实验十二光弹实验 啮合齿轮齿根应力集中系数的测定

光弹性测试方法是光学与力学紧密结合的一种测试技术。它采用具有暂时双折射性能的透明材料，制成与构件几何形状相似的模型，使其承受与原构件相似的载荷。将此模型置于偏振光场中，模型上即显出与应力有关的干涉条纹图。通过分析计算即可得知模型内部及表面各点的应力大小和方向。再依照模型相似原理就可以换算成真实构件上的应力。光弹性测试方法的特点是，直观性强，可靠性高，能直接观察到构件上的全场应力分布情况。特别是对于解决复杂构件、复杂载荷下的应力测量问题，以及确定构件的应力集中部位，测量应力集中系数等问题，光弹性测试方法更显得有效。本实验就是用光弹性测试方法进行受载齿轮齿根应力集中系数的测定

一、实验目的：

1．掌握光测弹性仪的使用方法。

2．观察所给的两个光弹性模型（圆盘和齿轮）受力后在偏振光场中的光学效应，加深对

模型受力后全场应力分布情况的了解。

3．观察等差线和等倾线，学会判别等差线和等倾线。 4．学会用光弹性测试方法来测定机械构件的应力集中系数。

二、实验设备及光学系统：

1．409-2光弹测试仪。 2．数码照相机。

3．由同一张环氧树脂板制成的圆盘模型和齿轮模型各一块。

三、实验任务：

1．使用圆盘对径受压的方法测定光弹性材料的条纹值f0。 2．获取受载齿轮模型的等倾线和等差线条纹图。 2．测定受载齿轮齿根最大应力值。

3．用剪应力差法测定啮合齿轮的齿根截面上的应力。 4．编制计算程序计算减速箱齿轮的齿根应力集中系数。

1

四、光弹性实验原理：

1、明场和暗场

由光源、起偏镜和分析镜就可以组成一个简单的平面偏振光场。起偏镜和分析镜均为偏振片，各有一个偏振轴。如果两个偏振轴平行，由起偏镜产生的偏振光可以全部通过分析镜将形成一个全亮的光场，简称明场。如果两个偏振轴垂直，由起偏镜产生的偏振光不能全部通过分析镜将形成一个全暗的光场，简称暗场。明场和暗场是光弹性测试中的基本光场。

P2 P1 P2 P1

P1：起偏镜 P2：分析镜

图12—1光弹性测试中的基本光场

2．应力—光学定律

当由光弹性材料制成的模型放在偏振光场中时，如模型不受力，光线通过模型后将不发生改变；如模型受力，将产生暂时双折射现象，即入射光线通过模型后将沿两个主应力方向

2 1 P2  M P1 P1：起偏镜 P2：分析镜 M：模型

图12—2模型受力产生的暂时双折射现象

分解为两束相互垂直的偏振光（如上图所示），这两束光射出模型后将产生一光程差。实

2

－２和模型厚度t成正比，即 验证明，光程差与主应力差１＝Ｃt(12) （1）

式中的C为模型材料的光学常数，与材料和光波波长有关。上式称为应力—光学定律，是光弹性实验的基础。两束光通过分析镜后将合成在一个平面震动，形成干涉条纹。如果光源用白色光，看到的是彩色干涉条纹；如果光源是单色光，看到的是明暗相间的干涉条纹。 3．等倾线和等差线

从光源发出的单色光经起偏镜后为平面偏振光，其波动方程为

Ep1asint

式中，a为振幅；t为时间；为光波角速度。

Ep1传播到受力模型上后被分解为沿两个主应力方向振动的两束平面偏振光E1和E2，

设为主应力１与P2轴的夹角，这两束平面偏振光的振幅分别为 a1asin ， a2acos

一般情况下，主应力12，故E1和E2会有一个角程差

＝２ （2）

假如沿２的偏振光比沿１的慢，则两束偏振光的振动方程是 E1＝asinsint， E2acossin(t)

当上述两束偏振光再经过分析镜时，都只有平行于P2轴的分量才可以通过，当两个分量在同一个平面内，合成后的振动方程是 Easin2sincos(t) 22式中，E仍为一个平面偏振光，其振副为：

A0asin2sin2

根据光学原理，偏振光的强度与振福A0的平方成正比，即 IKasin2sin2222

式中的K是光学常数。把（1）式和（2）式带入上式可得 IKasin2sin

222Ct(12) （3）

3

由（3）是可以看出，光强I与主应力的方向和主应力差有关。为使两束光波发生干涉，相互抵消，必须I=0.。所以

1） a=0，既没有光源，不符合实际。

2）sin20，则0或90，即模型中某一点的主应力1方向与P2轴平行（或垂直）时 ，在屏幕上形成暗点。众多这样的点将形成暗条纹，这样的条纹称为等倾线。在保持P1轴和P2轴垂直的情况下，同步旋转起偏镜P1与分析镜P2任一个角度，就可得到角度下的等倾线。

00Ct(12)fn0 即 123） sinn0 （n=0,1,2,,……）

Ctt式中的f0称为模型材料的条纹值。满足上式的众多点也将形成暗条纹，该条纹上的各点的主应力之差相同，故称这样的暗条纹为等差线。随着n的取值不同，可分为0级等差线、1级等差线、2级等差线…….。

综上所述，等倾线给出模型上各点主应力的方向，而等差线可以确定模型上各点主应力的差(12)。但对单色光源而言，等倾线和等差线均为暗条纹，难免相互混淆。为此，在起偏镜P1后面和分析镜P2前面分别加入四份之一波片Q1和Q2，得到一个圆偏振光场，最后在屏幕上便只出现等差线而无等倾线。

五. 实验内容及实验步骤

1.用对径受压圆盘测材料的条纹值f0

P 2 1 P

4

D

t

图12—3a对径受压圆盘 图12—3b对径受压圆盘材料条纹图

对于上图所示的对径受压圆盘，由弹性力学可知，圆心处的主应力为

1＝2P6P ，2 DtDt0＝1－2n8P2（kg/cm级） （其中0为模型条纹值） tDnf00t＝8P（kg/cm级.） Dn对应于一定的外载荷P，只要测出圆心处的等差条纹级数ｎ，即可求出模型材料的条纹值f0．实验时，为了较准确地测出材料条纹值，可适当调整载荷大小，使圆心处的条纹正好是整数级（如图12—3b所示）。 具体操作：

1）选择圆偏振光场暗场

2）在受力架上安装圆盘试验模型，使用法码加载，加载的放大倍数是10倍。在用法

码加载时，应用手托住法码，轻轻地放到法码托架上，不能一下子放到托架上，以免造成冲击载荷。

3）缓慢添加载荷，观察等差线的形成，适当调整载荷大小，使圆心处的条纹正好是

1级、2级。。。。。。 4）记录下圆心处的条纹正好是4级或5级所对应的载荷值。 5）拍照4级或5级等差线。 6）选择圆偏振光场明场 7）重复4）和5）。 2.获取啮合齿轮等倾线条纹图 １）选择平面偏振光场暗场；

2）在受力架上安装齿轮试验模型，使用法码加载，加载的放大倍数是10倍。建议加载砝码为1kg。

３) 使用同步回转操纵箱同步旋转起偏镜和分析镜。首先转动右侧的调节手轮，使操纵箱面板上的示值位于零；右手扶住调节手轮，不能松手，然后打开操纵箱面板上的开关； ４）每15调节手轮，（15、30、45、60、75、90），就得到相应示值的等倾线条纹图，尤其要注意齿轮边界处等倾线角度值．

0000000 5

5) 每15拍照一张。 ３．获取啮合齿轮等差线条纹图 １）选择圆偏振光场暗场

２）试验模型与加载方式同于２（２），建议加载荷P=50kg（加载砝码为5 kg），观察形成的等差线条纹图 3）拍照

4）选择圆偏振光场明场

5）载荷不变，观察形成的等差线条纹图 6）拍照。

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附：光测弹性仪简介及使用方法

图12-4光测弹性仪外形照片

1． 光测弹性仪的光学系统 1）光学系统示意图

图12-5光测弹性仪光学系统示意图

A：光源

C：准直镜 P1：起偏镜 Q1：1/4波片 M：受力架和模型

A C P1 Q1 M Q2 P2 L1 L2 S Q2：1/4波片 P2：分析镜 L1：视场镜 L2：投影物镜 S：光屏

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2）光学照明部分

由光源灯、隔热玻璃、聚光镜、可变光阑、滤光片和准直镜等部分组成。光源有白光灯、高压汞灯和钠光灯三种；使用高压汞灯并加绿色滤光片能获得较好的绿单色光；使用纳光灯不加滤色片就能获得较高纯度的黄单色光。隔热玻璃用于吸热，保护光学镜片；聚光镜使光源灯丝成像在可变光栏上，通过调节可变光栏的通光孔径得到较为理想的点光源；由于准直镜的焦点位于可变光栏处，所以经过准直镜后，光线成为平行光。 3）偏光部分

由起偏镜、分析镜和两片四分之一波片组成。通过不同的组合，可以得到不同的偏振光场。

光场 平面偏振光场 圆偏振光场 4）成像部分

由视场镜、投影物镜和投影屏组成。图像成像在投影屏上，通过调节投影物镜和投影屏的位置，可以改变成像的大小和成像的清晰度。如果使用照相机代替投影物镜和投影屏，则可将成像用照相底片记录下来。 2．光测弹性仪的一般使用方法

1) 将光测弹性仪的电源插头插到220伏的电源插座上。 2) 打开总电源开关，确认电源散热风扇正常运转。

3) 选择一种光源（白光、或汞灯、或纳光灯），不能同时打开二种或三种光源的开关。汞灯和钠光灯在打开电源开关后，须经7-15分钟后才能使亮度稳定；且在灯关闭后，须隔10分钟后才可以再次打开。 4) 根据试验要求选择一种偏振光场

光场 明场 平面偏振光场 暗场 明场 圆偏振光场 暗场 起偏镜刻度 1/4波片(1)刻度 1/4波片(2)刻度 分析镜刻度 0o 0o 0o 0o 0o 0o 45o 45o 0o 0o 45o 45o 0o 90o 0o 90o 明场 暗场 明场 暗场 起偏镜 1/4波片（1） 1/4波片（2） 分析镜 光轴位置 要 要 要 要 不用 不用 要 要 不用 不用 要 要 要 要 要 要 平行 垂直 平行 垂直 在调节起偏镜、四分之一波片和分析镜的刻度时，应双手拿住调节螺丝，均匀用力，轻轻调节。

5) 在受力架上安装试验模型，使用法码加载，加载的放大倍数是10倍。在用法码加载时，应用手托住法码，轻轻地放到法码托架上，不能一下子放到托架上，以免造成冲击载荷。 6) 调节投影物镜和投影屏在滑动导轨上的位置，得到大小合适且清晰的图像。在调节位置的过程中，应使用双手轻轻移动，不能使用爆力，避免投影物镜和投影屏翻倒摔坏。

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也可以使用照相机拍摄得到清晰的图像。

7) 使用完毕后，关闭电源灯的开关，稍过片刻，再关闭总开关。 8) 先卸下法码，然后卸下模型。 3.光测弹性仪的其它使用方法

1)使用同步回转起偏镜和分析镜，获取等倾线条纹图 (1). 选择平面偏振光场暗场；

(2). 转动同步回转操纵箱右侧的调节手轮，使操纵箱面板上的示值位于零； (3). 右手扶住调节手轮，不能松手，然后打开操纵箱面板上的开关；

(4). 依次调节手轮至不同的示值（例如30、45、60等），就得到相应示值的等

倾线条纹图（主应力方向）；

(5). 工作完毕后，将操纵箱面板示值调回到零，然后关闭面板上的开关。 2) 使用旋转分析镜补偿方法，求得测点的分数级条纹值 (1). 钠光光源； (2). 选择平面偏振光场；

(3). 使用同步回转操纵箱使两偏振片同步回转，使等倾线通过测点； (4). 继续同步回转动45o，此时偏振片光轴与测点的主应力方向成45o； (5). 选择圆偏振光场；

(6). 不使用同步回转箱，单独用手旋转分析镜，使测点附近的条纹（高级条纹或低级

条纹）移到测点上，转动的角度是φ； (7). 测点的条纹值是：

000n测点=n±φ/180o

其中：

n：测点附近、移到测点上的条纹值；

正负号：移动的是高级条纹时取负号，移动的是低级条纹时取正号；

4．光测弹性仪的使用和维护注意事项

1） 不能用手摸聚光镜、投影物镜、偏振镜、四分之一波片等光学镜片的表面，以免擦伤镜片表面，如果表面有灰尘，应使用吹气球吹除，或用骆毛笔轻轻拂去； 2） 准直镜、视场镜、偏振片、滤光片和隔热玻璃上的污物，应用洒精或乙醚脱脂棉擦去；

3） 四分之一波片上的污物不能用洒精或乙醚擦除，只可使用汽油脱脂棉擦除；

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4）光学零件应注意防霉、防潮、防灰，避免过冷和过热；

5）光源一定要在风扇冷却的情况下使用，不能同时使用二种或三种光源。

六、数据处理： 应力集中系数定义

Kmax

average式中，σmax是截面最大的应力；σaverage是横截面的平均应力。

用剪应力差法计算模型内部的应力

一．剪应力的计算

根据平面应力状态的应力圆得

xy112sin21Nfsin2 22d 其中，N表示计算点的等差线条纹级数，f表示材料条纹值，d表示模型的厚度，θ表示

σ1与水平轴的夹角，以逆时针方向为正；剪应力的符号按材料力学的符号规定：剪应力对单元体内任意点的矩为顺时针转时规定为正，反之位负。由公式计算的结果和剪应力符号的规定，即可确定剪应力的作用方向。 二．正应力σx计算

由弹性力学平面总是的平衡方程：

xxy0 xy对图示OE截面上i点的正应力σx，可由上式积分得

图12-6 OE截面截取图

xix00用有限差分代替上式

iixyydx

xix00xyyx

由此得到递推公式

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xi1xixyi其中，

i1x yxyi1ixyiABxyixyi1

iABxyi1CDxyi12CDxy2三．正应力σy计算

yx12cos2

其中，θ为水平轴与σ1方向的夹角，以逆时针方向为正； 四．主应力σ1和σ2的计算

1xy122

12xy1221用剪应力差法计算模型内部的应力实例一

求解齿轮OG截面上的应力分布．齿轮的等差线和等倾线见图所示．材料条纹值f＝15.0公斤／厘米，模型厚度为d=6毫米。

解：建立以O为原点的直角坐标系，见图示，把OG长分为10等份，每份长Δx＝OG/10＝2.3毫米，在OG上下等距离处作AB，CD两条平行线，使Δy＝Δx

图12-7a 齿轮OG截面截取图

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图12-7b 齿轮的等差线图 图12-7c 齿轮的等倾线图

一．OG，CD和AB截面上τyx，Δτyx的计算

12Nxy122f25.0Ndsin2

xyxyCDxyABxyi1ixyixyi12二．OG截面上σx，σy和σ1，σ2的计算

OG线上O点正应力

xO12Ocos260o198149.5kg/cm2

4xi1xixyiyx1i1x yNfcos2 d1xy122

12xy122三．画出OG截面σx、σy和τxy的分布曲线；图中的应力以“级”表示，换算成应力单位时

需乘以(f/d)； 四、静力校核

对实验结果进行误差分析：实验所得截面OK上的剪力Qexp和弯矩Mexp是

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Qexpfi0nn1ii1xi211ii1xi1xi1xi22QtheoQexpQtheoMtheo

Mexpfi0如果理论计算值是Qtheo和Mtheo，则误差为

eQeM100%

MtheoMexp100%七、实验报告要求：

1．使用简洁的语言叙述本次实验的目的、原理、步骤和方法； 2．列出使用设备和仪器的名称与型号；

3． 写出实验的原始数据、计算方法和计算结果（使用表格和图表）； 4． 对实验的结果进行讨论，要有本人对此次实验的独特见解； 5． 附件要齐全（包括原始记录、源程序等）。 附参考表格： 截面 CD AB OG  n xy xy n   xyxy n xy xyx y12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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八、 实验参考书：

1．《实验应力分析实验指导》，张如一、沈观林、潘真微编著，清华大学出版社； 2．《材料力学实验》，顾志荣、吴永生编著，同济大学出版社； 3．《光测力学》，赵清澄主编，上海科学技术出版社；

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