抛物线焦点弦性质总结30条 A'A(X1,Y1)C'C(X3,Y3)aOFB'B(X2,Y2) 基础回顾 1. 以AB为直径的圆与准线L相切; p22. x1x24; 3. y1y2p2;
4. AC'B90; 5. A'FB'90;
6. ABxp1x2p2(x32)2psin2; 7.
112AFBFP; 8. A、O、B'三点共线; 9. B、O、A'三点共线;
SAOBP210.2sin;
11. S2AOBAB(P2)3(定值); 12. AFP1cos;BFP1cos;
13. BC'垂直平分B'F;
14. AC'垂直平分A'F;
15. C'FAB; 16. AB2P;
17. CC'12AB12(AA'BB');
1
P; y3y19. tan=2p;
x2-218. KAB=20. A'B'4AFBF; 21. C'F21A'B'. 222. 切线方程 y0ymx0x
性质深究
一)焦点弦与切线
1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,两切线交点位置有
何特殊之处?
结论1:交点在准线上
先猜后证:当弦ABx轴时,则点P的坐标为p,0在准线上. 2证明: 从略
结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴
结论3 弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴.
2、上述命题的逆命题是否成立?
结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点
先猜后证:过准线与x轴的交点作抛物线的切线,则过两切点AB的弦必过焦点. 结论5过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径.
3、AB是抛物线y2px(p>0)焦点弦,Q是AB的中点,l是抛物线的准线,AA1l,
2BB1l,过A,B的切线相交于P,PQ与抛物线交于点M.则有
结论6PA⊥PB. 结论7PF⊥AB. 结论8 M平分PQ.
结论9 PA平分∠A1AB,PB平分∠B1BA. 结论10FAFBPF 结论11SPAB
2
min2p2
二)非焦点弦与切线
思考:当弦AB不过焦点,切线交于P点时, 也有与上述结论类似结果: 结论12 ①xpy1y2yy2,yp1 2p2结论13 PA平分∠A1AB,同理PB平分∠B1BA.
结论14 PFAPFB 结论15 点M平分PQ 结论16 FAFBPF
相关考题
1、已知抛物线x4y的焦点为F,A,B是抛物线上的两动点,且AFFB(>0),过A,B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M, (1)证明:FMAB的值;
(2)设ABM的面积为S,写出Sf的表达式,并求S的最小值.
2、已知抛物线C的方程为x4y,焦点为F,准线为l,直线m交抛物线于两点A,B; (1)过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D,求证:AFDF;
(2)若直线m过焦点F,分别过点A,B的两条切线相交于点M,求证:AM⊥BM,且点M在直线l上.
3、对每个正整数n,Anxn,yn是抛物线x4y上的点,过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点
2222Bnsn,tn, (1)试证:xnsn4(n≥1)
n(2)取xn2,并Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点,求证:
FC1FC2FCn2n2n11(n≥1)
3
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