数据拟合

，将其描在坐标平

面上，如图3—3．由于测试有误差，所 以数据点没能落在一条直线上．显然， 再用插值法求运动方程，会得出不符 合实际的结果，必须寻求新的方法． 根据Ots平面上测试点的分布情 况可以画出很多条靠近这些点的直线，其方程都可以表示为

其中a，b为待定参数．我们要从形如(7．1)的所有直线中，找出一条用某 种度量标准来衡量为最靠近所有数据点 令常用

用

的直线．

表示测试数据（ti,si）的重度，．称为权系数，通

作为衡量S(t)与数据点

(7．1)式中的待定参数比较方便． 我们将上述问题推广至一般情形．设数据，数类

中，求一函数

满足

偏离大小的度量标准，对于确定

为给定的一组

为各点的权系数(通常要求诸ωi>0)，要求在函

(7·2)

（7.3）

其中为Φ中任意函数．

称按条件(7．3)求函数S*(x)的方法为数据拟合的最二乘法，简称最 小二乘法．并称S*(x)为最小二乘解，S(x)为拟合函数． 7-2法方程组 设

求最小二乘法解S*(x)的关键是求待定参数

将在某点

件

．由(7．3)式知，

处取得极小值，由函数极值取得的必要条

得

即

令

并定义内积：

于是将方程组(7．4)写作

称为函数系式，即

在离散点Xo，X1，„，Xm上的法方程组，表为形

因

行列式称为由基函数的解

是函数类Φ的基，故线性无关．法方程组(7．8)的系数

组成的Graln行列式，应不为零，故法方程组(7．8)存在且唯一．

以下证明

则

由内积性质有

满足条件(7．3)，记

其中

又

所以

由（7，7）有 又

也就是

，于是

.类似有

，从而

这就证明了 称

就是最小二乘解。

为最小二乘解S*(x)的平方误差，

为均方差。平方误差内积表示形式：

由前述有

，从而

利用（7.9）式计算平方误差可以直接利用求解法方程组过程中的信息，而无 需计算S*(x)．

例1求拟合下列数据的最小二乘解．

解 (1)在坐标平面上描出点

如图3—4

(2)根据散点的分布情况，选用线性函数 作拟合函数，故取

(3)建立法方程组，这里，z=1，聊=6，q三1． 利用公式(7．5)和(7．6)计算

法方程组

用直角三角分析法解得 从而

为所求最小二乘解，平方误差

例1 求拟合下列数据的最小二乘解.

解在坐标平面上描出数据表中的点

(图略)，根据

散点的连线判断，所求函数可用Y=COSX，Y=lnx和y：ex的线性组合表示， 因此选拟合函数类为

其中a，b，c为待定参数．基底为

利用公式(7．5)、(7．6)计算，建立法方程组如下：

用高斯列主元素消去法解得 于是

为最小二乘解. 平方误差

如果拟合函数是待定参量的线性函数，就称其为线性最小二乘拟合·本 节例1和例2都属于线性最小二乘拟合．最常见的线性最小二乘拟合中的函 数类选为多项式类，即

做拟合函数基低 从而

这时法方程组（7.8）的矩阵表示为

实际计算与理论分析表明，当n较大时，方程组(7．10)的解对初始数据的

微小变化非常敏感，属于“病态”问题． 7-3利用正交多项式作最小二乘拟合

在用多项式作拟合函数时， 为避开求解法方程组(7．10)，考虑选择正 交多项式做基底． 定义7.1 设给定点集

满足

以及各点的权系数

如果多项式族

则称 为关于点集 的带权 正交的多项式族 定义7.2 设最(x)是最高次项系数不为零的次多项式，如果多项式 式族

满足

则称

在[a，b]上带权正交，并称

是[a，b]上带权p(x)(定义

见[1]第三章3．1)的k次正交多项式． 正交多项式具有如下重要性质：

1。正交多项式族是线性无关的函数族．

2。在[a，b]上的n次正交多项式只(x)，在(a，b)内有刀个不同的单 实零点．

3。 最高次项系数为1(首1)的正交多项式族关系：

有下面的递推

其中

当取关于点集

带权

正交的多项式族

作

为拟合多项式的基底时，法方程组(7．7)便化简为

求解 得

则多项式

为拟合给定的数据点gn(x)的平方误差为

的最小二乘解．由（7.9）式及（7.16）式知，

或

利用正交多项式作最小二乘拟合时，可以将构造正交多项式族

与解法方程组求ak以及形成拟合多项式gn（x）穿插进行，见下面的例题． 例3 给定数据点(xi，yi)及力如下：

解 为确定拟合多项式的次数，首先描点，如图3—5．根据数据点的 分布情况，我们用二次多项式拟合这组数据．函数类的基底取正交多项式

，所以拟合函数为

以下计算小数点后一律取6位有效数字． 取 则

从而拟合多项式为

利用(7．1 9)式求得平方误差为 有时需要用指数函数类．

或幂函数类

等非多项式函

数拟合给定的一组数据，这时拟合函数是关于待定参数的非线性函数．按最 小二乘准则(7．3)，用极值原理建立的法方程组将是关于待定参数的非线性 方程组，称这类数据拟合问题为非线性最小二乘问题．其中某些简单的情形 可以转化为线性最小二乘问题求解．

例4给定一组实验数据如下：

求最小二乘拟合函数． 解据图3—6，可取幂函数

作拟合函数，其中a，b为待定参数. 令 求

使

（R+是正实数集合）. 由极值必要条件方程

这是关于a，b的非线性方程组

我们也可以将问题转化为线性问题求解，对y=axb两边取对数有

令 上式化为

由（x1，y1）可得到相应的（z1，w1），有如下数据表：

完全类似于例1的处理方法，可得知如下法方程：

解得

从而

为所求

比较拟合值、实验值并计算出各点的误差如下表：

最后需要指出的是，拟合一组数据可以采用不同的函数，然后按误差大小或问题的实际北京决定是否使用计算的结果或改变拟合函数。