高考物理《实验：探究单摆的摆长与周期的关系》专题复习名师导学案

考纲解读

1.知道把单摆的运动看做简谐运动的条件.2.会探究与单摆的周期有关的因素.3.会用单摆测定重力加速度．

基本实验要求

1．实验原理

当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2πlg，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝4π2lT2.因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求

出当地的重力加速度g的值．

2．实验器材

带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球，不易伸长的细线(约1米)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺．

3．实验步骤

(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆．

(2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处作上标记，如实验原理图所示．

(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r，计算出摆长l＝l′＋r.

(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平

稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t，计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T＝tN(N为全振动的次数)，反复测3

次，再算出周期T＝

T1＋T2＋T3

3

.

(5)根据单摆周期公式T＝2π lg计算当地的重力加2

速度g＝4πlT2.

(6)改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力

加速度值．

(7)将测得的重力加速度值与当地的重力加速度值相比

较，分析产生误差的可能原因．

规律方法总结

1．注意事项

(1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用

体积小、密度大的小球，摆角不超过5°.

(2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放．

(3)测周期的方法：①要从摆球过平衡位置时开始计时．因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大．

②要测多次全振动的时间来计算周期．如在摆球过平衡

位置时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次．

(4)本实验可以采用图象法来处理数据．即用纵轴表示摆长l，用横轴表示T2

，将实验所得数据在坐标平面上标出，应该得到一条倾斜直线，直线的斜率k＝g4π2.这是

在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要办法．

2．数据处理

处理数据有两种方法：(1)公式法：测出30次或50次全振动的时间t，利用T＝tN求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值T，然后代入4π2

公式g＝lT2求重力加速度．

(2)图象法：

由单摆周期公式不难推出：l＝

g24π

2

T，因此，分别测出

一系列摆长l对应的周期T，作l－T2

的图象，图象应是

一条通过原点的直线，求出图线的斜率k＝ΔlΔT2，即可利

用g＝4π2

k求得重力加速度值，如图1所示．

图1

3．误差分析

(1)系统误差的主要来源：悬点不固定，球、线不符合要

求，振动是圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等．

(2)偶然误差主要来自时间的测量上，因此，要从摆球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计振动次数．

考点一 实验操作与误差分析

例1 (2012·天津·9(2))某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素．

①他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如

图2所示．这样做的目的是________(填字母代号)．

图2

A．保证摆动过程中摆长不变

B．可使周期测量得更加准确

C．需要改变摆长时便于调节

D．保证摆球在同一竖直平面内摆动

②他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻

度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L＝0.999 0 m，再

用游标卡尺测量摆球直径，结果如图3所示，则该摆球的直径为________mm，单摆摆长为________m.

图3

③下列振动图象真实地描述了对摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中横坐标原点表示计时

开始，A、B、C均为30次全振动的图象，已知sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是____(填字母代号)．

变式题组

1．[实验操作](2013·安徽·21Ⅰ)根据单摆周期公式T＝2π

lg，可以通过实验测量当地的重力加速度．如图4甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆．

图4

(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为________mm.

(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有

________．

a．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一

些

b．摆球尽量选择质量大些、体积小些的

c．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度 d．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期T

e．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆

球，当摆球摆动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆

球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝Δt50

2．[误差分析]某实验小组在利用单摆测定当地重力加速

度的实验中：

图5

(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图5所示，则该摆球的直径为________cm.

(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是

________(填选项前的字母)．

A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时

B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为t100

C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大

D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小

考点二 实验数据的处理

例2 在探究单摆周期与摆长关系的实验中，

(1)关于安装仪器及测量时的一些实验操作，下列说法中

正确的是( )

A．用米尺测出摆线的长度，记为摆长l

B．先将摆球和摆线放在水平桌面上测量摆长l，再将单摆悬挂在铁架台上

C．使摆线偏离竖直方向某一角度α(接近5°)，然后由静止释放摆球

D．测出摆球两次通过最低点的时间间隔记为此单摆振动的周期

(2)实验测得的数据如下表所示：

(3)根据数据及图象可知单摆周期的平方与摆长的关系是________．

(4)根据图象，可求得当地的重力加速度为

________m/s2

.(π＝3.14，结果保留3位有效数字)

(2)通过描点、连线可得到单摆的T2

－l图象，近似为一条直线．

(3)通过作出的图象说明单摆周期的平方和摆长成正比．

(4)根据图象求出图线的斜率k，再根据单摆的周期公式

2可得g＝4π

k，进而求出重力加速度g.

变式题组

3．[数据处理]下表是用单摆测定重力加速度实验中获得的有关数据：

摆长l m 0.5 0.6 0.8 1.1 周期T2 s2 2.0 2.4 3.2 4.4 (1)利用上述数据，在图7的坐标系中描绘出l－T2

图象．

图7

(2)利用图象，取T2＝4.2 s2

时，l＝________ m，重力加速度g＝________ m/s2

.(结果保留三位有效数字)

4．[数据处理]某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的操作：

(1)用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径如图8甲所示，可读出摆球的直径为________ cm.把摆

球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，通过计算得到摆长L.

图8

(2)用秒表测量单摆的周期．当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n＝1，单摆每经过最低点记一次数，当数到n＝60时秒表的示数如图乙所示，该单摆的周期是T＝________ s(结果保留三位有效数字)．

(3)测量出多组周期T、摆长L的数值后，画出T2

－L图线如图丙，此图线斜率的物理意义是( ) A．g B.1g

2

C.4πgg D.4π

2

(4)在(3)中，描点时若误将摆线长当作摆长，那么画出的直线将不通过原点，由图线斜率得到的重力加速度与原来相比，其大小( )

A．偏大 B．偏小 C．不变 D．都有可能

(5)该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度，他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期T1，然后把摆线缩短适当的长度ΔL，再测出其振动周期T2.用该同学测出的物理量表示重力加速度g＝________.

5．[数据处理]有两个同学利用假期分别去参观北大和南

大的物理实验室，各自利用先进的DIS系统较准确地探

究了“单摆的周期T与摆长L的关系”，他们通过校园网交换了实验数据，并由计算机绘制了T2

－L图象，如图9甲所示 .去北大的同学们所测实结果对应的图线是________(选填“A”或“B”)．另外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了两种单摆的振动图象(如图

乙)，由图可知，两单摆摆长之比LAL＝________.

B

图9

考点三 实验拓展与创新

例3 (1)在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径的操作如图10甲、

乙所示．测量方法正确的是________(选填“甲”或“乙”)．

图10

(2)实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图11甲所示．光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图乙所

示，则该单摆的振动周期为________．若保持悬点到小

球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将________(填“变大”“不变”或“变小”)，图乙中的Δt将________(填“变大”“不变”或“变小”)．

图11

变式题组

6．[实验创新]为了研究滑块的运动，选用滑块、钩码、纸带、毫米刻度尺、带滑轮的木板以及由漏斗和细线构成的单摆等组成如图12甲所示装置，实验中，滑块在钩码作用下拖动纸带做匀加速直线运动，同时让单摆垂直于纸带运动方向做小摆幅摆动，漏斗可以漏出很细的有色液体，在纸带上留下的痕迹记录了漏斗在不同时刻的位置，如图乙所示．

图12

(1)漏斗和细线构成的单摆在该实验中所起的作用与下列哪个仪器相同？________(填写仪器序号)．

A．打点计时器 B．秒表 C．毫米刻度尺 D．电流表

(2)已知单摆周期T＝2 s，在图乙中AB＝24.10 cm，BC＝27.90 cm、CD＝31.90 cm、DE＝36.10 cm，则单摆在

经过D点时，滑块的瞬时速度为vD＝________ m/s，滑块的加速度为a＝________ m/s2

(结果保留两位小数)．

7. [实验创新]将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为

h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，

如图13所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验

的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2

为纵轴、L为横轴作出T2

－L函数关系图象，那么就可以

通过此图象得出小筒的深度h和当地的重力加速度g.

图13

(1)如果实验中所得到的T2

－L关系图象如图14所示，那么真正的图象应该是a、b、c中的________；

图14

(2)由图可知，小筒的深度h＝________ m，当地重力速

度g＝________ m/s2

；(计算结果保留三位有效数字)

(3)在实验中，每次测量时总是错误地把摆线加上球直径

当成了摆长，如果仍然采用题中图象方法处理数据，你

认为会对实验结果造成怎么样的影响？对h的影响是________，对g的影响是________．

A．无影响 B．比真实值小 C．比真实值大 D．不确定