌ ｍａｇｎｅｔｉｚａｔｉｏｎ ｃｕｒｖｅ．Ｂｙ ａｄｊｕｓｔｉｎｇ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒ－ｄａｍｐｅｄ ｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒ ｓｙｓｔｅｍ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｖｅｒｓｈｏｏｔ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｅａｋ ｔｉｍｅ，ｔｈｅ ｉｎｉｔｉａｌ ｍａｇｎｅｔｉｚａｔｉｏｎ ｃｕｒｖｅ ｃａｎ ｂｃ ｆｉｔｔｅｄ ｗｉｔｈ ａ ｋｎｏｗｎ ｕｎｄｅ￣ｄａｍｐｅｄ ｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒ ｓｙｓｔｅｍ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｎａｄ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ａ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｉｎｉｔｉａｌ ｍａｇｎｅｔｉｚａｔｉｏｎ ｃｕｒｖｅ ｉｆｔｉｎｇ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｕｎｄｅ￣ｄａｍｐｅｄ ｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒ ｓｙｓｔｅｍ；ｔｈｅ ｓｔｅｐ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｃｕｒｖｅ；ｏｖｅｒｓｈｏｏｔ ａｍｏｕｎｔ；ｍａｇｎｅｔｉｚａｔｉｏｎ ｃｕｒｖｅ；ｆｉｔｔｉｎｇ
