第２７卷 第１期 ２０１３年２月 吉林省经济管理干部学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＪｉｌｉｎ Ｐｒｏｖｉｎｃｅ Ｅｃｏｎｏｍｉｃ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ Ｃａｄｒｅ Ｃｏｌｌｅｇｅ 泐ｔ，０９ Ｖｏ１．２７ Ｎｏ．１ Ｆｅｂｒｕａｒｙ ２０１３ 矩阵 逆的列初等变换法 口王增辉 ，王红芳 ，陆静 ，万保成 （１．吉林农业大学发展学院，吉林长春，１３０６００；２．吉林农业大学信息技术学院，吉林长春，１３０１１８） 【摘 要】目前的教科书上只介绍行的初等变换法求逆矩阵的方法，致使学生误认为只有行的初等变 换方法才能求矩阵 的逆矩阵。由矩阵的初等变换理论给出了一种求矩阵逆的列初等变换法，此种列变 换法的计算量与行初等变换法相同，为求解矩阵提供了一种新的选择。 【关键词】逆矩阵；行变换；列变换 【中图分类号】０１５１．２１ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】１００９—０６５７（２０１３）０１—００５２—０２ 在求玎阶矩阵 的逆时，目前的教科书只介绍 绍行的初等变换法求逆矩阵的方法，致使学生误 认为只有行的初等变换方法才能求矩阵 的逆矩 阵。本文应用矩阵的初等变换理论给出了列初等 变换求矩阵逆的方法。下面介绍这种方法。 引理 两种方法。第一种方法是求矩阵Ａ的行列式ｌ ｌ， 再求矩 的伴随矩 木，则矩 的逆矩阵为 １ ＝去 水 Ｉ Ｉ Ｉ ｌ 这种方法我们称它为伴随矩阵法。用这种方法求 矩阵 的逆，不但要计算矩阵 的行列式Ｉ Ｉ，还要 计算矩阵 的伴随矩阵 木。而 为 阶矩阵时，它的 每一个元素均为 一ｌ阶矩阵的行列式，因此当矩 阵 超过三阶时，用伴随矩阵法求矩阵 的逆时， 其计算量很大。因此三阶及其以下矩阵适合用伴 门阶矩 可逆的充分必要条件 可以表示为 有限个初等矩阵的乘积。 证明 先证充分性。设存在着，个初等矩阵 ，随矩阵法，而四阶及其以上矩阵通常采用初等变 换法来求矩阵 的逆。这种求矩阵 的逆的方法在 Ｉ１较大时其计算量远比伴随矩阵法小得多，是一种 Ｐ …．， ，使 ＝ ， ，．．．， ，，因为初等矩 阵可逆，因此， ＩＰｉＩ≠０ ＝ｌ，２，…，，）． 于是有 ｌＡｌ＝ｌｐ．Ｐ：Ｌ Ｐｌｌ￣Ｉｐｌ ｌＬｐ ＩＬ ｌＰｌｌ≠０，故Ａ可逆。 再证必要性。设，７阶方 可逆，由定理１知，对于 常用的求逆矩阵的方法。但目前的教科书上只介 【收稿日期】２０１２—１０－２８ 【作者简介】王增辉（１９５６一），男，吉林省长春市人，吉林农业大学发展学院教授。研究方向：应用数理统计和生物数学。 ・５２・ 矩 可经过有限次初等变换化为标准形。即有初 等矩阵Ｒｌ，…，Ｒ 及Ｃ 一，Ｃ 存在，使 例求矩阵 ｆ １—１ ｏ１ ２ Ｊ 的逆矩阵。 Ｒ … … 解我们分别用行的初等变换和列的初等变换来求 因为 可逆，所以Ｆ可逆。则有ｒ＝ｎ，即Ｆ＝Ｅ．于 矩 的逆矩 ～。 方法１行初等变换法 ＝ ｒｌ — 可表示为Ａ＝Ｒ …Ｒ ＥＣ；‘…Ｃ ‘． 令ＰＩ：Ｒ ，…， ＝Ｒ： ， ＝ｃ：‘，…， ＝ｃ （，＝ ＋，）， 则 ＝丑－÷ｌ ０ ｌ０ 有Ａ＝Ｐｌ Ｐ２… ． 定理 －ｊ 【 为 阶可逆矩阵，Ｅ为ｎ阶单位阵，令矩阵 ＝于是得 ＝初等变换。当将 变为单位矩阵时， 中的单位矩 Ｏ Ｏ （ ， ２ｎ行，ｚ列矩阵，对矩阵 施以列的 方法２列初等变换法 的逆矩阵。 证明 Ｏ ｌ Ｏ ●ｆ 引 Ｉ Ｉｌ 阵蹴变为矩 ．． ２● ４ 为即阶可逆矩阵，由上面的引理知，存在 ● ４ ｌ ０ ０ ０ ｌ Ｏ ｌ 、１●●●●●●●●●／初等矩阵 ， ，…， ＝ －一 … ｌ ４ ， （１） ｌ Ｏ Ｏ Ｏ ｌ Ｏ 骂 （１一 Ｏ Ｏ ＿４～＿３ ｌ ｌ ４ 一Ｊ 因为 ， ，…， 均为初等矩阵，所以 ， ，…， 均 ５ ６ 可逆。因此在（１）式两端依次右乘矩阵 一Ｏ●３ ｌ １ Ｏ ， ： ，…， ～，得 ＪＦ：。 ： … ～Ｗ－－Ｅ。（２） ０ ｏ ０ Ｏ ｌ ０ ●● ， ２ ６ ４ 一 由（２）式知Ａ～＝ 由于 ～， ，…， ：：－・・ 一，即有 、● 于是得 ：【 －３ １ １ Ｊ ６ ４ —１ 、ｌ●●●●Ｊ●●／Ａ～＝ＥＰ，一 ：１．．・ 。。 。 （３） 从本例还可以看出：行的初等变换需６次初等 变换将矩阵变为单位矩阵，而列的初等变换只需 ５次初等变换就可将矩阵化为单位矩阵。这是因为 矩阵中第一行第三列元素为零，因此少做一次列 的初等变换。 ［责任编辑：马莉】 也是初等矩阵，因此由 （２）式，矩阵 可经过一系列的列初等变换化为 单位矩阵Ｅ，由（３）式知相同一系列列初等变换 可将单位矩阵 七为矩 的逆矩阵。证毕。 【参考文献】 ［１］同济大学应用数学系．工程数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３ ［２］王增辉．线性代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１２． ［３］胡显佑．线性代数［Ｍ］．北京：中国商业出版社，２００６． ・５３・