动态法测定弹性模量

物理与电子信息学院 物理学专业 09物理汉班，内蒙古 呼和浩

特 010022

指导教师：哈斯朝鲁

摘要：弹性模量包括扬氏模量（E）和切变模量（G），连同泊松比（μ）共称弹性系数，这三个系数相互之间的关系由关系式μ=2G/E－1所决定。弹性模量测定方法共有三类：静态法、波传播法、动态法。本实验采用动态弯曲共振法测定弹性模量。 1. 引言

弹性模量是反映材料抵抗形变的能力、也是进行热应力计算、防热和隔热层计算、选用构件材料的主要依据。精确测试弹性模量对强度理论和工程技术都具有重要意义。弹性模量测定方法主要有三类： 1) 静态法（拉伸、扭转、弯曲）：该法通常适用于金属试样，在大形变及常温下测定。该法载荷大，加载速度慢伴有弛豫过程，对脆性材料（石墨、玻璃、陶瓷）不适用、也不能完成高温状态下测定；

2) 波传播法（含连续波及脉冲波法）：该法所用设备虽较复杂，但在室温下很好用，由于换能器转变温度低及切变换能器价格昂贵，不易获得而受；

3) 动态法（又称共振法、声频法）：包括弯曲（横向）共振、纵向共振以及扭转共振法，其中弯曲共振法由于其设备精确易得，理论同实践吻合度好，适用各种金属及非金属（脆性材料）以及测定

温度能在-180℃～3000℃左右进行而为众多国家采用。 2. 正文 【实验目的】

1. 了解动态法测定弹性模量的原理，掌握实验方法；

2. 掌握外推法，会根据不同径长比进行修正，正确处理实验数据； 3. 掌握判别真假共振的基本方法及实验误差的计算；

4. 了解压电体、热电偶的功能，熟悉信号源及示波器和温控器的使用；

5. 培养综合使用知识和实验仪器的能力。

【实验仪器】

动态弹性模量测定仪、功率函数信号发生器(5位数显、频率宽5～500KHz)、数显调节仪、悬挂测定支架及支撑测定支架、悬线、试样五根、激发-接收换能器、加热炉、高温悬线、声频放大器、听诊器、示波器。

【实验原理】

对长度L直径d条件的细长棒，当其作微小横振动（又称弯曲振动）时，其振动方程为：

4yS2y0x4EIt2 （13-1）

式中y为竖直方向位移，长棒的轴线方向为x，E为试棒的杨氏模量，

2为材料密度，S为棒横截面，I为其截面的惯性矩，ISydS。用分

离变量法求解方程（13-1）的解，令

y(x,t)X(x)T(t) （13-2）

1d4XS1d2T4XEITdt2dx（13-2）式代入（13-1）式得

，该等式两边分别是变

量x和t的函数，只有等于一常数时才成立，设此常数为K4，则

d4X(x)K4X(x)04dx （13-3）

d2T(t)EIK4T(t)02dtS （13-4）

设棒中各点均作谐振动，这两个线性常微分方程的通解为： X(x)c1sinKxc2cosKxc3shKxc4chKx （13-5）

T(t)c5sintc6cost (13-6)

式（13-2）横振动方程的通解为：

y(x,t)(c1sinKxc2cosKxc3shKxc4chKx)(c5sintc6cost) (13-7)

式中

(KEI)S412

（13-8）

该式通称频率公式。

实际棒的振动模式取决于边界条件。

推论证明：该式对于任意形状截面、不同边界条件下都是成立的，故我们只要用特定的边界条件定出常数K，代入特定截面的惯性矩，就可以得到具体条件下的计算公式。如将棒悬挂（或支撑）在节点（即处于共振状态时棒上位移恒等于零的位置），此时，边界条件为二端横向作用力及力矩为零，即：

M3yFEI30xxd3X(x)dx3；

0, x0

d2X(x)dx2

0xl

MEI2y0x2；

x03d2X(x)(x)0, dX30, dxxldx2。

将通解带入边界条件得到：

cosKlchKl1 （13-9）

可用数值解法求得本征值K和棒长应满足：

KnL0, 4.730, 7.853, 10.966, 14.137......

式中K0L0的根对应于静止状态、故将第二个根作为第一个根记作

13-1所

K1L，一般将K1对应的频率叫做基频，此时棒上波形分布如图

2示，而KL7.853叫一次谐波。对应的波形分布如图13-2所示。由图可见，试棒作基频振动时有两个节点、其位置距端面分别为0.224L和

0.776L。而对一次谐波K2共有三个节点、其位置距端面分别为0.132L、

0.500L和0.868L。实验证明：棒上振动分布确实如此。

图13-1 图13-2 将第一个本征值K的固有频率。

4.730EI4Sl41214.730l代入频率公式（13-8），可得到自由振动时

基频

E圆形dIsydsS4，因对圆形棒有：

22，整理后

l3m21.60674fd (13-10)

同理，对b为宽度、h为厚度的矩形棒有：

E矩形lm0.944fhb32

(13-11)

也能推出上述试样切变模量与共振频率关系：

G圆形5.093ml2fGd2 (13-12)

G矩形4.000ml2fGbh （13-13)

式中：长度l、直径d、宽b、厚h、等几何尺寸均以米为单位，质量

-2m以千克为单位，频率f以赫兹为单位，计算出弹性模量单位为Nm。

Kl 10.000（静态） 4.730（基频） 7.853 10.996 14.137 12已知

K4EI2K2EISS又2,

Kl,2Kl设

,K1l

EI2Sl则

2

2l2容许频率为

EI2S

（13-14）

对于基频，1.5056，对各谐频n0.5(n1) 棒的振动模式：将c2c4,c1c3代入式（13-5），得

X(x)c1(sinKxshKx)c2(cosKxchKx)

则 （13-15）

从附录（16）式可知

X(x)c1(sinKxshKx)(cosKxchKx)c2c2

c1sinKlshKlc2cosKlchKl （13-16）

代入Kl可得

Kl 4.730 7.853 10.996 14.137 17.279 c1/c2 -0.982 5 -1.000 8 -0.999 96 -1.000 0 -0.999 9 KxKlxl

22取

则给出x/l值就可求出X(x)/c值，而c2为常数，所以X(x)/c值可以表示振动的横位移。 对于基频Kl4.730

x/l 0.0 0.1 1.0.2 0.0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -0.-1.04 -1.22 -1.04 -0. 0.0.9 1.1.0 2.X(x)/c22. 00 07 20

图13-2为基频的振动模式，从图上可以看出节点在距一端0.224l处。同样可以算出对Kl7.853的节点在0.132l处。

理论推导表明，杆的横振动节点与振动级次有关，Kn值第1、3、5…数值对应于对称形振动。第2、4、6…对应于反对称形振动。最低级次的对称振动波形如图13-4所示。 图4 二端自由杆基频弯曲振动波形

表13-1 振动级次—节点数—节点位置—频率比

20 09 00 级次n 基频n=1 节点数 2 节点位0.224置 频率比

0.776l f1 一次谐波n=2 3 二次谐波n=3 4 l 0.132l 0.502l 0.094l 0.356l 0.4l 0.868l f22.76f1 0.906l f35.40f1 表中l为杆的长度。当d8mm，l180mm时f22.74f1。修正值由表13-1

可见，基频振动的理论节点位置为0.224l(另一端为0.776l)。理论上吊扎(支撑)点应在节点，但节点处试样激发接收均困难。为此可在试样节点和端点之间选不同吊扎(支撑)点，用外推法找出节点的共振频率。推荐采用在两端附近进行激发和接受，这非常有利于室温及高温下的测定。

须注意(13-8)式是在Ld时推出，否则要作修正，E(修正)=KE(未

修正)，当材料泊松比为0.25时K值如表13-2，注意 表13-2

径长比r/l 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 修正系数K 1.002 l.008 1.019 1.033 1.05l

【实验装置】

实验装置可用两种方式进行测量：

悬挂方式：装置如图13-5：二个换能器能在柱状空间任意位置停留，悬线室温下采用Ф0.05～0.15mm铜线、高温下采用铜线(450℃)或

Ni～Gr(1000℃)丝，粗硬的悬线会引入较大误差。

支撑方式：支撑式测定支架如图13-6：试棒4通过特殊材料搭放在二个换能器上，无需捆绑即能准确、方便测出基频和一次谐波共振频率，支架横杆AB上有2和5二个换能器，间距可调节。

图13-5 图13-6 试样几何尺寸及质量测量：试样一般直径为Ф5～10mm、长140～200mm，其它矩形、正方、圆筒状(均匀试样)，金属或非金属均可。用游标卡尺测量长度。用螺旋测微计测出直径取平均值，质量用电子天平测定。

测试样在不同温度下的弹性模量时先支撑支架测出试样的共振频率后再入炉升温并跟踪测量。为得到最好的激发—接收效果，悬挂时，采用在试样的两端激发—接收的方式。

测量前将悬挂支架的二根立柱连同换能器移放并固定在加热炉的平台上，换能器二个小钩应在炉体开口正上方。用由Ф0.05～0.15mm高温悬丝(Ni-Cr或Fe-Cr-A1)将试样绑好绑紧，捆绑时可将悬丝在试样上绕2—3周后打一活结，然后再拉紧，调整二悬丝要在通过试样直径的铅垂面上(可从二端观察孔观察)。将试样调整到水平位置，测定时二悬丝不能同任何物体接触。试样悬挂完毕，并测出共振频率后，

用保温毡将炉体上方的开孔及炉体二端封闭，只在悬丝附近保留二个小孔。

整套变温装置由热电偶-温控器-加热炉三部分组成。图13-5、图13-6中：1是功率函数信号发生器，本身带5位数字显示频率计。它发出的声频信号经换能器2转换为机械振动信号，该振动通过悬丝(或支撑物)3‘传入试棒引起试棒4振动，试棒的振动情况通过悬丝(或支撑物)3传到接受换能器5转变为电信号进入示波器显示。调节功率函数信号发生器1的输出频率，如试样共振则能在示波器6上看到最大值，如将信号发生器的输出同时接入示波器的X轴，则当输出信号频率在共振频率附近扫描时，可在显示屏上看到李萨如图形(椭圆)的主轴会在Y轴左右偏摆。如需测定不同温度下的杨氏模量，需将试样置于变温装置7内，炉温由温控器8控制调节。

注：共振频率f和固有频率f0是相关的两个不同概念，其关系为：

f0f114Q2

式中Q值远大于30，由于上式可知以

f共振代替

f固有所导致的偏差不会

大于0.03%，故我们通常忽略两者差别。 需要指出：

（1）上述几个公式都是对：“长杆”即Ld的情况下导出，当此条

件不能满足时，上述公式需修正，即E弹E测T1，修正系数T1与径长比及材料的泊松比有关，当0.30、d8mm、l180mm时，T11.008。对切变模量GG测R，R与形状有关。 （2）当Ld时，对圆杆各次谐波频率的比值为

f基:f1:f21:2.756:5.404:8.933。

当Ld不能满足时（例如对d8mm、l180mm）上述频率比应作修正。

装置各部分如下：

1．功率函数信号发生器，可产生5～500KHz、功率（6W）的信号，有粗调及二级精密（0.1Hz）微调，石英稳频，有方波、正弦波及三角波三种波形输出，本实验使用正弦波，其输出强度可用分段或连续调节，输出频率数值由5位LED直接显示，本信号发生器还可以当外测频率计（5～100kHz）使用。本机装有过载保护，自动报警装置，一旦超载，仪器即发出报警信号并自动切断输出，这时应迅速切断仪器电源并排除故障，约10余秒后重新启动，仪器又能正常工作。 分别有激发—接收放大器，当感到自备信号源功率不足或感到接收信号微弱时使用，其放大倍率分别为10~100倍，一般情况下采用的信号源及换能器时无须使用放大器。

2．2和5为激发和接收换能器，2将电信号变为机械振动信号输入试样，5为接收换能器用以检测试样振动情况。两种换能器均采用压电换能器。

3．4是试样（圆柱、圆管、矩形均可）。但直径必须一致，质量分布必须均匀，试样内部不能有夹渣、气孔及偏析，否则会出现多个共振频率。通常采用5~10mm，圆柱试样。

4．6为示波器，其灵敏度最好为5mv/div以上，但10mv/div的亦勉为可用。

5．7为加热炉，当需要测定试样不同温度下的弹性模量时使用，加

热炉由发热体、保温层及外壳组成，炉丝采用800W电炉丝分八段来回穿绕在发热体的孔内，每一孔内的炉丝分布方式为两头密、中间松，以保证有良好的均热带，本加热炉可以升温到1000℃，但推荐在800℃以下使用以延长寿命。

由耐火材料作的发热体外采用优质硅酸铝纤维作保温材料。使用时特别注意，当腔内温度到700~1000℃时，炉壳表面温度很高，务必避免烫伤，炉壳上有接地装置。当将试样装好并调整呈水平后，放入热电偶，注意不要碰热电偶及试样，将发热体二头及顶部开口用保温毡堵死，留二孔让悬丝通过就可作升温实验，实验完毕后务必切断电源。 为使控温准确，温控器上设有输出功率调节旋钮，对每个设定温度都有一个最佳功率与之对应，下表可供参考：

设定温度 输出功率

6．8为温控器，是4位数显高精度比例式温度控制器，设有快升温（加热功率800W可达1000℃）、慢升温（加热功率为400W温度可达600℃）。建议在600℃范围内使用慢升温，注意当试样内外温度一致时，测定的数据才是该温度时的真实数据，测定前先确定“设定”温度，然后拨至“测量”档，这时显示出实际炉温。其背面1~2点接热电偶、中-相点接220V电源、总-低是控制节点，按规定接好线路后，按压“开关”接通电源、指示灯亮，数显屏上有显示。先将“测量-150 250 350 450 550 800 3 4 5 大于5 1～1.5 2 设定”开关置于“设定”档，调节好欲设定的温度，然后推向“测量”处，这时屏幕上显示出炉腔内热电偶所处实际温度，当炉腔温度升到设定温度附近，控制器即起作用，通过控制炉体电源的通断使炉温维持恒定。

7．热电偶，本设备采用(Ф0.8mm-Ф1mm)的K型（镍铬——镍硅）热电偶，精确测定时热电偶应作校准。输出电压可在50～220V连续可调，最高使用温度虽能达到1200℃，但经常使用温度在室温≤1000℃时可延长其使用寿命。热电偶点可在硼砂保护下用氧--乙炔焊成球形，一根(有磁性)接温控器(箱内表头的)2端，另一根(无磁性)接(箱内表头的)1端。不要接反，当温控器的主1、2二点反接或热电偶处于开路状态（说明热电偶热点已开焊，须重新焊好或换用热电偶）时，显示器将显示(1500～1900℃)较大温度以示警告（热电偶在出厂时已连接好，可直接使用）。作精确测定，热电偶冷端须放置在0℃冰水混合物中。

8．图6为支撑式支架，激发和接收换能器均可沿横杆AB水平调动位置。试样放上，只要两个支持点都不在节点，试样无须捆绑就能完成测定。实验发现采用支撑式支架还能较为方便的测定出一次谐波共振频率。

【实验步骤】

1．将各设备按图113-3连接好（注意各设备要共地线），启动信号发生器，频率置于2.5K档，连续调节输出频率，此时激发换能器应发

出声响。轻敲桌面，示波器Y轴信号大小立即变动并与敲击强度有关，这就说明整套装置已处于工作状态。

2．先将两端有刻度的试样放在支撑支架上（注意不要置于两个节点上），由低到高调节输出频率，直至在某一频率使显示屏上的李萨如图形出现最大值并在Y轴左右摆动，记下这个频率，然后用听诊器或细金属物（例如尖嘴镊子）沿轴向移动，看声强及振动强度是否按图1变化，可以发现，当金属物触及两个节点时，示波器波形变化不大，而触及腹点时，示波器示值很快减小。

3．若示波器显示信号太大或太小时适当调节信号源的输出或示波器的放大倍率使波形大小合适，继续升高频率大约在2.74倍处看是否能测出一次谐波共振频率。

4． 变动支撑点，作f—位置曲线，用外推法推出节点的共振频率。

5．换用其他三种试样验证直径—长度和共振频率的关系是否符合附录（22）—（25）式。

6．将耐热试样用高温悬丝捆好，挂在悬挂支架上测出基频。建议采用在接近二端激发—接收方式以取得最好效果。测出基频并确认无误后将试样放入炉内，将试样二端调整在炉腔中心，再用保温棉堵住（除悬丝附近留两个小孔外）所有部位（包括二端），一定要保证两根悬丝和试样不与任何物体相碰，否则将影响实验进行。

7．测出f~TC曲线：画出E~TC曲线，自室温开始每50-100℃测一次

oo共振频率，最好采用端点悬挂接收方式以保证较好的激发—接收效

果，每一个测点保温时间约10分钟以使试样内外均匀，对非严格测定、保温时间可减少，对精确测定尚需考虑试样膨胀的影响。

f11ErE室温f21T

2(13-17)

式中为膨胀系数、T为温差。

【注意事项】

每台加热炉实用功率800W（小心烫伤），如有多台加热炉同时工作务必注意实验室所配电源的负荷能力是否适应。又：如发现炉膛不在中心位置，只要打开两端盖板，调节所填充保温材料的分布，很容易调整炉膛位置。热电偶必须在炉膛中心位置。

1．换能器厚度约0.1～0.3mm的压电晶体，用胶粘接在0.1mm左右的黄铜片上构成 ，极其脆弱，测定时一定要轻拿轻放，不能用力，也不能敲打。如焊接只能用15W左右烙铁迅速焊接（不要超过3秒）否则极易损坏。

2．两根悬丝必须捆紧，不能松动，且在通过试样轴线的同一截面测定时应使试样不摆动。

3．信号源—换能器—放大器—示波器均应共“地”。

4．加热炉炉温升到500℃以上时，炉壳温度较高，应避免烫伤。 5．悬挂点或支撑点如在节点时难于测定，全放在端点，测定虽很方便但引入系统误差，作f~TC曲线时推荐采用二端悬挂方式取得较好效果。

o6．实验时发现悬挂方式很难测出一次谐波频率，用支撑法却很容易测定，同时发现悬挂和支撑的位置和基频关系密切，但用支撑法测出的一次谐波频率和支撑位置联系不大，你能分析其中原因吗？ 共振频率的判断：

测定中，激发—接受换能器、悬丝、支架等部件都有自己共振频率、都可能以其本身的基频或高次谐波频率发生共振。因此，正确的判断示波器上显示的共振信号是否为试样真正共振信号成为关键，可用下述判据作判断。

a) 测试前根据试样的材质、尺寸、质量通过（4）或（5）式估算出共振频率的数值，然后放在支撑支架上，在上述频率附近进行寻找、再上悬挂支架入炉升温。

b) 换能器或悬丝发生共振时可通过对上述部件施加负荷（例如用力夹紧），可使此共振信号变化或消失。

c) 发生共振时，迅速切断信号源，除试样共振会逐渐衰减外，其余假共振会很快消失。

d) 试样发生共振需要孕育过程，切断信号源后亦会逐渐衰减，它的共振峰宽度较窄，信号较强。试样共振时，可用尖嘴镊沿纵向轻碰试样，这时会按表1的规律可发现波腹、波节。对扁平试样用细硅胶粉撒在试样上，可在波节处发生明显聚集。也可用听诊器沿试样纵向移动，能明显按图1的规律听出波腹处声大，波节处声小。对于一些细长杆状（或片状）试样，有时能直接看到波腹或波节。

e) 用打火机（火柴）烧悬丝或试样处，属于悬丝共振能很快消失；属于试样共振频率会发生减少或偏移。

f) 在共振频率附近进行频率扫描时，共振频率两侧信号相位会有突然变化，导致李萨如图形在Y轴左右明显摆动。不同谐波频率比服从表1规律。

g) 用悬挂法吊扎必须牢靠，二根悬丝必须在通过试样直径的铅垂面上。悬挂或支撑不能在节点上。

h) 频率比法进行判别。对长为160～180mm，直径为6～8mm的金属圆杆试样f12.74f0。

i) 如试样材质不均匀或呈椭圆形，就会有多个共振频率出现，只能通过更换合格试样解决。

j) 测试时尽可能采用较弱的信号激发，这时发生虚假信号少且弱，采用端点激发—接收方式可极大的提高实验效果。 k) 接收信号在共振点附近相位会发生突变，示波器上椭圆主轴会在Y轴左右偏移，高温时因试样机械品质因数下降，且试样在炉内采用其他判别方式均困难，此成为主要判据。

l) 频率在显示屏发生共振时，即使托起试样，示波器显示的波形任然很少变化，说明这个共振频率不属于试样。 m) 悬丝共振时可明显看出悬丝上形成驻波。

【数据处理与分析】 表一

试样 截面直径 铜1 5.92 5.94 17.96 铜2 7.98 7.94 17.91 17.92 75.2 798 钢1 5.98 5.96 17.95 17.94 39.0 841 钢2 7.70 7.74 17.95 17.96 63.4 1050 长度 17.95 质量 基频共振频率 表二

测f~TC曲线 试样d l

o42.3 599 温度 实验 100 200 300 400 500 600 700 800 780 771 746 726 696 基频共振频率 接收情况

根据所得值代入公式（13-4）计算出试样杨氏模量再利用误差传递公式计算： 表三

铜试样d7.96mm l17.915cm

Erm2l2fd4mlfd写出结果表达式：EE

支撑点距5 端点位置 基频支 共177177撑 振8 法 频率 一次谐波210210共1 振频率 5 1996 1777 1776 1774 177 4 7 6 7 6 4 4 177177177177177 10 15 20 25 30 35 40 点 节接收 情况 悬挂点距5 端点位置 悬 基挂 频法 共784 783 783 782 782 781 780 振频率 接收 情况 10 15 20 25 30 35 40 点 节