高中数学解题思想方法(分类讨论思想方法)

在解答某些数学问题时；有时会有多种情况；对各种情况加以分类；并逐类求解；然后综合求解；这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法；也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性；能训练人的思维条理性和概括性；所以在高考试题中占有重要的位置。

分类原则；分类的对象是确定的；标准是统一的；不遗漏、不重复、分层次；不越级讨论。

分类方法；明确讨论对象；确定对象的全体 → 确定分类标准；正确进行分类 → 逐步进行讨论；获取阶段性结果 → 归纳小结；综合得出结论。

Ⅰ、再现性题组；

1. 集合A＝{x||x|≤4,x∈R}；B＝{x||x－3|≤a；x∈R}；若AB；那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 02. 若a>0且a≠1；p＝loga(a＋a＋1)；q＝loga(a＋a＋1)；则p、q的大小关系是_____。 A. p＝q B. pq D.当a>1时；p>q；当032|sinx||cosx||tgx|ctgx4. 若θ∈(0,

π)；则limcosnθsinnθ的值为_____。

n→∞cosnθ＋sinnθ2A. 1或－1 B. 0或－1 C. 0或1 D. 0或1或－1 5. 函数y＝x＋1的值域是_____。

xA. [2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. [-2,2]

6. 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形；则它的体积为_____。 A. 893 B.

493 C.

293 D.

493或

893

7. 过点P(2,3)；且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。

Ⅱ、示范性题组；

例1. 设00且a≠1；比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小。 【分析】 对数函数的性质与底数a有关；而分两类讨论。 【解】 ∵ 01

① 当00; ② 当a>1时；|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝…

由①、②可知；… 例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素；A∩B含有4个元素；试求同时满足下面两个条件的集合C的个数； ①. CA∪B且C中含有3个元素； ②. C∩A≠φ 。

【分析】 由已知并结合集合的概念；C中的元素分两类；①属于A 元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。

【解】 C12·C8＋C12·C8＋C12·C8＝14

【另解】（排除法）；

【注】本题是“包含与排除”的基本问题；正确地解题的前提是正确分类；达到分类完整及每类互斥的要求。并且要确定C中元素如何取法。

例3. 设{an}是由正数组成的等比数列；Sn是前n项和。 ①. 证明； 是否存在常数c>0；使得

1222130lgSnlgSn2n1 ②.

2lg(Snc)lg(Sn2c)＝lg（S－c）成立？并证明结论。(95年全国理)

n12【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。

【解】 设公比q；则a1>0；q>0 ①． …

②. 要使

2lg(Snc)lg(Sn2c)＝lg（S－c）成立；则必有(S－c)(S

n1nn2－c)＝(Sn1－c),

2分两种情况讨论如下； 当q＝1时；Sn＝na1；则

(Sn－c)(Sn2－c)－(Sn1－c)＝(na1－c)[(n＋2)a1－c]－[(n＋1)a1－c]＝－a1<0

nnn22当q≠1时；Sn＝a1(1q)；则(Sn－c)(Sn2－c)－(Sn1－c)＝[a1(1q)－c][ a1(1q)－

2221q1q1qc]－[a1(1qn11q)－c]2＝－aqn[a－c(1－q)]

111qn∵ a1q≠0 ∴ a1－c(1－q)＝0即c＝a1

n而Sn－c＝Sn－a1＝－a1q<0 ∴对数式无意义

1q1q由上综述；不存在常数c>0, 使得

lg(Snc)lg(Sn2c)＝lg（S－c）成立。

n12【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为；证明

log0.5Snlog0.5Sn2>logS 。

0.5n12例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的；我们解决时按要求进行分类。（概念、性质型） 例4. 设函数f(x)＝ax－2x＋2；对于满足10；求实数a的取值范围。

【分析】 含参的一元二次函数在有界区间上的值域问题；先对开口方向讨论；再对其抛物线对称轴的位置进行分类讨论。（也属数形结合法）

21）2＋2－1

aa11114≤1∴ a或或a≥4 a11f()＝20f(1)＝a22≥0f(4)＝16a82≥0aa11∴ a≥1或； 22f(1)＝a22≥0当a<0时；；解得φ；

f(4)＝16a82≥0【解】当a>0时；f(x)＝a（x－

当a＝0时；f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0；f(4)＝－6； ∴不合题意 由上而得；实数a的取值范围是a>例5. 解不等式

1 4 x

1 4 x

1 。 2(x4a)(x6a)>0 (a为常数；a≠－1)

2a12【分析】 含参不等式；参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小；故对a>0、a＝0、－12a<－1分别加以讨论。

2【解】 2a＋1>0时；a〉－1； －4a<6a时；a>0 。 所以分以下四种情况讨论；

2当a>0时；(x＋4a)(x－6a)>0；解得；x<－4a或x>6a； 当a＝0时；x>0；解得；x≠0；

当－10；解得: x<6a或x>－4a；

22当a>－1时；(x＋4a)(x－6a)<0；解得； 6a2综上所述；……

【注】 含参问题；结合参数的意义及对结果的影响而分类讨论。（含参型） 例6. 设a≥0,在复数集C中；解方程；z＋2|z|＝a 。 (90年全国高考) 【解】 ∵ z∈R；由z＋2|z|＝a得；z∈R； ∴ z为实数或纯虚数

当z∈R时；|z|＋2|z|＝a,解得；|z|＝－1＋1a ∴ z＝±(－1＋1a)；

当z为纯虚数时；设z＝±yｉ (y>0)； ∴ －y＋2y＝a 解得；y＝1±1a （0≤a≤1） 由上可得；z＝±(－1＋1a)或±(1±1a)ｉ

【注】本题用标准解法（设z＝x＋yｉ再代入原式得到一个方程组；再解方程组）过程十分繁难；而挖掘隐含；对z分两类讨论则简化了数学问题。 （简化型）

22222x2y22x2y2a22【另解】 设z＝x＋yｉ；代入得 x－y＋2x2y2＋2xyｉ＝a； ∴  2xy0当y＝0时；…

例7. 在xoy平面上给定曲线y＝2x；设点A(a,0)；a∈R；曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)；求f(a)的函数表达式。 （本题难度0.40）

【分析】 求两点间距离的最小值问题；先用公式建立目标函数；转化为二次函数在约束条件x≥0下的最小值问题；而引起对参数a的取值讨论。

【解】 设M(x,y)为曲线y＝2x上任意一点；则

|MA|＝(x－a)＋y＝(x－a)＋2x＝x－2(a－1)x＋a＝[x－(a－1)]＋(2a－1) 由于y＝2x限定x≥0；所以分以下情况讨论； 当a－1≥0时；x＝a－1取最小值；即|MA}当a－1<0时；x＝0取最小值；即|MA}

2min22222222222＝a；

min＝2a－1； 2(a≥1时)综上所述；有f(a)＝2a1 。

|a|(a1时)Ⅲ、巩固性题组； 1. 若loga2<1；则a的取值范围是_____。

33332. 非零实数a、b、c；则a＋b＋c＋abc的值组成的集合是_____。

|a||b||c||abc|A. {-4,4} B. {0,4} C. {-4,0} D. {-4,0,4} 3. f(x)＝(a－x)|3a－x|；a是正常数；下列结论正确的是_____。

A.当x＝2a时有最小值0 B.当x＝3a时有最大值0

A. (0, 2) B. (2,1) C. (0, 2)∪(1,+∞) D. (2,+∞)

34. 设f1(x,y)＝0是椭圆方程；f2(x,y)＝0是直线方程；则方程f1(x,y)＋λf2(x,y)＝0 （λ∈R）表示的曲线是_____。

5. 函数f(x)＝ax－2ax＋2＋b (a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5；最小值2；则a、b的值为_____。 A. a＝1,b＝0 B. a＝1；b＝0或a＝－1,b＝3 C. a＝－1；b＝3 D. 以上答案均不正确 6.方程(x－x－1)＝1的整数解的个数是_____。 A. 1 B. 3 C. 4 D. 5

7. 到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是_____。 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

8. z∈C；方程z－3|z|＋2＝0的解的个数是_____。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

9. 复数z＝a＋aｉ (a≠0)的辐角主值是______________。

10.解关于x的不等式； 2loga2(2x－1)>loga(x－a) (a>0且a≠1)

11.设首项为1；公比为q (q>0)的等比数列的前n项和为Sn；又设Tn＝Sn；求limTn 。

222x22Sn1n→∞

12. 若复数z、z、z在复平面上所对应三点A、B、C组成直角三角形；且|z|＝2；求z 。

13. 有卡片9张；将0、1、2、…、8这9个数字分别写在每张卡片上。现从中任取3张排成三位数；若6可以当作9用；问可组成多少个不同的三位数。

14. 函数f(x)＝(|m|－1)x－2(m＋1)x－1的图像与x轴只有一个公共点；求参数m的值及交点坐标。

223