常微分方程 课程论文

《常微分方程》读书笔记

数学与应用数学（师范）2班 李霞 200902114078

本课程作为一门的专业课程，综合性强、内容多、难度大，学者在学习过程中应注意，学习前，应仔细阅读课程大纲，熟悉课程的基本要求，使以后的学习紧紧围绕课程的基本要求。在阅读某一章教材内容前，应先认真阅读大纲中该章的考核知识点，注意对各知识点的能力层次要求，认真学习各章节例题，熟悉各种类型习题解法。学完教材的每一章节内容后，应完成教材的习题，进一步理解和巩固所学的知识，增强解题能力。在学习常微分方程时，还需要掌握高等代数，近世代数，数学分析，线性代数，数值积分等基础知识。

微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。

常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。

一、一阶微分方程的初等解法

1.1 变量可分离的微分方程

dy形如f(x)(y)的方程，称为变量分离方程，f(x)，(y)分别是x，y的

dx连续函数.这是一类最简单的一阶函数．如果(y)0，我们可将(1)改写成

dydyf(x)dx，这样变量就分离开来了.两边积分，得到f(x)dxc，

(y)(y)c为任意常数．由该式所确定的函数关系式yy(x,c)就是常微分方程的解．

例1：求解

解：

dy2xy的通解。 dx2211dy2xdx→dy2xdx→lnyx2c1→通解：yexc1cex yy1.2 齐次型微分方程 （变量代换的思想） 一阶微分方程可以化成

uyxdyyf的形式。 dxx求解：

dyyfyux， dxx

11dydudududx（可分离变量）通解 xuxufufuuxdxdxdx例2：解方程y2x222dydyxy dxdx2dudydyduydyydyu2xuuxu yxxydxdxdxdxxdxxdx11du11xu1u1dudx1dudxulnulnxc1

xxdxuuuyxlnuxuc1uxc2eyux,yc2elnyyc x1.3 一阶线性微分方程

dy若 pxy0，称为一阶齐次线性微分方程。

dxdy若pxyqx（qx0），称为一阶非齐次线性微分方程。 dx一阶非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。 解

dypxy0的通解如下：可分离变量的一阶微分方程 dxpxdxdy1pxy0dypxdxlnypxdxc1yc2e dxypxdxdy（齐次方程通解）采用积分因子法求pxyqx的一个特ycedx解如下 pxdxdypxdxpxdxdypxdx pxyqxepxyqxeeyqxedxdxepxdxyqxepxdxpxdxpxdxdxcyeqxedxc

pxdxpxdxdypxdxdx eqxepxyqx（qx0）的通解为：ycedx2.2 一阶微分方程的应用举例

例 细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400、那么前12h后总数是多少?

分析：

kt dyyCeln4ln2kyC100,k dt2412 y(12)200y(0)100

y(24)400 ln4tt y(t)100e24100212

二、n阶齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程

1．n阶常系数齐次线性微分方程概念： 定义 形如：

(n1)y(n)PP2y(n2)1yPn1yPny0(1)

称为n阶常系数齐次线性微分方程，其中

P1,P2Pn都是常数．有时我们用记号

dnydydnnD(叫微分算子)．表示对x求导的运算dx．把dx记作Dy．dx记作Dy．把方

程(1)记作：

nn1DPDPn1DPn)y＝0 (2) 1(

nn1DPDPn L(D)叫微分算子D的n次多项式． 1记L(D)=

 (2)可记作：L(D)y＝0

如同讨论二阶常系数齐次线性微分方程那样： 令

y

＝

erx 那么：

y'rerx 或写为：

Derxrerx,y''r2erxD2.erxynrnerxDnerx

LDerxLrerx

nn1LDrPrPnLr，因此把yerx代入(`)得1这里：

Lrerx0，由此可见，若选r为n次代数方程Lr0，即：rnP1rn1Pn0 (3)的根，那麽作出的函数yerx就是(2)的一个解．

(3)叫(2)的特征方程．

由特征根的不同情形，可以写出其对应的微分方程的解，见下表：

表1 特征方程的根单实根r 一对单复根：r1.2i K重实根r 一对k重复根：r1.2i xe给出两项：(c1cosxc2sinx) (4)的通解中的对应项，给出一项：ce rxrxk1e(ccxcx) 12k给出k项：给出2k项：er[(c1c2xckxk1)cosx(D1D2xDKxk1)sinx] 从代数学知道，n次代数方程有n个根(重根按重数计算)，而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项，而且每项各含一个任意常数．这样，就得到n阶常系数齐次线性微分方程的通解:yc1y1c2y2cnyn.

可见，n阶常系数齐次线性方程的通解应含有n个独立的任意常数．这个结论具有普遍性．

d4w404例 求方程：dx通解，其中：>0

44解 写出特征方程：r0 ，为便于左边因式分解，用加、减项的方法：

r44(r44+2r22)-2r22=(r22)2-2r22

2222=(r2r)(r2r)=0

于

r2-2(1i).2r2=

222422=

2(1i).

2r+2r=

2 方

程

的

x2x原

2通结为：

e(

c1cosx2c2sinx2+e)(

c1cosx2c2sinx2

)2、n阶常系数非齐次线性微分方程概念：

n阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式y(n)Py(n1)PyPyf(x)1n1n

2.1 n阶常系数非齐次线性方程的初等解法 2.1.1 常数变易法

在求解一阶非齐线性方程的通解时，我们使用了常数变易法，这一方法同样适用于求解非齐线性方程（1.1）。其具体方法与步骤如下： 1）写出方程（1.2）的通解：xc1x1tc2x2tcnxnt

2）常数变易，即令xc1tx1tc2tx2tcntxnt （1.1） 3）把（1.1）及其一阶到n阶导数（在附加了n-1个条件 ）代入方程（1.1）,可得

个确定cit(i1,2,,n)的方程组（A）：

tx1tc2tx2tcntxnt0c1ctxtctxtctxt01122nn（A）

ctxn1tctxn1tctxn1tft22nn11解方程组（A）得ci(t)i(t),i1,2,,n 4）逐个积分，得cititdti,i1,2,,n 5）写出方程（1.1）的通解：

xc1tx1tc2tx2tcntxnt

=ixitxititdt, ii1,2,,n为任意常数

i1i1nn例 . 求方程txxt2于域t0的通解 解：对应齐线性方程 txx0

解之得 x12AtB，A，B为任意常数 2易知基本解组为 1，t2

1原方程可改写为 xxt (*)

t则运用常数变易法，令xc1tc2tt2,代入上式(*)得

c1tc2tt20 

tt2tc211解得c1tt3r1, c2ttr2

621故原方程的通解为xr1r2t2t3, r1,r2为任意常数

3三、n阶线性微分方程与线性微分方程组的关系

1、定义：n 阶线性齐次微分方程的一般理论

由引理4.1，齐次方程(4.1)等价于下面的一阶线性齐次微分方程组

dYA(x)Y (4.1) dx这里A(x)和Y相同.于是由第三章的定理3.2可知，齐次方程(4.1)的所有解也构成一个线性空间.为了研究这个线性空间的性质，进而搞清楚(4.1)的解的结构，我们需要下面的定义和引理. 定义4.1 函数组1(x),2(x),组不全为零的常数a1,a2,,n(x)称为在区间I上线性相关，如果存在一

,an,使得

a11(x)a22(x)ann(x)0 (4.2)

an0时，才能使(4.2)在I上

在区间I上恒成立. 反之，如果只当a1a2成立，则称函数组1(x),2(x),,n(x)在I上线性无关.

,n(x)在I上线性相关的

引理4.2 一组n-1阶可微的数值函数1(x),2(x),充要条件是向量函数组

1(x)2(x)(x)(x),2,(n1)(n1)1(x)2(x)在I上线性相关.

证明 若1(x),2(x),a1,a2,,an，使得

n(x)(x) (4.3) ,n(n1)n(x),n(x)在I上线性相关，则存在一组不全为零的常数

a11(x)a22(x)ann(x)0 (4.4)0

在I上恒成立.将(4.15)0式对x逐次微分n-1次，得

(x)a11(x)a22(x)0 (4.4)1 annann(n1)(x)0 (4.4)n-1

a11(n1)(x)a22(n1)(x)联合(4.4)0，(4.4)1，…，(4.4)n-1，就得到向量函数组(4.3)是线性相关的. 反之，若向量函数组(4.3)在I上线性相关， 则存在不全为零的常数a1,a2,,an，

使得(4.3)０，(4.3)１，…，(4.3)n-1各式在I上恒成立，由(4.3)０表明

1(x),2(x),,n(x)在I上线性相关. 证毕.

四、结束语

经过对常微分方程的解法及应用的学习，我们大体对常微分方程的定义，定

理，解法及应用 做了大致的了解。我们可以根据具体问题的性质和所给的条件，建立一个含有未知函数及其导数和微分的关系式，再通过积分等方法，从微分方程中确定出所求的未知函数。对微分方程具体有常数变易法、降阶法。对微分方程的应用可以具体解决许多生活中的实际问题，得到各种变化率，以联系具体问题！！

五、参考文献

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