2020届山西省临汾市高三下学期模拟考试(3)数学(理)

2020届山西省临汾市高三下学期模拟考试（3）

数学（理）

测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知函数f(x)x22x，集合A{x|f(x)≤0},B{x|f'(x)≤0}，则AIB （ ） A．[1,0] B．[1,2] C．[0,1] D．(,1]U[2,)

|z|22．设i是虚数单位，若复数z1i，则z2 （ ）

zA．1i B．1i C．1i D．1i

3．命题“x(0,1),exlnx”的否定是 （ ） A．x(0,1),ex≤lnx B．x0(0,1),ex0lnx0

xxC．x0(0,1),e0lnx0 D．x0(0,1),e0≤lnx0

4．已知|a|3,|b|2，若a(ab)，则向量a+b在向量b方向的投影为 （ ）

7711A． B．C． D．222 2

5．在△ABC中，“sinAsinB”是“tanAtanB”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为 （ ）

111122A． B．6 C． D．

1223

7．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积为

A．2493 C．48183

B．4893 D．144183

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8．函数ycos2x3sin2x(x[0,A．[0,2])的单调递增区间是 （ ）

C．[,] D．[,]

636232x4y4≤09．在平面直角坐标系中，若不等式组2xy10≤0所表示的平面区域内存在点(x0,y0)，使不等式

5x2y2≥0x0my01≤0成立，则实数m的取值范围为（ ）

] B．[0,

]

51A．(,] B．(,] C．[4,) D．(,4]

2210．已知函数fxex1x2的零点为m，若存在实数n使x2axa30且mn≤1，则实数a的取

值范围是 （ ） A．[2,4]

B．[2,]

73C．[,3]

73D．[2,3]

x2y211．已知双曲线E:221(a＞0,b＞0)满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线y24x的焦点F重

ab合；②双曲线E与过点P(4,2)的幂函数f(x)x的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是 （ ） 31513 B． C． D．51 2221x12．已知函数f(x)xe，若对于任意的x00,e，函数g(x)lnxx2axf(x0)1在0,e内都有两

A．个不同的零点，则实数a的取值范围为 （ ）

2222A．(1,e] B．(e,e] C．(e,e] D．(1,e]

eeee第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．） 13．(12x)(1x)6的展开式中x2的系数为 ．

14．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程px2q中，p为“隅”，q为“实”．即122a2c2b22若△ABC的大斜、中斜、小斜分别为a,b,c，则Sac422.已知点D是△ABC边AB上一点，AC3,BC2,ACD45,tanBCD815，则△ABC的面积为 ． 715．过直线ykx7上一动点M(x,y)向圆C:x2y22y0引两条切线MA,MB，切点为A,B，若

k[1,4]，则四边形MACB的最小面积S[3,7]的概率为 ．

16．三棱锥SABC中，点P是Rt△ABC斜边AB上一点．给出下列四个命题： ①若SA平面ABC，则三棱锥SABC的四个面都是直角三角形； ②若AC4,BC4,SC4，SC平面ABC，则三棱锥SABC的外接球体积为323； ③若AC3,BC4,SC3，S在平面ABC上的射影是△ABC内心，则三棱锥SABC的体积为2； ④若AC3,BC4,SA3，SA平面ABC，则直线PS与平面SBC所成的最大角为60． 其中正确命题的序号是 ．(把你认为正确命题的序号都填上) 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足a4a618，S11121．

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（1）求数列an的通项公式；

（2）设bn(an3)2n，数列bn的前n项和为Tn，求Tn．

18．（12分）某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了50名男生和50名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数(本)，并根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直方图．

如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数(本)不低于90本，则称该学生为“书虫”． （1）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过5%的前提下，你是否认为“书虫”与性别有关？ 男生 女生 总计 书虫 非书虫 总计 n(adbc)2附：K

(ab)(cd)(ac)(bd)2P(k2≥k) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 k 1.323 2.072 2.706 3.814 5.024 （2）从所抽取的50名女生中随机抽取两名，记“书虫”的人数为X，求X的分布列和数学期望．

19．（12分）如图，己知边长为2的正三角形ABE所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且DAB60，点F是BC的中点． （1）求证：BDEF；

（2）求二面角EDFB的余弦值．

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x2y2320．（12分）已知F1,F2为椭圆E:221(ab0)的左、右焦点，点P(1,)在椭圆上，且过点F2的直

ab2线l交椭圆于A,B两点，△AF1B的周长为8． （1）求椭圆E的方程；

（2）我们知道抛物线有性质：“过抛物线y22px(p0)的焦点为F的弦AB满足

2|AF||BF||AF||BF|.”那么对于椭圆E，问否存在实数，使得|AF2||BF2||AF2||BF2|成

p立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由．

21．（12分）已知函数f(x)ex21.

（1）求函数f(2x)在x1处的切线方程；

（2）若不等式f(xy)f(xy)≥mx对任意的x[0,)，y[0,)都成立，求实数m的取值范围.

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请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程 1x3t在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点，x轴正半轴为极轴建2y1t立极坐标系，圆C的极坐标方程为2cos().

4（1）写出直线l的普通方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程； （2）设直线l与圆C相交于A,B两点，求AB．

 23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数f(x)|x2|.

（1）求不等式f(2x)f(x4)2的解集；

（2）当a0时，不等式f(ax)af(x)≥a1恒成立，求实数a的取值范围.

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理科数学答案

1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】B 10．【答案】D 11．【答案】B 12．【答案】D 13．【答案】3 14．【答案】15．【答案】315 4157 316．【答案】①②③ 17．【解析】

（1）设数列an的公差为d，Qa4a62a518，a59， S1111(a1a11)11a6121，a611， 2da6a51192，ana5(n5)d92(n5)2n1.（6分） （2）由（1）可知bn(an3)2n(2n13)2n(n1)2n1， 数列bn的前n项和为Tn222323424L(n1)2n1，

2Tn223324425Ln2n1(n1)2n2， 两式作差，得Tn2222324L2n1(n1)2n2 88(12n1)(n1)2n282n28(n1)2n2n2n2，

12Tnn2n2.（12分）

18．【解析】

（1）由频率分布直方图可得，男生书虫、非书虫的人数分别为12,38，女生书虫、非书虫的人数分别为4,46，故得如下2×2列联表：

男生 女生 总计 书虫 12 4 16 非书虫 38 46 84 总计 50 50 100 根据列联表中数据可得：

100(1246438)22K4.762，（4分）

16845050由于4.762＞3.841，

所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“书虫”与性别有关．（6分）

（2）由频率分布直方图可得女生“书虫”的人数为4，X的所有可能取值为0，1，2，

1C2207C1184C26C4则P(X0)2,P(X1)2,P(X2)24，（9分）

C50245C501225C501225

6页

故X的分布列为

0 1 207184 P 2451225207184619.（12分） 12X的数学期望为E(X)02451225122512252519．【解析】

（1）证明：取AB的中点O，连结EO,OF,AC，由题意知EOAB．

X 2 6 1225又因为平面ABCD平面ABE，所以EO平面ABCD．（2分） 因为BD平面ABCD，所以EOBD,

因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC，

又因为OF//AC，所以BDOF，所以BD平面EOF.（4分） 又EF平面EOF，所以BDEF．（6分） （2）连结DO，由题意知EOAB，DOAB.

又因为平面ABCD平面ABE，所以DO平面ABE， 以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

33， 3,0,0,D0,0,3,F0,2,2,B0,1,0uuur3r3uuuDF0,,,DE3,0,3.（8分） 22uuur33DFn0z0y1设平面DEF的一个法向量为n1(x,y,z)，则uuu，即2， r23x3z0DEn10则O0,0,0,E令x1，所以n1(1,3,1).（10分） 3又由（1）可知EO平面ABCD，所以平面DFB的一个法向量为n2(1,0,0)， 设二面角EDFB的平面角为，则cos20．【解析】

（1）根据椭圆的定义，可得|AF1||AF2|2a，|BF1||BF2|2a， △AF1B的周长为|AF1||BF1||AB||AF1||BF1||AF2||BF2|4a， x2y24a8，得a2，椭圆E的方程为1，

4b2n1n221.（12分） n1n273x2y221.（5分） 将P(1,)代入椭圆E的方程可得b3，所以椭圆E的方程为432（2）由（1）可知c2a2b2431，得F2(1,0)，

依题意可知直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为xmy1， x2y21由4消去x，整理得(3m24)y26my90， 3xmy1设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1y2

6m9，y1y22， 23m43m47页

不妨设y1＞0,y2＜0，|AF2|(x11)2y12(my111)2y12m21|y1|m21y1， 同理|BF2|m21|y2|m21y2，（9分） 所以

1111111() |AF2||BF2|m21y1m21y2m21y1y211m12y2y12m1y1y2..(y2y1)4y1y2y1y221m21(.6m29)43m243m244即|AF||BF|4|AF||BF|，

22229333m24所以存在实数

4， 3

使得|AF2||BF2||AF2||BF2|成立.（12分） 21．【解析】

（1）设t(x)f(2x)e2x21，则t'(x)2e2x2， 当x1时，t(1)e2212，t'(1)2e222，

函数f(2x)在x1处的切线方程为y22(x1)，即2xy0.（4分）

（2）根据题意可得exy2exy22≥mx对任意的x[0,)，y[0,)都成立， 当x0时，不等式即为ey2ey22≥0，显然成立；（5分）

当x0时，设g(x)exy2exy22，则不等式exy2exy22≥mx恒成立， 即为不等式g(x)≥mx恒成立，

Qg(x)exy2exy22ex2(eyey)2≥ex22eyey22ex22(当且仅当y0时取等号)，由题意可得

2ex22ex22≥m对x(0,)恒成立， 2≥mx，即有

xx2xe2ex22令h(x)，则h'(x)2x(ex21)(x1)ex212，

x2x2令h'(x)0，即有(x1)ex21，令m(x)(x1)ex2，则m'(x)ex2(x1)ex2xex2， 当x0时，m'(x)xex20，m(x)在(0,)上单调递增，

又Qm(2)(21)e221，(x1)ex21有且仅有一个根x2，（9分）

当x(2,)时，h'(x)0，h(x)单调递增，当x(0,2)时，h'(x)0，h(x)单调递减， 当x2时，h(x)取得最小值，为h(2)实数m的取值范围(,2].（12分）

2e2222，m≤2． 222．【解析】

1x3t（1）将直线l的参数方程（t为参数）消去参数t， 2y1t可得直线l的普通方程为y111(x)，即2x23y2310．

23由2cos()，得cossin，所以2cossin,

4111得x2y2xy，即(x)2(y)2．（5分）

222131xmx3t22(m为参数）（2）由得， 21y1my1t2111将其代入(x)2(y)2，

222 8页

1111得m2m0,m1m2,m1m2，

2424115ABm1m2(m1m2)2(m1m2)24m1m2()24()．（10分）

24223．【解析】

x4,x1（1）)函数f(2x)f(x4)|2x2||x2|=3x,1≤x2，

x4,x≥2当x1时，不等式即x42，求得x6，x6； 当1≤x2时，不等式即3x2，求得x22，x2； 33当x≥2时，不等式即x42，求得x2，x≥2． 综上所述，不等式的解集为{x|x（2）当a0时,

2或x6}．（5分） 3f(ax)af(x)|ax2|a|x2||ax2||ax2a|≥|(ax2)(ax2a)||2a2| Q不等式f(ax)af(x)≥a1恒成立，|2a2|≥a1，

2a2≥a1或2a2≤1a，解得a≥3或0a≤， 1实数a的取值范围为(0,]U[3,).（10分）

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