通渭县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

通渭县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（ ） A．C．x3＞y3

B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）

D．sinx＞siny

的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等

2． 设F1，F2是双曲线于（ ） A．

B．

C．24

D．48

2x10的解集为（ ） 3． 奇函数fx满足f10，且fx在0，上是单调递减，则

fxfxA．1，1 C．，1

B．，11，

D．1，

4． 设函数F（x）=是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x）对于x

∈R恒成立，则（ ） A．f（2）＞e2f（0），f C．f（2）＞e2f（0），f

B．f（2）＜e2f（0），f D．f（2）＜e2f（0），f

，

），使f（sinφ）=f（cosφ），则实

5． 函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），若存在φ∈（数m的取值范围是（ ） A．（

） B．（，

]

C．（

） D．（

]

6． 已知等差数列an的前项和为Sn，且a120，在区间3,5内任取一个实数作为数列an 的公差，则Sn的最小值仅为S6的概率为（ ） A．

1131 B． C． D． 56143B．2

C．3

D．4

7． 已知向量与的夹角为60°，||=2，||=6，则2﹣在方向上的投影为（ ） A．1

8． 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2D．24πa2

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精选高中模拟试卷

9． 已知a为常数，则使得A．a＞0 A．R

B．a＜0

B．[1，+∞） C．（﹣∞，1]

成立的一个充分而不必要条件是（ ）

C．a＞e D．[2，+∞）

D．a＜e

10．函数f（x）=x2﹣2ax，x∈[1，+∞）是增函数，则实数a的取值范围是（ ）

11．过点（0，﹣2）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A．（ ） A．2

B．

B．﹣2

C．

C．8

D． D．﹣8

12．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2015）=

二、填空题

13．已知集合M={x||x|≤2，x∈R}，N={x∈R|（x﹣3）lnx2=0}，那么M∩N= ． 14．满足tan（x+

）≥﹣

的x的集合是 ．

15．若非零向量，满足|+|=|﹣|，则与所成角的大小为 ．

16．已知函数f(x)x3ax23x9，x3是函数f(x)的一个极值点，则实数a ． 示）

18．已知函数f（x）=cosxsinx，给出下列四个结论： ①若f（x1）=﹣f（x2），则x1=﹣x2； ②f（x）的最小正周期是2π； ③f（x）在区间[﹣

，

]上是增函数；

对称．

17．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是 ．（用区间表

④f（x）的图象关于直线x=其中正确的结论是 ．

三、解答题

19．（本小题满分12分）

22已知圆C：xyDxEyF0的圆心在第二象限，半径为2，且圆C与直线3x4y0及y轴都

相切.

（1）求D、E、F；

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（2）若直线xy220与圆C交于A、B两点，求|AB|.

20．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，S2=4，且a2，a5，a14成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

n

（Ⅱ）从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2项，…，按原来顺序组成一个新数列{bn}，

记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式．

21．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点． （Ⅰ）证明：AC⊥D1E；

（Ⅱ）求DE与平面AD1E所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱AD上是否存在一点P，使得BP∥平面AD1E？若存在，求DP的长；若不存在，说明理由．

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22．已知双曲线过点P（﹣3（1）求双曲线的标准方程；

，4），它的渐近线方程为y=±x．

（2）设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1||PF2|=41，求∠F1PF2的余弦值．

23．（本小题满分12分）某校为了解高一新生对文理科的选择，对1 000名高一新生发放文理科选择调查表，统计知，有600名学生选择理科，400名学生选择文科．分别从选择理科和文科的学生随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表：

分数段 [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 率分布直方图．

理科人数 正 正 文科人数 正 （1）从统计表分析，比较选择文理科学生的数学平均分及学生选择文理科的情况，并绘制理科数学成绩的频第 4 页，共 14 页

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（2）根据你绘制的频率分布直方图，估计意向选择理科的学生的数学成绩的中位数与平均分．

24．（本小题满分13分）

x2y2M，椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别为F直线l:xmy1经过点F1、F2，1与椭圆C交于点

ab2点M在x轴的上方．当m0时，|MF1|．

2（Ⅰ）求椭圆C的方程；

SMF1F2（Ⅱ）若点N是椭圆C上位于x轴上方的一点， MF1//NF2，且3，求直线l的方程．

SNF1F2

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通渭县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】C

xy

【解析】解：∵实数x、y满足a＜a（1＞a＞0），∴y＜x． 对于A．取x=1，y=0，

不成立，因此不正确；

22

对于B．取y=﹣2，x=﹣1，ln（x+1）＞ln（y+1）不成立； 333

对于C．利用y=x在R上单调递增，可得x＞y，正确；

对于D．取y=﹣故选：C．

π，x=，但是sinx=，siny=，sinx＞siny不成立，不正确．

【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．

2． 【答案】C

【解析】解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10， ∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则由双曲线的性质知∴|PF1|=8，|PF2|=6， ∴∠F1PF2=90°， ∴△PF1F2的面积=故选C．

【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．

3． 【答案】B 【解析】

2x12x102x1fx0，即整式2x1的值与函数fx的值符号相反，当试题分析：由

fxfx2fxx0时，2x10；当x0时，2x10，结合图象即得，1，

，解得x=6．

．

1，．

考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式. 4． 【答案】B 【解析】解：∵F（x）=

，

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∴函数的导数F′（x）=∵f′（x）＜f（x）， ∴F′（x）＜0，

即函数F（x）是减函数，

=，

2

则F（0）＞F（2），F（0）＞F＜ef（0），f，

故选：B

5． 【答案】A

【解析】解：∵函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m）， ∴函数f（x）关于x=m对称， 若φ∈（

，

），

则sinφ＞cosφ，

则由f（sinφ）=f（cosφ）， 则即m=当φ∈（则＜

，

=m，

=

（sinφ×

∈（，

+，

cosαφ）=），

sin（φ+

）

），则φ+

）＜

sin（φ+

，

则＜m＜故选：A

【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．

6． 【答案】D 【解析】

考

点：等差数列． 7． 【答案】A

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【解析】解：∵向量与的夹角为60°，||=2，||=6， ∴（2﹣）•=2

﹣

=2×22﹣6×2×cos60°=2，

=

．

∴2﹣在方向上的投影为故选：A．

【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目．

8． 【答案】B

【解析】解：根据题意球的半径R满足

22

（2R）=6a， 22

所以S球=4πR=6πa．

故选B

9． 【答案】C

即a＞1，对应的集合是（1，+∞）

【解析】解：由积分运算法则，得

=lnx

因此，不等式即

=lne﹣ln1=1

将此范围与各个选项加以比较，只有C项对应集合（e，+∞）是（1，+∞）的子集 ∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a＞e 故选：C

【点评】本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识，属于基础题．

10．【答案】C

2

【解析】解：由于f（x）=x﹣2ax的对称轴是直线x=a，图象开口向上， 故函数在区间（﹣∞，a]为减函数，在区间[a，+∞）上为增函数，

2

又由函数f（x）=x﹣2ax，x∈[1，+∞）是增函数，则a≤1．

故答案为：C

11．【答案】A

【解析】解：若直线斜率不存在，此时x=0与圆有交点， 直线斜率存在，设为k，则过P的直线方程为y=kx﹣2， 即kx﹣y﹣2=0，

22

若过点（0，﹣2）的直线l与圆x+y=1有公共点，

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则圆心到直线的距离d≤1， 即解得k≤﹣即

≤α≤

≤1，即k2﹣3≥0， 或k≥且α≠≤α≤

， ， ，

综上所述，

故选：A．

12．【答案】B

【解析】解：∵f（x+4）=f（x）， ∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1）， 又∵f（x）在R上是奇函数， ∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2． 故选B．

【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．

二、填空题

13．【答案】 {1，﹣1} ．

【解析】解：合M={x||x|≤2，x∈R}={x|﹣2≤x≤2}， N={x∈R|（x﹣3）lnx2=0}={3，﹣1，1}， 则M∩N={1，﹣1}， 故答案为：{1，﹣1}，

【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

14．【答案】 [kπ

）≥﹣

得

，

+kπ），k∈Z ．

+kπ≤x+

+kπ），k∈Z，

＜

+kπ，

【解析】解：由tan（x+解得kπ

≤x＜

+kπ，

，，

故不等式的解集为[kπ故答案为：[kπ

+kπ），k∈Z，

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【点评】本题主要考查三角不等式的求解，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键．

15．【答案】 90° ．

【解析】解：∵∴∴

=

∴α与β所成角的大小为90° 故答案为90°

【点评】本题用向量模的平方等于向量的平方来去掉绝对值．

16．【答案】5 【解析】

试题分析：f'(x)3x22ax3,f'(3)0,a5． 考点：导数与极值．

17．【答案】 （1，+∞）

2

【解析】解：∵命题p：∃x∈R，x+2x+a≤0，

当命题p是假命题时，

2

命题￢p：∀x∈R，x+2x+a＞0是真命题；

即△=4﹣4a＜0， ∴a＞1；

∴实数a的取值范围是（1，+∞）． 故答案为：（1，+∞）．

【点评】本题考查了命题与命题的否定的真假性相反问题，也考查了二次不等式恒成立的问题，是基础题目．

18．【答案】 ③④ ．

【解析】解：函数f（x）=cosxsinx=sin2x，

对于①，当f（x1）=﹣f（x2）时，sin2x1=﹣sin2x2=sin（﹣2x2） ∴2x1=﹣2x2+2kπ，即x1+x2=kπ，k∈Z，故①错误；

对于②，由函数f（x）=sin2x知最小正周期T=π，故②错误； 对于③，令﹣

+2π≤2x≤

+2kπ，k∈Z得﹣

+kπ≤x≤

+kπ，k∈Z

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当k=0时，x∈[﹣对于④，将x=

，]，f（x）是增函数，故③正确；

）=﹣为最小值，

代入函数f（x）得，f（

故f（x）的图象关于直线x=综上，正确的命题是③④． 故答案为：③④．

对称，④正确．

三、解答题

19．【答案】（1） D22，E42，F8;（2）AB2. 【解析】

试

题解析：（1）由题意，圆C方程为(xa)(yb)2，且a0,b0，

22∵圆C与直线3x4y0及y轴都相切，∴a2，∴圆C方程为(x2)2(y22)22， 化为一般方程为x2y222x42y80， ∴D22，E42，F8.

|3a4b|2，∴b22， 5（2）圆心C(2,22)到直线xy220的距离为d∴|AB|2r2d22212. 考点：圆的方程；2.直线与圆的位置关系.1 20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）依题意得：

∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1． 即an=2n﹣1； （Ⅱ）由已知得，

．

|22222|1，

2，解得．

23n+1

∴Tn=b1+b2+…+bn=（2﹣1）+（2﹣1）+…+（2﹣1）

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=（22+23+…+2n+1）﹣n=．

【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的性质，考查了等比数列的前n项和的求法，考查了化归与转化思想方法，是中档题．

21．【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：连接BD

∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴D1D⊥平面ABCD， 又AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC…1分 在长方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC…2分 又BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，…3分 而D1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥D1E…4分

（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系Dxyz，则A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），∴

设平面AD1E的法向量为令z=1，则∴

∴DE与平面AD1E所成角的正弦值为

…9分 ，则

…7分

…8分

，即

…5分

（Ⅲ）解：假设在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E． 设P的坐标为（t，0，0）（0≤t≤1），则∵BP∥平面AD1E ∴

，即

，

，…12分

∴2（t﹣1）+1=0，解得

∴在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E，此时DP的长．…13分．

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22．【答案】

2

x2=λ（λ≠0），

【解析】解：（1）设双曲线的方程为y﹣代入点P（﹣3

，4），可得λ=﹣16，

∴所求求双曲线的标准方程为

（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1d2=41， 又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6， 又|F1F2|=2c=10，

2222

∴d1+d2﹣2d1d2=36即有d1+d2=36+2d1d2=118，

222

∴|F1F2|=100=d1+d2﹣2d1d2cos∠F1PF2

∴cos∠F1PF2=

【点评】本题给出双曲线的渐近线，在双曲线经过定点P的情况下求它的标准方程，并依此求∠F1PF2的余弦值．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．

23．【答案】

【解析】解：（1）从统计表看出选择理科的学生的数学平均成绩高于选择文科的学生的数学平均成绩，反映了数学成绩对学生选择文理科有一定的影响，频率分布直方图如下．

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（2）从频率分布直方图知，数学成绩有50%小于或等于80分，50%大于或等于80分，所以中位数为80分． 平均分为（55×0.005＋65×0.015＋75×0.030＋85×0.030＋95×0.020）×10＝79.5， 即估计选择理科的学生的平均分为79.5分． 24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由直线l:xmy1经过点F1得c1，

b22当m0时，直线l与x轴垂直，|MF1|， a2c1x2a22y21． （4分） 由b，∴椭圆C的方程为2解得2b12aSMF1F2|MF1|y1（Ⅱ）设M(x1,y1),N(x2,y2)，y10,y20，由MF1//NF2知3.

SNF1F2|NF2|y2xmy1m2(m21)222联立方程x，消去x得(m2)y2my10，解得y 22m2y12m2(m21)m2(m21)∴y1，同样可求得y2， （11分） 22m2m2m2(m21)m2(m21)y1

3得y13y2，∴由，解得m1， 3y2m22m22直线l的方程为xy10． （13分）

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