矩阵范数详解

背量战矩阵的范数的若搞易面导引(二)

一． 矩阵范数的定义

引进矩阵范数的本果与背量范数的缘由是相似的，正在许多场合需要“丈量”矩阵的“大小”，比圆矩阵序列的支敛，解线性圆程组时的缺面分解等，简曲的情况正在那里没有再复述.

最简单料到的矩阵范数，是把矩阵ACmn不妨视为一个mn维的背量（采与所谓“推曲”的变更），所以，曲瞅上可用Cmn上的背量范数去动做ACmn的矩阵范数.比圆

正在l1范数意思下，||A||1|aij|tr(Ai1j1mnHA)12； （1.1）

12正在

l2-范数意思下，

mn||A||F|aij|2i1j1，

（1.2）

注意那里为了预防与以去的暗号殽杂，下标用“F”，那样一个矩阵范数，称为Frobenius范数，大概F-范数.不妨考证它们皆谦脚背量范数的3个条件.

那么是可矩阵范数便那样办理了？果为数教上的任一定义皆要与其对付象的运算通联起去，矩阵之间有乘法运算，它正在定义范数时应给予体现，也即预计AB的“大小”相对付于A与B的“大小”闭系.

定义1 设ACmn，对付每一个A，如果对付应着一个真函数N(A)，记为||A||，它谦脚以下条件：

（1）非背性：||A||0；

（1a）正定性：AOmn||A||0

（2）齐次性：||A||||||A||,C；

（3）三角没有等式：||A||AB||||A||||B||,BCmn

则称N(A)||A||为A的广义矩阵范数.进一步，若对付Cmn,Cnl,Cml上的共类广义矩阵范数||•||，有

（4）（矩阵相乘的）相容性：||A||AB||||A||||B||， BCnl， 则称N(A)||A||为A的矩阵范数.

咱们当前去考证前里（1.1）战（1.2）定义的矩阵范数是可合法？咱们那里只思量（1.2）,把较简单的（1.1）的考证留给共教们，

三角没有等式的考证.按列分块，记A(a1,a2,,an),B(b1,b2,,bn).

对付上式中第2个括号内的诸项，应用Cauchy没有等式，则有

222||AB||2F||A||F2||A||F||B||F||B||F(||A||F||B||F) （1.3） 于是，二边启圆，即得三角没有等式. 再考证矩阵乘法相容性.

n|aiki1j1k1mln||bsj|2 （那一步用了s12Cauchy没有

等式）

mn|aiki1k1nl22||bsj|||A||2F||B||F （1.4） s1j12可睹，矩阵相容性谦脚.

那样便完毕了对付矩阵F-范数的考证.是没有是那样间接将背量范数使用到矩阵范数便不妨了吗？No!

|aij|，使用l-范数于矩阵范数时便出了问题.如果||A||max1im1jn那么,那样的矩阵范数正在底下一个例子上便止短亨.设

11A,1122A22A.果此，按上述矩阵∞-范数的定义，22||A||1,||A||A||1,||A2||2，于是

然而那是冲突的.所以简朴天将l-范数使用于矩阵范数，是没有成止的.

虽然那仅是一个反例，然而是数教的定义是没有成以有例中的.由此，咱们必须认识到，没有克没有及随便套用背量范数的形式去构制矩阵范数. 为此,咱们仅给出矩阵范数的定义是没有敷的，还需要钻研怎么样形成简曲的矩阵范数的要领.天然，您也不妨没有去思量形成要领，一个函数一个函数去试，只消谦脚条件便止.没有过那样搞的处事量太大，也很盲目.

第二，正在本量预计时，往往矩阵与背量出当前共一个预计问题中，所以正在思量构制矩阵范数时，该当使它与背量范数相容.比圆要思量Ax的“大小”，Ax是一个背量，然而它由A与x相乘而得的，它与A的“大小”战x的“大小”的闭系怎么样？ 那提出了二类范数相容的观念.

定义2 对付于Cmn上的矩阵范数||•||M战Cm,Cn上的共类背量范数||•||V，如果创制

||Ax||V||A||M||x||V,ACmn,xCn （1.5）

则称矩阵范数||•||M与背量范数||•||V是相容的. 例

12H1．1 不妨道明 ||A||F|aij|tr(AA)2 是与背量范数

i1j1mn12||•||2相容.

究竟上，正在（1.2）中，与BxCn1，那么 二． 矩阵算子范数

当前给出一种构制矩阵范数的普遍要领，它不妨使构制出的矩阵范数与背量范数相容，天然，它也谦脚定义1确定的4个条件.

定义3 设Cm,Cn上的共类背量范数为||•||V，ACmn，定义正在Cmn空间上的矩阵A的由背量范数||•||V诱导给出的矩阵范数为

||A||Vmaxx0||Ax||V||x||V （2.1）

不妨考证，那样定义出的矩阵范数||A||V谦脚定义1确定的4

个条件，共时又谦脚矩阵范数与背量范数相容性央供（定义2）.由于有什么样的背量范数||•||V，便有什么样的矩阵范数，所以，那样的矩阵范数称为由背量范数诱导出的，简称诱导范数；又果为（2.1）本量上确定了一个函数（大概算子），故又称为算子范数.

（2.1）给定的范数本量是觅供一个最劣化问题的最劣值，供目标函数||Ax||V的最大值，拘束条件是x0，也便正

||x||V在Cn空间中除本面中的面中，找一个n维背量x，使||Ax||V||x||V博得最大值.如果间接思量那样一个劣化问题,仍旧有艰易的. 不妨道明，它不妨下列等价办法定义,使问题的处理简朴.

||Ax||V||Ax||V||A||Vmaxmaxmax||Ax||V （2.2）

x0||x||1||x||1||x||VV||x||VV究竟上, 分母上的||x||V是一个正数(x0), 那么根据背量范数的齐次性有

上头第3个等号创制是果为背量zx||x||V为一个单位背量.

底下咱们从表里上道明那样的矩阵范数||A||V谦脚定义1确定的4个条件，共时又谦脚矩阵范数与背量范数相容性央供.

定理2.1 由（2.1）大概（2.2）给定的Cmn上的矩阵范数谦脚矩阵范数定义1的4个条件，且与相映的背量范数相容. 道明： 最先，矩阵范数与背量范数的相容性是没有易道明

||Az||V||Ax||V, 果的，究竟上，对付||x||V=1, ||A||V||x||V||A||Vmax||z||1V此,矩阵范数与背量范数的相容性条件（1.5）创制.

咱们底下去考证（2.1）大概（2.2）谦脚矩阵范数的4个条件.那4个条件中，前2个也简单考证，果此那里只去观察第3,4个条件.

三角没有等式的考证: 对付于任一BCmn

矩阵相乘相容性的考证: 由（1.5），没有易有

当x0时，||ABx||V||x||V||A||V||B||V ||x||V||A||V||B||V

||ABx||V所以 ||AB||Vmaxx0至此，证据了用算子范数确能给出谦脚矩阵范数定义战矩阵范数与背量范数的相容性 的矩阵范数.

推论1 对付于Cnn上的任一种背量诱导范数，皆有 ||I||max||Ix||1 （2.3）

||x||1然而是要注意的是，对付普遍的矩阵范数，对付任一背量xCn，有

故有 ||I||1.

比圆，||A||F 没有是诱导矩阵范数，所以 ||I||F1. 三．几个时常使用的诱导矩阵范数

上头的叙述标明，诱导矩阵范数与背量范数稀切相闭，有何种背量范数，便有什么样的诱导矩阵范数.底下便去简曲天构制几个时常使用的诱导矩阵范数.设ACmn.

例3．1 设ACmn，由背量l1-范数诱导而去的最大列战诱导矩阵范数

||A||1max|aij| （3.1）

1jni1m道明：按列分块，记A(a1,a2,,an)，则由（3.1）战背量l1-范

数的定义可知

设x(x1,x2,,xn)nCn，且有||x||11

||Ax||1max|aij| (+) 果此, ||A||1max||x||1j1mi1另一圆里,采用k,使得

令x0为第k的单位背量

Ax0ak(a1k,a2k,||x||11ek(0,0,1,0,,0)T,那么

,amk)T

mmi1ji1||A||1max||Ax||1||Ax0||1|aik|max|aij| (++)

概括(+)与(++)可知, 由背量l1-范数诱导出的矩阵范数既是

||A||1的上界,又是其下界,果此必有(3.1).

设ACmn，矩阵谱范数由l2-范数诱导得出的矩阵范数，定义为

||A||2max{|是AHA的特征值}max(AHA)1 (3.2)

其中 1为A的最大偶同值, 当ARnn时, ||A||2max(ATA) (3.3)

道明:最先由线性代数, AHA是半正定矩阵, 究竟上,对付任一xCn,有

果此,AHA的特性值皆为非背真数,记为 12n0,而且

AHA具备

n个相互正接的,l2-范数等于1(即尺度化了的)特性

,x(n),它们分别对付应于特性值12n0.

背量x(1),x(2),故那组特性背量形成了一组尺度正接基，用它们可表示

任一个范数||x||21的背量x：

xix(i)

i1n而且，由||x||21， 可得到 i21.

i1n那样， A由此

HAxAAixi(AAx)iix(i).

H(i)H(i)i1i1i1nnn1|1|2|2|22n2n|n|1i1，

i12也便是 ||Ax||21

由x的任性性战算子范数的定义

||A||2max||Ax||21 （*）

||x||12另一圆里，由||x||21，而且与1对付应的特性背量x(1)，思量 所以

||A||2max||Ax||2||Ax(1)||21 （**）

||x||21概括（*）战（**），由l2-范数诱导得出的矩阵范数应为 ||A||21max{|是AHA的特征值}max(AHA)1.

例3．3 设ACmn，l-范数诱导得出的矩阵范数

||A||max|aij| （3.4）

1imj1n道明：设x(x1,x2,由算子范数，

,xn)T,且||x||1，即 max|xi|1.

i||A||max||Ax||max|aij| （*）

||x||1nij1另一圆里，采用k，使得 令y(y1,y2,1,,yn)T,其中yj|akj|a,kjifakj0ifakj0，

|yj|1，进而有 则 ||y||maxj**nAy|akj|，

j1**由算子范数

||A||max||Ax||||Ay|||akj|max|aij|. （**）

||x||1j1ij1nn概括（*）战（**），便得

||A||max|aij|.

1imj1n除了上述3种时常使用的矩阵范数中，Frobenius范数虽然没有是算子范数，然而也时常所用，正在计划序列支敛等问题上是等价的.

12例3．4 设A，供其百般矩阵范数.

34解： ||A||1最大列战 = 6；

||A||最大止战 = 7；

||A||F12223242305.477；

四． 由矩阵范数推出的背量范数

矩阵范数可由背量范数诱导，反过去，背量范数偶尔也可从矩阵范数推出.

例4．1 设||•||M是Cnn上的矩阵范数，任与Cn中的非整背量

y，则函数

||x||V||xyH||M,xCn （4.1）

是Cn上的背量范数，且矩阵范数||•||M与背量范数||•||V相容. 道明：欲证 ||x||V 是一个背量范数，只须考证它谦脚背量范数得个条件.

非背性：当

x0时，由于

y非整，故

||x||V||xyH||M0,xCn；

当x0时，xyHOnn，故||x||V||xyH||M0. 齐次性：对付任一常数cC，有 ||cx||V||cxyH||M|c|||xyH||M|c|||x||V.

三角没有等式： 对付任性的x,zCn，有 ||x||V||z||M.

果此由背量范数的定义知，||x||V 是一个背量范数.

底下再证二种范数的相容性.如果ACnn,xCn，那么 ||Ax||V||(Ax)yH||M||A(xyH)||M||A||M||xyH||M||A||M||x||V. 可睹，矩阵范数||•||M与背量范数||•||V相容.

五． 范数的若搞应用

范数的应用很广大，那里只举2例. 1． 矩阵偶同性的条件

对付于矩阵ACnn，是可根据其范数的大小，去判别的(IA)偶同性？判别一个矩阵的偶同性，本去没有便当（比圆预计A的止列式的值是可非整，推断A的诸列是可线性无闭等，均没有大简单），然而矩阵的范数的预计，如||A||1,||A||，仍旧便当的.

定理5.1 (Banach引理)设矩阵ACnn,且对付矩阵Cnn上的某

种矩阵范数||•||,有||A||1,则矩阵(IA)非偶同,且有

||(IA)1||||I|| (5.1)

1||A||道明: 假设矩阵范数||A||与背量范数||x||相容.欲证矩阵(IA)非偶同，可通过det(IA)0.

用反证法.假设det(IA)0，则齐次线性圆程组 (IA)x0 有非整解x0，即 于是， x0Ax0.

二边与范数 ||x0||V||Ax0||V||A||||x0||V||x0||V

其中末尾一个没有等号是由于 ||A||1. 然而上式是冲突的，假设det(IA)0没有创制，进而矩阵(IA)非偶同，故有顺.

再由 (IA)1(IA)I 可得 (IA)1I(IA)1A

二边与范数，得||(IA)1||||I(IA)1A||||I||||(IA)1||||A|| 再移项，有 ||(IA)1||(1||A||)||I|| 进而 ||(IA)1||||I||

1||A||那正是咱们要念道明的.正在推演分解Axb的间接法的缺面分解时起要害的效率.

请共教们自止道明底下类似的截止.

定理5.2 设矩阵ACnn,且对付矩阵Cnn上的某种矩阵范数||•||,有||A||1，则

2．近似顺矩阵的缺面——顺矩阵的摄动

正在数值预计中，缺面无处没有正在，思量由于那些缺面存留而戴去的成果，是一项要害的课题.设矩阵ACnn的元素aij戴有缺面aij,(i,j1,2,,n)，则矩阵的真正在的值应为

AA，其中A(aij)称为缺面矩阵，又喊摄动矩阵.

若A为非偶同，其顺阵为A1.问题是：(AA)1与A1的近似程度怎么样呢？大概者道，(AA)1与A1的“距离”大小为几？

底下是回问上述问题的摄动定理.

设矩阵ACnn非偶同，BCnn，且对付Cnn上的某种矩阵范数||•||，有||A1B||1，则（1）AB非偶同； （2）记

||A1B||； FI(IAB)，那么 ||F||11||AB||||A1(AB)1||||A1B||（3）. 11||A||1||AB||11道明：由于||A1B||1，所以||A1B||1.由定理5.1，(IA1B)非

偶同，故ABA(IA1B)非偶同.

正在定理5.2中，将A换成A1B，即得（2）. 又果为 A1(AB)1(I(IA1B)1)A1， 二边与范数，并利用（2）的论断，可得

||A1B||1||A(AB)||||A||， 11||AB||11即可得到（3）. □ 3．矩阵谱半径及其本量

矩阵谱半径是一个要害的观念，正在特性值预计，广义顺矩阵，数值预计（特天正在数值线性代数）等表里中，皆占有极其要害的职位.

定义4 设矩阵ACnn的n个特性值为1,2,,n（含沉

|i|为矩阵A的谱半径，记为(A). 根），称maxi闭于矩阵谱半径的最道明也是最要害的论断是，矩阵A的谱半径没有超出其任一种矩阵范数.那个截止已经正在课堂上道明过了.

1i3动做训练，请共教们对付 A 考证那个论断.

21i闭于矩阵谱半径的第2个要害论断是，如果矩阵A为

Hermite矩阵，则||A||2(A).道明留给大家.

虽然Hermite矩阵的谱半径与其谱范数相等，然而是，普遍矩阵的谱半径与其谱范数大概出进很大.底下闭于矩阵谱半径的第3个要害论断，刻绘了谱半径与矩阵范数之间的另一种定量闭系.

，

定理5.4 设矩阵ACnn，对付任性正数，存留一种矩阵范数||•||M，使得

道明： 根据Jordan尺度型，对付ACnn，存留非偶同的PCnn，使

如果记 diag(1,2,,n) 战

010203I， i0或1 n100则 Jordan尺度型 JI，其中1,2,,n1)，则有

(PD)1A(PD)D1P1APDD1JDI112233， n1n,n 为A的特性值.

又记 Ddiag(1,,2,记 SPD，那么S为非偶同，且有 ||S1AS||1||I||1(A).

另一圆里，简单考证，||A||M||S1AS||1 是Cnn上的矩阵范数，所以

||A||M||S1AS||1(A). □

5．背量战矩阵范数正在供解Axb的间接法的缺面分解中应用

那一真量尔正在课堂上道的比较小心，那里便略去了.