抽屉原理案例分析

一、教学背景：人教版小学数学六年级第十二册六年级下册第68页 二、教材分析： 1.教材分析：

“数学广角”是人教版六年级下册第五单元的内容。在数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题，如任意367名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。这类问题依据的理论，我们称之为“抽屉原理”。本节课教材借助把4枝铅笔放进3个文具盒中的操作情境，介绍了一类较简单的“抽屉原理”，即把n+1个物体任意分放进n个空抽屉里（m>n，n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。关于这类问题，学生在现实生活中已积累了一定的感性经验。教学时可以充分利用学生的生活经验，放手让学生自主思考，先采用自己的方法进行“证明”，然后再进行交流，在交流中引导学生对“枚举法”、“反证法”、“假设法”等方法进行比较，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题，发展学生的抽象思维能力。让学生通过本内容的学习，帮助学生加深理解，学会利用“抽屉问题”解决简单的实际问题。在此过程中，让学生初步经历“数学证明”的过程。实际上，通过“说理”的方式来理解“抽屉原理”的过程就是一种数学证明的雏形，有助于提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较严密的数学证明做准备。还要注意培养学生的“模型”思想，这个过程是将具体问题“数学化”的过程，能从纷繁的现实素材中找出最本质的数学模型，是体现学生数学思维和能力的重要方面。

2.学情分析：

抽屉原理是学生从未接触过的新知识，难以理解抽屉原理的真正含义，在课前调查中，我发现有部分同学根本不理解“至少”的意思，还有相当多的学生在具体分的过程中，都在运用平均分的方法，也能就一个具体的问题得出结论。但是这些学生中大多数只“知其然，不知其所以然”，为什么平均分能保证“至少”的情况，他们并不理解。有时要找到实际问题与“抽屉原理”之间的联系并不容易，即使找到了，也很难确定用什么作为“抽屉”，要用几个“抽屉”。

三、教学目标：

1．经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

2．通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。 3．通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。

四、教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。

教学难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。 五、教具、学具准备：教师准备：一副扑克牌、课件。

学生准备：每组都有相应数量的杯子、铅笔、小组合作研究记录表。

六：教学过程： （一）、课前游戏，感知原理。

师：这有一副牌，除去大小王还有52张，老师请5名同学每人随意抽一张

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牌。老师虽然不知道你们抽的是什么牌，但是我敢肯定的说，至少有两位同学的手中的花色是相同的，你们信吗？给大家看一看。再来一次试试。

教师：如果让这些同学反复抽牌，不管怎样，总是至少有2张牌是同一花色的，你们相信吗？

【设计意图：课前游戏，活跃气氛，激发学生的学习兴趣，让学生初步感知抽屉原理中最重要的模型——在任意抽取的5张扑克牌中，至少有2张是同一花色的。】

（二）、激发兴趣，引入课题。

师：在课前的摸牌游戏中，老师为什么猜的那么准？老师不是瞎猜的，是有一定的依据的。因为这个游戏中蕴含着一个有趣的数学原理——抽屉原理，这节课，我们就一起研究这个原理。（板书课题）

师：抽屉原理是一种很神奇规律，它能够帮助我们解决很多生活中的问题，这种规律离不开（板书：至少）这个词语，谁能用自己的话解释一下这个词语是什么意思？

生：最少。

师：谁还能再说说？比如：老师让同学们交60元钱，你可以带多少钱可以怎样说？

生：至少60元，也可以带100元，70元，不能少于60元。

师： 至少就是不能少于、不少于的意思。在汉语词典里，至少就是表示最小的限度。

过渡：理解了至少这个关键词语后，下面我们就自己一起动手，亲自来探究这个神秘的原理。

【设计意图：通过让学生用举例子的方式理解“至少”，加深学生对“至少”含义的理解。为后面学生探究理解抽屉原理做好铺垫】

（三）、探究原理，建立模型。 活动一、枚举法找至少数。

1、师课件出示探究要求：把4枝笔放进3个纸杯中，你能找到几种方法？同桌合作，一人动手摆一摆，一人将摆放的结果记录在记录单上。

2、师举例说明：把4枝笔放进3个纸杯中，（2,1,1）和（1,2,1）是同一种方法。因为这两种方法都是一个杯子中有两支笔，而另外两个杯子中都是一枝笔。

3、学生动手操作、交流、师巡视、指导。

4、全班交流，学生说自己的放法，师板书在黑板中。

生：我找到了三种不同的方法，第一种是把第一个纸杯里面放了两枝笔，然后把第二个纸杯里放了一枝笔，第三个纸杯里也放一枝笔；第二种是把第一个纸杯里面放了三枝笔，然后把第二个纸杯里放了一枝笔，第三个纸杯里不放笔；第三种是把第一个纸杯里面放了四枝笔，然后把第二个纸杯里不放笔，第三个纸杯里也不放笔。

师：还有其他方法吗？

生：我们还有一种：是把第一个纸杯里面放了两枝笔，然后把第二个纸杯里放了两枝笔，第三个纸杯里不放笔。

师：还有其他方法吗？ 生：没有了。

师：看来把四枝笔放进三个纸杯里，就有这四种不同的办法，同学们真不简单。现在请同学们认真观察这四种方法。每种方法中放的最多的纸杯里有几枝

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笔？

生：4、3、2、2.

师:这几个数我们可以说至少是几？ 生：至少是2.

师：那每种放法里都有我们可以说成“不管怎么放，总有”，连起来说就是：“不管怎么放，总有一个杯子里至少放进两支笔。”大家理解者说一遍。

生：“不管怎么放，总有一个杯子里至少放进两支笔。”

5、师总结：我们刚才研究4枝笔放进3个纸杯，不管怎么放，总有一个纸杯至少放进2枝笔。用的方法是通过动手摆放，把所有的情况都一一列举出来了，这种方法叫做枚举法。它的优点就是非常直观。让我们很容就能看出至少数是多少。那现在大家再看看，我们是从哪些数中找出的最少数呢？

生：从放的最多的这个抽屉。 师：从放的最多的杯子中找出至少数。因此，我们可以把这种方法概括为“多中找少”。

【设计意图：通过学生操作学具摆放，很直观地找出4枝笔放进3个纸杯里的各种摆放方法，然后引导学生学会“多中找少”的枚举法。】

过渡：同学们学会这种枚举法找至少数吗？（会）下面我们试一试

枚举法尝试：把5本书放进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉中至少有几本书。

1、课件出示探究要求：同桌合作尝试用枚举法找出把5本书放进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉中至少有（ ）本书。

师：如果你们组能直接写成这种形式就直接写，如果想象不出来，就用圆圈代替抽屉，用竖线代替书画一下，如果也画不出来，就实际操作摆一摆。

2、学生动手操作，交流，师巡视指导。 3、汇报交流：

生：把5本书放进2个抽屉，我们一共有3种方法。第一种第一个抽屉里放5本书，第二个抽屉里不放，第二种方法第一个抽屉里放4本书，第二个抽屉里放1本书，第三种方法第一个抽屉里放3本书，第二个抽屉里放2本书。

师：板书（5,0）（4，1）（3,2）那你们发现，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进几本书？

生：第一种放法中最多放5本，第二种放法中最多放4本，第三种放法中最多放3本，根据枚举法多中找少的方法至少放3本。

师：梳理算理：先找到每种放法中放的最多的那个抽屉，在最多的抽屉里找到最少的本数。

4、师：过渡：看来大家真是学会了这种“多中找少”的枚举法。那老师想让大家用枚举法找一下：100枝笔放进99个纸杯，不管怎么放，总有一个纸杯至少放进几枝笔？

生：数太大了。

教师引导过渡：是的，数太大了，随着数据的增大，摆放的方法越来越多，我们就很难在用枚举法把所有情况都一一列举出来。怎么办？再想其他办法呗。你们有办法吗？

生：100枝笔放进99个纸杯，每个纸杯放一枝，剩下一枝再放进一个杯子里，总有一个纸杯放进2枝笔。

师：那我们学校现在有（问：邓校长，我们现在大约多少人？邓校长：1235

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人。谢谢）1235人，那你知道至少有几人在同一天出生吗？

生;不知道。

师：那我们现在接着研究方法。既然枚举法已经帮助我们两次了，那我们就从这两个例子中去寻找办法。

【设计意图：学生通过活动找出5本书放进2个抽屉里的至少数，练习枚举法多中找少的办法。然后通过100枝笔放进99个杯子不容易枚举而引出假设法。】

活动二：假设法找至少数。

师：现在我们再回头看，请大家看：这是把4枝笔放进3个纸杯里的所有办法，哪一种方法最能说明不管怎么放，总有一个纸杯里至少放两枝笔？

生找师圈出来（2,1,1,1）。

师：观察这种摆法与其他摆法有什么不同？

生：这种方法里没有空着的纸杯，其他方法中都有空着的纸杯。

师：那么也就是说，要想让杯子里的笔枝数最少，也就是至少数最小，必须每个杯子里都得放上笔，是吗？

生：是。

教师评价：你们真善于观察。好，请同学们看大屏幕，把4枝笔放进3个纸杯里，先假设每个杯子里都先放上笔，那每个杯子里最多只能放几枝笔？（1枝）追问：为什么不是2枝？，共放进（ ）枝笔，剩下（ ）枝笔不论放进哪个杯子里，总有一个杯子里至少放进（ ）枝笔。

生自己理解着说一遍。

师：小结：大家看这种方法，我们是假设每个纸杯里先放上笔，再把剩下的笔放进任意纸杯，就找到了总有一个纸杯至少放进2枝笔。我们给这种方法起个名字叫假设法。

师：那再看把5本书放进2个抽屉的情况，你能用假设法说一说吗？同桌试着说一说。

生：把5本书放进2个抽屉里，先假设每个抽屉里都放上2本书， 师追问：为什么要放2本，而不是1本？

生：因为放进1本，还剩三本，不管放进哪个抽屉，都会有4本书放进同一个抽屉，不是最少的。所以每个抽屉都先放进2本书。

师：接着说。

生：这样就共放进4本书，剩下1本书，不论放进哪个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进3本书。

师：大家请看这种方法（4,1），这种方法每个抽屉里也都放上书了，可为什么不是至少数呢？

生思考，不知道。

师引导：你们看这种方法是每个抽屉里先放上几本书？ 生：1本。

师一边课件演示，一边引导：要想每个抽屉放上最少本书，除了每个抽屉都要放上书以外，还要每个抽屉先尽可能多的放上书。

师：大家再看看能不能用假设法解决（课件出示）100枝笔放进99个纸杯，不管怎么放，总有一个纸杯至少放进几枝笔？

生：先假设每个杯子放进1枝笔，共放进99枝笔，还剩下1枝笔，不管放进哪个杯子，总有一个杯子至少放进2枝笔。

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师：下面我们用假设法解决一些往抽屉里放书求至少数问题。出示表格：最后一格你想把几本书放进几个抽屉里，你自己填数。 书数 抽屉数 每个抽屉最多放几本 余几本 总有一个抽屉至少数 7 8 11 2 3 4 【设计意图：通过教师引导带领学生理解假设法找至少数的真正本质：每个抽屉都要放，并且要尽量多放——平均分。】

活动三：交流表格，探究规律

师：哪位同学愿意把自己的研究结果和大家交流一下。

生1：把7本书放进2个抽屉里，每个抽屉最多放3本，余1本，总有一个抽屉最少放进4本书。

师：有不同意见吗？ 生：没有。 师：接着。

生2：把:8本书放进3个抽屉里，每个抽屉最多放2本，余2本，总有一个抽屉最少放进4本书。

师：有不同意见吗？

生：把:8本书放进3个抽屉里，每个抽屉最多放2本，余2本，总有一个抽屉最少放进3本书。

师：你们两个有不同意见了，互相说一说吧。

生：剩下的2本书放进不同的抽屉，总有一个抽屉就放进3本书了。

师课件演示，请大家看大屏，把:8本书放进3个抽屉里，每个抽屉最多放2本，余下的2本还有两种放法，第一种都放进一个抽屉，第二种分别放进两个不同的抽屉，这样就总有一个抽屉最少放进3本书。

师总结：要想求出至少数，余下的书还要分这放（板书） 师：你还坚持自己的观点吗？ 生：不了。 师：继续汇报。

生3：把11本书放进4个抽屉里，每个抽屉最多放2本，余3本，总有一个抽屉最少放进3本书。

师：余下的书要怎样放？ 生：分着放。

师：你想把几本书放进几个抽屉里？

生4：把12本书放进5个抽屉里，每个抽屉最多放2本，余2本，总有一个抽屉最少放进3本书。

„„

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师：请大家观察表格，每个抽屉最多放几本书你是怎样计算出来的？ 生：书的本数除以抽屉数。 师：你们是这样计算的吗？ 生：是。

师：那至少数呢？

生：每个抽屉放的本数加上余数。 师：是加上余数吗？ 生：加上1.

师：每个抽屉放的本数实际上就是书的本数除以抽屉数所得的商。 师：抽屉里除了可以放书以外，还可以放什么？ 生：本、笔等。 师：这些东西我们可以管它叫做待分物体。板书：待分物体÷抽屉数=商„„余数。至少数=商+1

【设计意图：通过本环节，孩子有了一定的思考问题的方法，此环节意在给孩子创造较大的探索空间，让孩子做学习的主人，尝试自主发现问题、解决问题的过程，进而总结规律。使学生初步建立“物体”“抽屉”的模型，发现简单的抽屉原理。】

（四）、揭示原理，运用规律。

师：刚才我们发现的这个规律就是抽屉原理。大家用自己的双手和智慧发现了这么神奇的数学原理，还不把掌声送给自己。

师：抽屉原理最早就由19世纪德国数学家狄利克雷提出来的，所以这个原理命名为狄利克雷原理。刚才我们是通过抽屉和纸杯来研究的，其实在很多国家它是用鸽子和鸽笼来研究的，请同学们来看，7只鸽子飞进5个鸽笼。至少有几只鸽子飞进同一个鸽笼？你来说。

生：至少有两只鸽子飞进同一个鸽笼。 师：怎么想的？

生：因为有5只笼子，先把5只鸽子放进每个笼子里面，还剩下两只鸽子，然后在把两个鸽子分着放在不同的笼子里面。它们最多是2，所以说有2只鸽子要飞进同一个鸽笼。

师：好，那算式怎么来解释？好，你说。 生：用7÷5=1余2，然后在1+1=2 师：同意吗？ 生：同意。

师：同学们，我们最开始是用纸杯和笔研究出来的，还可以说成什么原理？ 生：纸杯原理。

师：很多是吧，可见抽屉原理在生活中真是随处可见，它不仅仅局限于把书放进抽屉里，只要可以用抽屉原理解决的问题我们通称为是抽屉原理问题，由此可见，抽屉原理其实就是解决该类问题的一种方法，或者是叫做一种模型，那在运用这个模型的时候，我们关键是找出什么书，也就是是待分的物体，什么是抽屉，然后运用这个规律就可以解决问题了。

师：我们再来看，那我们学校现在有1235人，那你知道至少有几人在同一天出生吗？

生：1235÷366=3„„余数：3+1=4人。 师：抽屉原理在生活中有着广泛的应用。“抽屉原理”在数论、集合论、组

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合论中都得到了广泛的应用。将来大家在初中、高中还要继续学习，这节课上到这，下课。 【“抽屉问题”的变式很多，应用更具灵活性。本环节的设计重在让学生在运用新知灵活巧妙地解决实际问题的过程中进一步深刻认识抽屉原理的模型，体验数学的价值，感受数学的魅力，提高数学学习的兴趣。】

教学反思：

数学课程标准指出，数学课堂教学是师生互动与发展的过程，学生是数学学习的主人，教师是课堂的组织者，引导者和合作者。本节课的教学注重为学生提供自主探索的空间，引导学生在观察、操作、推理和交流等数学活动中初步建立“抽屉原理”的模型，学会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

1、通过动手操作、观察比较，帮助学生建立模型思想。本节课教师充分放手，让学生自主探索，利用手中的学具动手操作，观察比较：“把4枝铅笔放入3个杯子中，不管怎么放，总有一个杯子里至少放进2枝铅笔”，然后交流展示，针对学生的不同方法教师给予针对性的鼓励和指导，让学生在自主探索中获得成功与自信，同时更好地理解了抽屉原理。

2．经历“数学化”的过程。 “创设情境——建立模型——解释应用”是新课程倡导的课堂教学模式，本节课运用这一模式，设计了丰富多彩的数学活动，让学生经历“抽屉原理”的探究过程，从探究具体问题到类推得出一般结论，初步建立“抽屉原理”的数学模型，再到实际生活中加以应用，找到实际问题和“抽屉原理”之间的联系，灵活地解决实际问题。让学生经历“数学化”的过程，学会思考数学问题的方法，培养学生的数学思维能力。

3、活动中恰当引导学生学习各种方法，注重方法比较、引导提升，建立“抽屉原理”模型

（1）操作活动——学习枚举法，让学生把4枝笔放入3个杯子中的所有情况都列举出来，运用直观的方式，发现并描述、理解最简单的“抽屉原理”即“铅笔数比笔筒数多1时，总有一个笔筒里至少有2枝笔”。然后练习用“枚举法”找5本书放进2个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉放进几本书的至少数。 （2）观察比较——学习假设法。当数据较大，枚举法很难解决的时候引出假设法。让学生通过观察、比较各种方法的不同，从而总结出要想让杯子中放的笔枝数最少，每个杯子必须都得放上笔，而且还要做到尽可能地多放。初步理解假设法的本质。

（3）利用假设法解决问题，填写表格，从而探索出抽屉原理的一般规律。 学习完假设法后，让学生利用假设法解决往抽屉里放书的问题，让学生通过小组合作学习，探索规律，明确把书尽量多的分到各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，剩下的书一定要分开放，不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉比假设分到的本数多1本，从而总结出“抽屉问题”的“一般化模型”，即“把m个待分物体放到n个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉至少放(商+1)个物体。（m÷n=商„„余数）。至少数=商+1的规律”。

此外，教学中也存在着不足，主要是教师处理生成性问题不恰当，当卢铁腕同学已经用假设法说出把100枝笔放进99个杯子中，总有一个杯子中至少放进2枝笔时，我应该顺势引导:说一说你的具体想法，然后从他说的具体想法中向假设法引导过渡。但是，课堂上我怕一时引导不到我的预设上来，就难为了一下学生，出了一个数据较大的问题——1235名学生中至少有几人在同一天过生日。

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然后过渡到我的课前设计上，继续按照我的思路讲，由此看出，教师的课堂应变能力有待提高。

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