2020年九年级模拟考试
数 学 试 题 2020.5
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卷上相应的选项标号涂黑） ．．．．．．．．．．．．．
1．3的绝对值是 （ ▲ ） A．3
B．－3 C．±3
D．3
2．下列计算中，正确的是 （ ▲ ） A．a2²a3＝a6 B．(a2)3＝a6 C．a3＋a3＝a6 D．2a²3a＝6a
x
3．若分式有意义，则实数x的取值范围是 （ ▲ ）
x－2A．x＞0 B．x＞2 C．x≠0 D．x≠2
4．若关于x的方程x2＋px＋q＝0有两个不相等的实数根，则下列结论正确的是 （ ▲ ） A．p2－4q＞0
B．p2－4q≥0
C．p2＋4q＞0
D．p2＋4q≥0
5．一组数据：3，4，4，4，5．若拿掉一个数据4，则发生变化的统计量是 （ ▲ ） A．极差 B．方差 C．中位数 D．众数
6．一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是圆形，这个几何体可能是 （ ▲ ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．半球
7．如图，点E在四边形ABCD的CD边的延长线上，若∠ADE＝120°，则∠A＋∠B＋∠C的度数为 （ ▲ ） A．240° B．260° C．300° D．320°
8．若二次函数y＝a(x－1)2＋k的图像与x轴交于点(－2，0)，则图像与x轴的另一个交点为（ ▲ ） A．（0，0） B．（2，0） C．（3，0） D．（4，0）
9．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，点D在△ABC内，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为 （ ▲ ）
3535
A．5 B． C．5或 D．6
6610．如图，动点M从（0，3）出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向下移动，同时动点N从（4，0）出发，沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右移动，当点M移动到O点时，点M、N同时停止移动．点P在第一象限内，在M、N移动过程中，始终有PM⊥PN，且PM＝PN．则在整个移动过程中，点P移动的路径长为 （ ▲ ）
332A．2 B．3 C．5 D．5
223
A B
D
E
C
B
（第9题）
C
O N A
y P M D
（第7题）
x （第10题）
数学试题 第1页（共4页）
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷上相应的位置处） ．．．．．．．．．
11．5的算术平方根为 ▲ ．
12．无锡和江阴之间的市域轨道交通S1号线一期工程线路全长约30400m，数据30400用科学记
数法表示为 ▲ ．
13．已知代数式3a2b，请写出一个它的同类项： ▲ ．
14．一个菱形的两条对角线长分别为4 cm和5 cm，则这个菱形的面积是 ▲ cm2． 15．已知圆锥的高为12cm，它的底面直径为10cm，则这个圆锥的母线长为 ▲ cm． k－1
16．已知反比例函数y＝的图像经过点（2，－3），则k的值为 ▲ ．
x17．在平面直角坐标系中，已知A（－1，－1）、B（0，2）、
C（3，3）都在⊙M上，则圆心M的坐标为 ▲ ． 18．如图，△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝4，以边AB为
斜边在△ABC形外作Rt△ADB，使得∠ADB＝90°，连 接CD，则CD的最大值为 ▲ ．
B C （第18题）
D A
三、 解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、．．．．．．．证明过程或演算步骤）
19．（本题满分8分）计算：
1
（1）()－1＋12－tan60°； （2）(a＋3)2－(a＋2)(a－1)．
2
20．（本题满分8分）
53
（1）分解因式：x3－4x； （2）解方程：＝．
x－1x＋3
21．（本题满分8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AD、BC的中点，EF与
BD交于点G．求证：EF与BD互相平分．
A E D
G
B F C
22．（本题满分8分）小亮和小伟一起参加象棋比赛，他们所在的小组共有5名选手．抽签袋里
有2红2黑1白共5个小球，摸到同色的成为首轮对手，摸到白球的首轮轮空．现在小组其他3名选手首先依次各摸走一个小球，小亮看到第1个选手摸走的是红球，他对小伟说根据这3名选手的摸球结果我已经知道咱俩恰好首轮对阵的概率了．请你求这个概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
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23．（本题满分8分）某初中为了了解学生的视力情况，从三个年级随机抽取了部分学生进行调
查，并制作了下面的统计表和统计图．
各年级抽查学生视力各等第人数分布统计表 七年级 八年级 九年级 优秀 a 11 8 良好 20 17 b 合格 22 13 11 不合格 23 19 25
各年级抽查学生人数分布扇形统计图
七年级 40% 八年级 九年级 30% （1）在统计表中，a＝ ▲ ，b＝ ▲ ；
（2）在扇形统计图中，八年级所对应的扇形圆心角为 ▲ °；
（3）若该校三个年级共有1800名学生，试估计该校学生视力等第不合格的人数．
24．（本题满分8分）如图，在⊙O中，AB为直径，点C、D都在⊙O上，且BD平分∠ABC，
过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BC＝3，CE＝1，求⊙O的直径．
25．（本题满分8分）
点B、C都在⊙O上．
（2）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m．
①如图2，当m＝4时，请在图中用直尺（不含刻度）和圆规作等边三角形AEF，使得点E在边BC上，点F在边CD上；
②若在该矩形中总能作出符合①中要求的等边三角形AEF，请直接写出m的取值范围．
A D E C O B
（1）如图1，点A在⊙O上，请在图中用直尺（不含刻度）和圆规作等边三角形ABC，使得
A D
A O B （图1）
（图2）
C
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26．（本题满分8分）小明去超市采购防疫物品，超市提供下表所示A、B两种套餐，小明决定
购买50份A套餐．超市为了促进消费，给出两种优惠方式，方式一：现金支付总额每满700元立减200元；方式二：现金支付总额每满600元送300元现金券，现金券可等同现金使用，但是使用现金券的总额不能超过应付总金额．
套餐类别 A B 一次性防护口罩 2包 1包 免洗洗手液 1瓶 套餐价格 71元 67元 2瓶 （1）求一次性防护口罩和免洗洗手液各自的单价； （2）小明觉得优惠方式二比方式一的优惠力度更大，他计划分两次购买，第一次付现金购买一部分A套餐，获得的现金券在购买剩下的部分的时候全部用掉．请你通过计算说明小明这样做能否比优惠方式一付款更省钱？
27．（本题满分10分）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋4的图像与坐标轴分别交于A、B、C三点，
其中A（－3，0），点B在x轴正半轴上，连接AC、BC．点D从点A出发，沿AC向点C移动；同时点E从点O出发，沿x轴向点B移动，它们移动的速度都是每秒1个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接DE，设移动时间为t s． （1）若t＝3时，△ADE与△ABC相似，求这个二次函数的表达式；
（2）若△ADE可以为直角三角形，求a的取值范围．
y
C
D
A E O B x
28．（本题满分10分）已知△ABC中，∠BAC＝90°，把中线AD绕点D旋转至如图所示的位置，此时DA′∥AB，作A′E⊥BC，连接AA′、BA′．
3
（1）若sinC＝，求△A′DE和四边形A′DAB的面积之比；
4（2）判断∠BA′E和∠DA′A的数量关系并说明理由．
E D C
A B A′
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2020年九年级模拟考试
数学参考答案及评分标准 2020.5
—、选择题（每小题3分，共30分）
1．A 2．B 3．D 4．A 5．B 6．C 7．C 8．D 9．B 10．A 二、填空题（每小题2分，共16分）
11．5 12．3.04×104 13．a2b（答案不唯一） 14．10
51
15．13 16．－5 17．（，－） 18．10＋4
22三、解答题（共84分）
19．解：（1）原式＝2＋23－3……（3分） （2）原式＝a2＋6a＋9－(a2＋a－2)……（2分） ＝2＋3．…………（4分） ＝a2＋6a＋9－a2－a＋2 ……（3分） ＝5a＋11．……………………（4分） 20．解：（1）原式＝x(x2－4) …………（2分） （2）去分母得：5(x＋3)＝3(x－1)……（2分）
＝x(x＋2)(x－2)．…（4分） 解得：x＝－9．………（3分）
经检验，x＝－9是原方程的根．…（4分）
21．证法一：连BE、DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．………（2分） 11
∵E、F分别是AD、BC的中点，∴DE＝AD，BF＝BC，∴DE＝BF．………………（4分）
22
∴四边形BFDE是平行四边形，……………………………………………………………（6分） ∴EF与BD互相平分．………………………………………………………………………（8分） 证法二：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．………………………（2分） ∴∠GDE＝∠GBF，∠GED＝∠GFB．……………………………………………………（4分）
11
∵E、F分别是AD、BC的中点，∴DE＝AD，BF＝BC，∴DE＝BF．………………（6分）
22
∴△GDE≌△GBF，…………………………………………………………………………（7分） ∴GE＝GF，GD＝GB，即EF与BD互相平分．…………………………………………（8分） 22．解：设红球为A1、A2，黑球为B1、B2，白球为C．
第1人： A1
第2人： A2 B1 B2 C
第3人： B1 B2 C A2 B2 C A2 B1 C A2 B1 B2 ……………（5分） 剩下两球的颜色：异 异 同 异 异 异 异 异 异 同 异 异………………（6分）
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中符合题意的结果共有2种， …………（7分）
21
∴P（小亮和小伟首轮对阵）＝＝．……………………………………………………（8分）
12623．解：（1）15，16．………（4分）；（2）108．………（6分）；（3）603．………（8分） 24．（1）证明：连OD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD．…………………………………（1分）
∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD．
∴∠ODB＝∠CBD．∴OD∥BC．……………………………………………………………（2分） ∵DE⊥BC，∴∠E＝90º，∴∠ODE＝90º，即OD⊥DE．…………………………………（3分） ∴DE是⊙O的切线．…………………………………………………………………………（4分）
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（2）解：连AD、CD，作DF⊥AB．
∵在⊙O中，∠ABD＝∠CBD，∴AD＝CD，又∵OD⊥DE，DF⊥AB，∴DE＝DF． ∴Rt△BDF≌Rt△BDE，Rt△ADF≌Rt△CDE．……………………………………………（6分） ∴BF＝BE＝3＋1，AF＝CE＝1，∴AB＝3＋2，即⊙O的直径为3＋2．……………（8分） 25．解：（1）如图1，作直径AP，以P为圆心，OA为半径作弧，交⊙O于点B、C，连AB、AC、
BC，则△ABC就是所要求作的．……………………………………………………………（3分） （2）①如图2，连AC，在AC上任取一点O，以OA为半径作⊙O，交AC于点P，以P为圆心，OA为半径作弧，交⊙O于点M、N，连AM、AN并延长，交BC、CD于点E、F，连EF，则△AEF就是所要求作的．…………………………………………………………………（6分）
8
② m的取值范围是23≤m≤3．………………………………………………………（8分）
3
C A D
N 注：作法不唯一．只要作法有理，
A O O B P M P F
痕迹清晰，标注准确，即可给分．
C B E （图2） （图1）
26．解：（1）设一次性防护口罩为x元/包，免洗洗手液为y元/瓶，
2x＋y＝71，
由题意得：………………………………………………………………………（2分）
x＋2y＝67．
解得：x＝25，y＝21．
答：一次性防护口罩为25元/包，免洗洗手液为21元/瓶．………………………………（4分） （2）设小明第一次购买了m份A套餐，则第二次购买(50－m)份A套餐， 71m1
由题意得：×300≤71(50－m)， 解得x≤33．…………………………………………（5分）
6003∴小明第一次最多可购买33份，付款2343元，得到900元现金券，在第二次购买时全部用掉，即小明这样做实际少付900元．………………………………………………………………（6分） 假如小明用优惠方式一付款，总价3550元，可减1000元，即小明实际少付1000元．（7分） ∵900＜1000，∴小明现在的付款方式不能更省钱．………………………………………（8分） 27．解：（1）把x＝0代入y＝ax2＋bx＋4，得y＝4，∴C（0，4）．………………………（1分）
∵A（－3，0），∴OA＝3，OC＝4，∴AC＝5．…………………………………………（2分） ∵t＝3，∴AD＝OE＝3，AE＝6．
ADAE36
当△ADE∽△ACB时，＝，即＝，∴AB＝10，∴B（7，0）．………………（3分）
ACAB5AB把x＝－3，y＝0；x＝7，y＝0分别代入y＝ax2＋bx＋4，
416416
解得：a＝－，b＝，∴y＝－x2＋x＋4．…………………………………………（4分）
21212121
ADAE365
当△ADE∽△ABC时，＝，即＝，∴AB＝（舍去）．
ABACAB52
416
综上，二次函数的表达式为y＝－x2＋x＋4．…………………………………………（5分）
2121
第2页（共3页）
（2）若△ADE可以为直角三角形，显然∠ADE＝90°．………………………………（6分） ADAEt3＋t9
∴△ADE∽△AOC，∴＝，即＝，解得：t＝．……………………………（7分）
AOAC3529
设B（x，0），则x≥，
2
bb3
设抛物线对称轴为直线x＝－，∵A（－3，0），∴－≥…… ①．……………（8分）
2a2a44
把x＝－3，y＝0代入y＝ax2＋bx＋4，得b＝3a＋……②，……………………………（9分）
38
把②代入①，∵a＜0，∴解得：－≤a＜0．……………………………………………（10分）
2728．解：（1）∵DA′∥AB，∴∠ABC＝∠BDA′．………………………………………………（1分）
∵∠BAC＝∠A′ED＝90°，∴△A′DE∽△CBA，∠DA′E＝∠C．………………………（2分） 33DE3
∵sinC＝，∴sin∠DA′E＝，即＝．…………………………………………………（3分）
44A′D4S△A′DE3DE3
∵DA′＝DA＝DB＝DC，∴＝，∴＝．…………………………………………（4分）
DB4S△A′DB4∵
S△A′DES△A′DE1DA′21
＝ ()＝，∴＝，………………………………………………………（5分）
BC4S△ABCS△ABD2
S△A′DE3
设S△A′DE＝3k，则S△A′DB＝4k，S△ABD＝6k，∴＝．……………………………（6分）
S四边形A′DAB10（2）∠BA′E＝∠DA′A．………………………………………………………………………（7分） 证法一：设∠BA′E＝α，则∠A′BE＝90－α，∵DA′＝DB，∴∠A′DB＝2α，…………（8分） ∵DA′∥AB，∴∠ABD＝2α，∴∠C＝90－2α，
∵DA＝DC，∴∠ADB＝2(90－2α)＝180－4α，∴∠ADA′＝180－2α，………………（9分） ∵DA＝DA′，∴∠DA′A＝[180－(180－2α)]÷2＝α，
∴∠BA′E＝∠DA′A．…………………………………………………………………………（10分） 证法二：∵DA＝DB＝DA′＝DC，∴以D为圆心，DA为半径作圆．
则点A、B、A′、C都在⊙D上．……………………………………………………………（8分） ⌒＝ AB⌒，∴∠BA′A＝∠C． ……………………………………………………………（9分）∵ AB ∵∠DA′E＝∠C，∴∠BA′A＝∠DA′E．∴∠BA′E＝∠DA′A．……………………………（10分）
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