2024北京昌平区初二(下)期末数学及答案

数 学

本试卷共8页，三道大题，28个小题，满分100分．考试时间120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡．

一、选择题（共16分，每题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）

1. 在《2023北京市数字经济标杆企业评价报告》中，昌平区共有7家重点企业成功获评北京市数字经济标杆企业． 以下是四家标杆企业的商标，其中商标图形是中心对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

2. 点P(−2,3)所在的象限是（ ） A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

3. 若x=1是方程x2+mx+1=0的一个解，则m的值为（ ） A. 2

B. −2

C. 0

D. 4

4. 下列判断错误的是（ ）

A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的菱形是正方形

C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形

5. 若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则直线y=bx+k的图象大致是（ ）

A. B. C. D.

6. 某社区为改善环境，决定加大绿化投入． 四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入49万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同．设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（ ）

A. 25(1+x)+25(1+2x)=49 C. 25(1+x)2=49

B. 25(1−x)2=49

D. 25+25(1+x)+25(1+x)2=49

7. 北京市昌平区2024年4月每日最高气温统计图如下：

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根据统计图提供的信息，则下列说法正确的是（ ） A. 若将每日最高气温由高到低排序，4月4日排在第30位 B. 4月份最高气温出现在4月19日 C. 4月24日到4月25日气温上升幅度最大

D. 若记4月上旬（1日至10日）的最高气温的方差为s1，中旬（11日至20日）的最高气温的方差为

222s2，则s1s2

2，，0)B(0，，3)C(−1，，0)D(0，−3)，恒过定点(2,0)的直8. 如图1，在平面直角坐标系xOy中的四个点A(1线y=k(x−2)，与四边形ABCD交于点M，N（点M和N可以重合）． 根据学习函数的经验，线段

MN的长度l可以看做k的函数，绘制函数l的图象如图2．下列说法正确的是（ ）

A. l是k的一次函数

C. 当k0时，函数l随k的增大而增大

B. 函数l有最大值为3

D. 函数l的图象与横轴的一个交点是3,0 2二、填空题（共16分，每题2分）

9. 函数y=1中自变量x的取值范围是__． x−310. 已知点A(x1,y1)和B(x2,y2)是一次函数y=kx+2 (k0)图象上的两点，且x1x2，则y1_______

y2．（填“”或“”）

11. 任意一个五边形的内角和为__________．

12. 用配方法解方程x2−8x+2=0时，可将方程变为(x−m)2=n的形式，则m的值为______． 13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=1x+2与直线l2：y=kx交于点P，则方程组2第2页/共25页

1y=x+2的解是______． 2y=kx

14. 如图，在ABC中，ACB=90，点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，若EF=5，则CD的长为______．

15. 如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=6，点E在AD上，DE=2．若EC平分BED，则BC的长为______．

16. 如图1所示，75的正方形网格中，阴影部分已被覆盖． 现需用图2中的四块矩形放置到图1中，实现剩余空白部分的完全覆盖，如图3．

张顺同学在实践之后发现了三条结论： （1）覆盖的方案有多种；

（2）在各种方案中，有一个矩形的位置是固定的，这个矩形是______________（填写序号）； （3）有一个矩形在每种方案中的位置都不一样，这个矩形是_____________（填写序号）． 请完善以上结论．

三、解答题（本题共12道小题，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第

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27~28题，每小题7分，共68分）

17. 解方程：x2+2x−1=0．

18. 已知一次函数的图象经过A(0,−1)，B(−2,−2)两点．

（1）画出该一次函数的图象，并求这个一次函数的表达式； （2）若y轴上存在点P，使得ABP的面积是3，求点P的坐标．

19. 如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别在CB,AD的延长线上，且BE=DF，连接AE,CF．求证：AE=CF．

20. 已知关于x的一元二次方程x−(m+3)x+2+m=0．

2（1）求证：对于任意实数m，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的一根大于2，求m的取值范围．

21. 学校组织趣味运动会，某游戏项目需用长为40m的绳子圈定96m2的矩形区域，求这个矩形的长和宽．

22. 数学课上，发现结论“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”后，张明同学又提出一个新的问题：过三角形一边中点，且平行于另一边的直线，是否会过第三边的中点呢？ 为研究此问题，同学们进行了作图，并将问题进行如下转述．

已知：在ABC中，点D是AB中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E． 求证：AE=CE．

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以下是两位同学给出的辅助线做法，请你选择其中一种做法，补全图形，完成证明． 张明同学： 作辅助线：延长ED到点F，使得李宏同学： 作辅助线：过点E作EF∥DB，交DF=DE，连接BF． BC于点F． 23. 为增强学生的消防安全意识，某校举行了一次全校学生参加的消防安全知识竞赛．从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行分析，按成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（D：

60x70；C：70x80；B：80x90；A：90x100），并根据分析结果绘制频数分布直方图

和扇形统计图．

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：n=________，m=________； （2）请补全频数分布直方图；

（3）若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的1000名学生中达到“优秀”等级的学生人数．

24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形网格的每个小正方形边长都是1个单位长度，小正方形的顶点叫做格点，点A，B都是格点．请按下列要求在66的网格中完成画图，并回答问题．

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（1）在图1中，点P是线段AB中点，请作出点C关于点P的对称点D； （2）以点A，B为顶点的矩形中，存在顶点在函数y=2x的图象上： ①请在图2中作出一个符合要求的矩形；

②所有满足要求的矩形对角线长分别为________．

25. 如图，在平行四边形ABCD中，DE平分ADC交AB延长线于点E，过点E作EF∥BC，交DC的延长线于点F．

（1）求证：四边形AEFD是菱形；

（2）若AD=4,BAD=120，求菱形AEFD的面积．

26. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点A(m,0)． （1）当该函数图象过点(3,5)时，求这个一次函数表达式； （2）当m−2时，求k的取值范围；

（3）当x3时，对于x的每一个值，一次函数y=kx+2的值大于y=2x−1的值，直接写出m的取值范围．

27. 如图，在正方形ABCD中，点E和F分别在AB和BC上，且关于BD对称，连接AF，EF，过点F作FG⊥AF，点G在

AF的右侧，且FG=AF，连接AG交BD于H，连接CG．

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（1）请依题意补全图形，求证：EF=CG； （2）猜想AH，GH的数量关系并证明．

28. 在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，给出如下定义：若射线OQ与图形W的一个交点为M，射线PQ与图形W的一个交点为N，且满足四边形OPMN为平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的“平心点”．如图1中，点Q是点P关于图中线段ST的“平心点”． 已知点：

A(2,2),B(6,2),C(2,0)．

（1）点D(1,1),E(2,3)，F−,1中，是点C关于直线AB“平心点”的有________； （2）若点C关于线段AB的“平心点”J的横坐标为a时，求a的取值范围；

（3）已知点G(6,5),H(2,5),K(0,−2)，点P是线段CK上的动点（点P不与端点C，K重合），若直线l：y=kx上存在点P关于矩形ABGH的“平心点”，请直接写出k的取值范围．

32第7页/共25页

参考答案

一、选择题（共16分，每题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）

1. 【答案】A

【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．

【详解】解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 【答案】B

+)，+)，−)，−)分别对应为第一、二、三、四象限，进【分析】本题考查了点的坐标，根据(+，(−，(−，(+，行判断，即可作答．

【详解】解：∵−20，30， ∴点P(−2,3)所在的象限是第二象限， 故选：B． 3. 【答案】B

【分析】本题考查一元二次方程的解，将方程的解x=1代入方程中求解即可．理解方程的解满足方程是解答的关键．

【详解】解：把x=1代入x2+mx+1=0 可得出：1+m+1=0， 解得：m=−2， 故选：B． 4. 【答案】C

【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定，根据菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定定理逐项判断即可．

【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不符合题意； B、有一个角是直角的菱形是正方形，正确，不符合题意；

C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形，可能是等腰梯形，说法错误符合题意； D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，不符合题意； 故选：C． 5.【答案】A

【分析】根据直线y=kx+b经过一、二、四象限，可得k0，b0，即可求解．

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【详解】解：∵直线y=kx+b经过一、二、四象限， ∴k0，b0，

∴直线y=bx+k的图象经过一、三、四象限， ∴选项A中图象符合题意． 故选：A．

【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k0，b0y=kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．由直线经过的象限结合四个选项中的图象，即可得出结论． 6. 【答案】C

【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意，四月份绿化投入25万元，设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，则五月份的绿化投入为25(1+x)万元，六月份的绿化投入为25(1+x)万元，据此即可获得答案． 【详解】解：设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x， 根据题意，可得25(1+x)2=49． 故选：C． 7. 【答案】D

【分析】本题考查的是折线统计图和方差．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

根据折线统计图提供的数据及方差意义作答即可．

【详解】解：A、由图可知，4月4日的最高气温在4月不是最低的．故本结论错误，不符合题意； B、4月份最高气温出现在4月18日，故本结论错误，不符合题意； C、由图可知，所以4月5日到4月6日气温上升幅度约为温上升幅度约为

228−20100%=40%，4月24日到4月25日气2028−22100%27.28%，所以4月24日到4月25日气温上升幅度不是最大．故本结论错22误，不符合题意；

D、由图可知，4月上旬(1日至10日）的最高气温在11C至28C徘徊，中旬(11日至20日）的最高气温在19C至28C徘徊，所以上旬气温波动最大，中旬气温波动最小，所以s1s2．故本结论正确，符合题意； 故选：D． 8. 【答案】D

【分析】本题考查了函数图像读取信息，一次函数的图像与性质，一次函数与坐标轴的交点，根据函数图

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像可以之间判断函数的增减性，是不是一次函数，最大值是否存在，然后再结合图1，判断函数的最值为直线y=0时，当l=0时，即MN=0时，函数与x轴有两个交点，可以求出即可作出判断． 【详解】解：A、由图2可知，l不是k的一次函数，不符合题意； B、由图2可知，当k=0时，l有最大值， 当k=0时，即直线y=0，

MN=AC=2

 l有最大值为2，故本选项错误，不符合题意；

C、由图2可知，当k0时，函数l随k的增大而减小，故本选项错误，不符合题意； D、当l=0时，即MN=0时，

y=k(x−2)过(0,−3)，(2,0)两点或过(0,3)，(2,0)两点，

当(0,−3)，(2,0)过两点时，k=−题意， 故选：D．

33，函数l的图象与横轴的一个交点是,0，正确，故选项D符合22二、填空题（共16分，每题2分）

9. 【答案】x≠3

【详解】根据题意得x﹣3≠0， 解得x≠3． 故答案为x≠3． 10. 【答案】

【分析】本题主要考查了根据一次函数的增减性判断函数值的大小，根据k0可得出y随x的增大而增大，又x1x2，可得出y1y2． 【详解】解：∵y=kx+2 (k0) ∴y随x的增大而增大， ∵x1x2， ∴y1y2， 故答案为：． 11. 【答案】540

【分析】本题考查了多边形的内角和，根据多边形的内角和公式(n−2)180（n3，且n为整数），计算即可得出答案．

【详解】解：任意一个五边形的内角和为(5−2)180=540， 故答案为：540． 12. 【答案】4

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【分析】本题考查了配方法，把常数项移到右边，再两边加上16即可变形成完全平方的形式，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：x2−8x+2=0

x2−8x=−2

x2−8x+16=−2+16

2(x−4)=14，

故m=4， 故答案为：4． 13. 【答案】x=2 y=33)，即可得出【分析】本题考查了两直线交点坐标为二元一次方程组的解，由图可知两直线的交点P(2，方程组的解．

【详解】解：直线l1：y=1x+2与直线l2：y=kx交于点P， 2P(2，3)，

1x=2y=x+2方程组的解为：， 2y=3y=kx故答案为：x=2． y=31AB，214. 【答案】5

【分析】由题意知，EF是ABC的中位线，CD是Rt△ABC斜边的中线，则EF=CD=1AB，计算求解即可． 2【详解】解：由题意知，EF是ABC的中位线，CD是Rt△ABC斜边的中线， ∴EF=11AB，CD=AB=EF=5，

22故答案为：5．

【点睛】本题考查了中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 15. 【答案】10

【分析】本题考查了矩形性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，根据矩形性质得到AD∥BC，AD=BC，根据两直线平行内错角相等结合角平分线定义得出BEC=BCE，从而得

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到BE=BC，设BE=BC=x，AEx2，则在Rt△BAE中，利用勾股定理即可求出结果．

【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴DEC=BCE， ∵EC平分BED， ∴DEC=BEC， ∴BEC=BCE， ∴BE=BC， 设BE=BC=x，

DE=2，

AE=AD−DE=x−2，

在Rt△BAE中，BE2=AB2+AE2，即x2=62+(x−2)， 解得：x=10，

2BC=10．

故答案为：10．

16. 【答案】 ①. ① ②. ④

【分析】本题主要考查了组合排列问题，正确理解题意是解题关键．． 【详解】解：根据题意，可有以下几种方案：

方案1 方案2 方案3

所以，（1）覆盖的方案有多种；

（2）在各种方案中，有一个矩形的位置是固定的，这个矩形是①； （3）有一个矩形在每种方案中的位置都不一样，这个矩形是④． 故答案为：（2）①；（3）④．

三、解答题（本题共12道小题，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分，共68分）

17. 【答案】x1=−1−2，x2=−1+2

【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：x2+2x−1=0，

=22−41(−1)=80，

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x=−222−41(−1)21=−222=−12， 2x1=−1−2，x2=−1+2．

18. 【答案】（1）图像见解析，y=（2）P(0,2)或(0,−4)

【分析】本题考查了一次函数的几何综合，求解一次函数解析式，画函数图象，准确求出函数解析式是解题关键．

（1）在图中描出A，B点，连接AB即可得出函数图象，用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）设P(0,m)，根据ABP的面积是3，得到S【小问1详解】

解：如图，在图中描出A，B点，连接AB即可得出函数图象，

ABP1x−1 2=1m+12=3，求出m的值即可得出结果． 2

设一次函数解析式为：y=kx+b，

1k=b=−1，解得：2， −2=−2k+bb=−1一次函数解析式为：y=【小问2详解】 设P(0,m)，

1x−1； 2SABP=1m+12=3， 2m+1=3，

m=2或m=−4，

P(0,2)或(0,−4)．

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19. 【答案】见解析

【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．先证明四边形AECF是平行四边形，从而得到AE=CF，从而即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC，

∵点E，F分别在BC，AD边上，BE=DF， ∴AD+DF=BC+BE，即AF=CE， 又∵AD∥BC，

∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE=CF．

20. 【答案】（1）见解析； （2）m0．

【分析】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键： （1）根据一元二次方程判别式为(m+1)0，即可解答；

（2）解方程，求得x1=m+2，x2=1，根据题意得到m+22，解不等式即可． 【小问1详解】

证明：∵关于x的一元二次方程x−(m+3)x+2+m=0，

22∴=(m+3)−41(2+m)=(m+1)0， ∴对于任意实数m，该方程总有实数根； 【小问2详解】

解：设方程的两个实数根为x1，x2，

22x=m+3(m+1)，

2∴x1=m+2，x2=1，

∵这个一元二次方程的一根大于2， ∴m+22， 解得：m0， ∴m的取值范围m0．

21. 【答案】矩形的长为12m，矩形的宽为8m．

【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设矩形的长为xm，则矩形的宽为：(20−x)m，依题意可得方程∶x(20−x)=96，解一元二次方程即可求解． 【详解】解：设矩形的长为xm，则矩形的宽为：(20−x)m，

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依题意可得方程∶x(20−x)=96 整理得：−x2+20x−96=0， 解得：x1=12，x2=8， ∴当x=12时，20−x=8m， 当x=8时，20−x=12m，

故矩形的长为12m，矩形的宽为8m． 22. 【答案】见详解

【分析】本题主要考查了平时四边形的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，平行线的性质．张明同学：延长ED到点F，使得DF=DE，连接BF．先证明BDF≌ADE(SAS)，利用全等三角形的性质可得出BF=AE，FBD=EAD，进一步证明四边形FBCE是平时四边形，由平行四边形的性质可得出BF=CE，等量代换可得出AE=EC．

李宏同学：过点E作EF∥DB，交BC于点F．先证明四边形DBFE是平行四边形，由平行四边形的性质可得出EF=DB，进一步证明EF=AD，再证明ADE≌EFC(ASA)，由全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】张明同学：

证明：延长ED到点F，使得DF=DE，连接BF．

∵点D是AB中点， ∴DA=DB， 在BDF和

ADE中

DF=DEBDF=ADE， DA=DB∴BDF≌ADE(SAS)， ∴BF=AE，FBD=EAD， ∴BF∥EC， 又∵FE∥BC，

∴四边形FBCE是平时四边形， ∴BF=CE， ∴AE=EC． 李宏同学：

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证明：过点E作EF∥DB，交BC于点F．

∵DE∥BC，

∴四边形DBFE是平行四边形， ∴EF=DB， ∵点D是AB中点， ∴DA=DB， ∴EF=AD， ∵EF∥AB，

∴A=FEC，B=EFC， ∵DE∥BC， ∴ADE=B， ∴ADE=EFC， ∴ADE≌EFC(ASA)， ∴AE=EC．

23. 【答案】（1）200，36 （2）见解析 （3）160人

【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本评估总体，能从频数分布直方图及扇形统计图中获取相关信息是解题的关键．

（1）利用A等的百分比及频数可求得n，利用C等的频数除以总人数再乘100%即可求解； （2）利用先求出D等学生人数，再根据D等学生人数进行补全频数分布直方图即可； （3）利用样本评估总体的方法即可求解． 【小问1详解】

解：n=3216%=200，

72100%=36%， 200m=36

故答案为：200，36； 【小问2详解】

D等的学生人数为：200−72−80−32=16（人）， 补全条形图如下：

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【小问3详解】

， 100016%=160（人）

答：估计该校参加竞赛的1000名学生中达到“优秀”等级的学生人数为160人． 24. 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②5或25 【分析】题目主要考查利用网格作图及矩形的性质，网格与勾股定理，理解题意，利用网格作图是解题关键．

（1）根据矩形的性质及网格即可作图；

（2）①先作出直线y=2x，然后利用矩形的性质即可作图；②根据①中图及网格，求出矩形的对角线长即可． 【小问1详解】

解：如图所示：点D即为所求；

【小问2详解】

①如图所示：矩形ABCD或矩形ACBD即为所求；

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②由①得矩形ABCD对角线的长度为AC=5，矩形ACBD对角线的长度AB=∴满足要求的矩形对角线长分别为5或25， 故答案为：5或25．

25. 【答案】（1）见解析 （2）83 22+42=25，

【分析】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、解直角三角形，三角函数等知识．解题的关键是解直角三角形．

（1）首先证明四边形AEFD是平行四边形，再证EF=DF，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）过A作AG⊥DC，利用含30度角的直角三角形性质及及勾股定理和菱形的面积公式解答即可． 【小问1详解】

证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∵EF∥BC， ∴EF∥AD

∴四边形AEFD是平行四边形， ∵EF∥AD， ∴DEF=ADE， ∵DE平分ADC， ∴ADE=FDE， ∴DEF=EDF， ∴EF=DF，

∴平行四边形AEFD是菱形； 【小问2详解】

如图，过A作AG⊥DC，

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∴AGD=90，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∵AD=4，BAD=120， ∴ADC=60， ∴DAG=30， ∴DG=∴AG=1AD=2， 2AD2−GD2=23，

∵四边形AEFD是菱形， ∴DF=AD=4，

∴S菱形ADFE=DFAG=423=83． ∴四边形AEFD的面积为83． 26. 【答案】（1）y=x+2 （2）0k1 （3）−2m−1

【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的综合问题，求一次函数关系式，对于（1），将坐标代入关系式可得答案；

对于（2），将点A的坐标代入关系式，可得关于m，k的关系式，进而得出不等式，求出解集即可； 对于（3），将x=3代入y=2x−1，求出交点坐标，进而求出m的值，即可得出答案． 【小问1详解】

将点(3,5)代入y=kx+2，得3k+2=5， 解得k=1．

所以一次函数关系式为y=x+2； 【小问2详解】

将点A(m,0)代入y=kx+2，得mk+2=0， 即m=−2． k∵m−2，

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∴−2−2， k当k0时，k1． 即0k1；

当k0时，k1（舍）. 所以k的取值范围为0k1； 【小问3详解】

−2m−1．

当x=3时，y=23−1=5． 将(3,5)代入y=kx+2，得k=1，

∴当1k2时，一次函数y=kx+2的值大于y=2x−1的值， 解得−2m−1．

27. 【答案】（1）图形见解析，证明见解析 （2）AH=GH，理由见解析

【分析】（1）根据题中要求画出图像，通过垂直平分线性质，正方形性质证明AEF≌FCG即可得出结论；

（2）过点G作GK垂直于BC的延长线于点K ，过点F作FI⊥AD于点I，交BD于点N，连接EG，证明四边形BENF为正方形，四边形NFKG为矩形，四边形BENF为正方形，得到AD=NG，再利用两直线平行内错角相等，对顶角相等即可得出AHD≌GHN从而得到AH=GH． 【小问1详解】 解：补全图形如下：

E，F分别在AB和BC上，且关于BD对称，

BD垂直平分EF，

ABCD为正方形，

BE=BF，

AE=FC，

AFG=90，

CFG+AFB=90，

ABC=90，

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EAF+AFB=90， CFG=EAF，

在△AEF与△FCG中，

AF=FGEAF=CFG， AE=FCAEF≌FCG(SAS)，

EF=CG；

【小问2详解】

解：如图，过点G作GK垂直于BC的延长线于点K ，过点F作FI⊥AD于点I，交BD于点N，连接

EG，

则四边形ABFI为矩形，

BFI=90，BF=AI

BD垂直平分EF，

四边形BENF为正方形， 四边形NFKG为矩形，

FCG=AEF，EF=CG，

BEF=KCG， EBF=CKG=90

EB=BF=CK=KG

四边形MCKG为正方形，

MG=CK=GK=BE=BF=AI， ID=MN，

AI+ID=MG+MN，即AD=NG， AD∥EG，

HGN=DAH，

AHD=GHN，

AHD≌GHN， AH=GH．

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【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，准确作出辅助线构造矩形，正方形是解题关键． 28. 【答案】（1）D、F； （2）2a3 （3）

1k1 2【分析】题目主要考查新定义，平行四边形的判定和性质，一次函数的性质，坐标与图形，理解题意，结合图象求解是解题关键．

（1）根据题意描出相应的点，然后利用一次函数确定函数解析式，确定交点，再由平行四边形的判定和性质即可求解；

（2）根据题意结合图象，得出点J的运动轨迹为点JJ1，即可求解；

（3）“平心点”为平行四边形对角线的交点，如图所示，将各点描出，然后连线，得四边形ABGH为矩形，根据题意，平移OP，使得平移后的线段落在矩形ABGH上，O点平移后的对应点为N，P点平移后的对应点为点M，平移线段OP，平移后的线段可能落在矩形左下角或右上角，然后分情况结合图象求解即可． 【小问1详解】

解：根据题意作图如下：

A(2,2),B(6,2),C(2,0)，O(0,0)，D(1,1)，

直线AB所在直线为y=2， 设直线OD所在直线为y=mx， 将点D(1,1)代入得：m=1， ∴y=x，

交直线y=2于点(2,2)，

设直线CD所在直线为y=nx+d，

0=2n+dn=−1，解得， 1=n+dd=2第22页/共25页

∴直线CD所在直线为y=−x+2， 交直线y=2于点(4,2)，

∴两个交点之间的距离为4−2=2， ∵AB所在直线平行于x轴， ∴四边形为平行四边形，符合题意； 同理点E不符合题意；点F符合题意； 故答案为：D、F； 【小问2详解】

根据题意结合图象，连接AC，则中点J连接OB，则中点J1∴2a3；

2+20+2,即J(2,1)， 220+60+2,即J1(3,1)， 22【小问3详解】

根据题意得：“平心点”为平行四边形对角线的交点， 如图所示，将各点描出，然后连线，得四边形ABGH为矩形，

根据题意，平移OP，使得平移后的线段落在矩形ABGH上，O点平移后的对应点为N，P点平移后的对应点为点M，

平移线段OP，平移后的线段可能落在矩形左下角或右上角， 当落在左下角时，如图所示：

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点P接近点K时，点M接近点A，点P接近点C时，由（2）得点M接近AB中点(2,4)，

OM所在直线即为直线l：y=kx，

将点A(2,2)代入得：k=1， 将点(2,4) 代入得：k=∴

1， 21k1； 2当落在右上角时，如图所示：

点P接近点K时，点M接近点G(6,5)，

点P接近点C时，G(6,5),K(0,−2)，点M接近点(6,3)，

OM所在直线即为直线l：y=kx，

将点G(6,5)代入得：k=将点(6,3) 代入得：k=∴

5， 61， 215k； 26第24页/共25页

综上可得：

1k1． 2第25页/共25页