２０１０年第１期 数学教育研究 ・ ２９ ・ 谈平面解析几何中的分类讨论 翟荣俊 （江苏省无锡市洛社高级中学 ２１４１８７） 课本题背景：若两条直线ａｘ＋２ａｙ＋１—０和（ａ～ １）ｚ一（ｎ＋１）ｙｍ１—０互相垂直，求ａ的值．（苏教版必 修二Ｐ８７习题６） 学生误解：因为Ｚ１：Ａ１ｚ＋Ｂ１ ＋Ｃｌ一０，ｌｚ：Ａｚｚ＋ 体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何 问题的能力；培养自身运动变化、相互联系、相互转化 的辩证唯物主义观点．而在这其中，对解析几何问题思 考的全面性就显得尤为重要，分类讨论的问题在解析 Ｂ２ ＋Ｃ２＝０，ｚ１上ｚ２㈢Ａ Ａ２＋Ｂ１Ｂｚ一０，所以本题中就 有ａ・（口一１）＋２ａ・［一（ｎ＋１）］一０，从而得到口 一。～ ２口 —２ａ一一０ —３ａ—Ｏ－＞ａ一０或ａ一一３． 几何的学习中随处可见．纵观苏教版必修二的课本，随 处可以找到要求学生分类研究，并且容易出现遗漏导 致错误的一些问题，举例如下： 正确解答：本题中当ａ一０时，直线ｎｚ＋２ｎ ＋１— １对位置的分类讨论 问题１：求过点Ｍ（３，一４），且在两坐标轴上截距 ０无意义，所以口一０要舍去．当ｎ≠０， 一一÷，所以 （ｎ一１）ｘ－－（ｎ４－１）ｙ一１—０得斜率为 一 一一３． 一２ 口 相等的直线方程．（苏教版必修二Ｐ７７练习３） 问题解析：位置一：直线在两坐标轴上截距不为０ 时，可设为 ＋上一１，因为过点Ｍ（３，一４），代入可求 “ “ 思考：ｚ１：Ａ１ｚ＋Ｂ１ｙ＋Ｃ１—０，ｚ２：Ａ２－ｚ＋Ｂ２ｙ＋Ｃ２ ０，是否有ｚ 上￡ ㈢Ａ Ａ２＋Ｂ Ｂｚ一０７ 本题习题：直线ｚ。和ｚ 的方程分别是Ａ ｚ＋Ｂ ＋Ｃ 一０和Ａ ｚ＋Ｂ ｙ＋Ｃ２—０，其中Ａ ，Ｂ 不全为０， —出ｎ一一１，所以此时方程为．ｚ＋Ｙ＋１—０； Ａ ，Ｂ２也不全为０，试探索：当ｚ 上ｚ 时，直线方程中的 系数应满足什么关系？（苏教版必修二Ｐ８８习题１１） 分析：本题的关键是抓住垂直的本质，合理开展分 类，最终加以合并． 位置二：直线经过原点（０，０），此时不可以使用截 距式方程，可设为 一 ｚ，因为过点Ｍ（３，一４），代人可 求出ｋ一一＇５ －，所以直线方程为４ｘ＋３ｙ＝０ ｏ 综上所述：过点Ｍ（３，一４），且在两坐标轴上截距 相等的直线方程为ｚ＋ ＋１—０或４ｚ＋３ｙ＝０． 问题２：过点Ｐ（１，２）作一条直线￡，使￡与点Ｍ（２， （１）当ｚ 与ｚ 斜率都存在的时候，ｋ 一一： ，ｋ ＝ 一 ，由课本结论ｚ 上ｚｚ ｋ 一一１ （一Ａ １）・ ３）和点Ｎ（４，一５）的距离相等，求直线Ｚ的方程．（苏教 版必修二Ｐ１１７习题１５） 问题解析：位置一：过点Ｐ（１，２）所作直线ｆ∥ＭＮ， 是ＭＮ一一４ 愚 一一４，此时直线方程 一２ ４ｚ＋ 一６—０； ｆ一 １一～１ Ａ Ａ ＋Ｂ Ｂ 一０ ＼ 上）２， ４（ｚ一１） （２）当ｌ 斜率不存在，ｚ 斜率为０时，仍然满足ｚ Ｊ＿Ｚ２，此时Ｂ１—０，Ａ ２一Ｏ ＡｌＡ ｚ＋Ｂ１Ｂ２—０， （３）当ｚ 斜率不存在，ｚ。斜率为０时，仍然满足ｚ 位置二：过点Ｐ（１，２）的直线ｚ还经过线段ＭＮ的 一１—０ 中点Ｑ（３，一１），此时直线斜率 一 尸ｑ一 ０ １ 一一 ＿ｌ ｚ２，此时Ｂ２—０，Ａ１一Ｏ Ａ１Ａ２＋Ｂ１Ｂ２—０， 综上（１）（２）（３）可知，当ｚ。Ｊ－ｚ 我们可以得到 Ａ１Ａ２＋Ｂ１Ｂ２—０ 々 々 昔，此时直线方程Ｙ一２ ＋２ 一７—０ 昔（ｚ～１） ３ｘ＋２ｙ一７一 反之：当Ａ Ａ ＋Ｂ Ｂｚ一０我们是否能得到ｚ 上 Ｚ２ ７ ｏ；综上所述：所求直线ｚ的方程为４ｘ＋ｙ一６一。或３－ｚ （１）当Ａ ，Ｂ１，Ａ２，Ｂ２均不为０时，Ａ Ａ：＋Ｂ Ｂ 一 １ ２一一１，从而得到Ｚ１上Ｚ２； （２）当Ａ 一０时，ｋ 一０，要注意此时的Ｂ ≠０， Ａ Ａ ２＋Ｂ１Ｂ２一Ｏ Ｂ２—０，所以ｚ２斜率不存在，得到ｚ１ 上ｆ２； 思考与感悟：平面解析几何是用代数的知识解决 几何中的问题，其本质是研究的平面内的点，直线，曲 线等元素及其它们之间的关系．这其中，位置的确定很 重要，很多时候，需要对要研究的对象展开讨论，此时 要做到考虑全面，分类必须是周全的，既不重复、也不 遗漏． Ｏ （３）同理，当Ａ２—０时，Ａ１Ａ２＋Ｂ１Ｂ２—０可以得到 ｋｚ一０，ｋ 不存在，从而ｚ 上ｚ ． 归纳：通过上面的分类讨论，我们可以发现，当ｚｔ： Ａ１ｚ十Ｂ１Ｙ＋Ｃ１ ０，ｚ２：Ａ２ｚ＋Ｂ２ ４－Ｃ２—０，若ｚｌ上 ∞ Ａ Ａ ｚ＋Ｂ Ｂ 一０，但是要注意直线方程有意义的前提 ２对斜率存在性的分类讨论 问题３：已知直线ｚ经过点（一２，３），且原点到直线 是Ａ ，Ｂ 不全为０，Ａ ，Ｂ 也不全为０，这一要求应提 前考虑，然后展开研究． ｚ的距离是２，求直线ｌ的方程．（苏教版必修二Ｐ９７习 题１２） 问题解析： 情况１：直线斜率存在，设为ｋ，此时方程可写为Ｙ 一思考与感悟：解析几何的研究是要让学生学会运 用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系； ３一 （ｚ＋２） ＿ｚ—ｙ＋２ｋ＋３—０，则原点到直线ｌ的 ・ ３Ｏ ・ 数学教育研究 ２０１０年第１期 距离 ＝ －－２，平方整理可得到：４ｋｚ＋１２ｋ＋９＝ ，所以此时直线方程为Ｙ一３一 ￣／ ‘十１ 问题解析：此类题型是解析几何中常考的问题，研 究的是参数的取值范围，考查的确是学生观察、分类分 ４ ＋４ ｋ一一 一析和计算的能力． 曲线ｚ一￣／１一Ｙ 对应的是一个半圆ｚ ＋Ｙ 一１（ ≥Ｏ）． 丧（ｚ＋２） ５ ＋１２ｙ一２６＝０； 情况２：直线的斜率不存在，此时直线方程为 ＝ ２，原点到直线的距离也为２，满足要求． 综上分析，所求直线ｚ的方程为５ｚ＋１２ｙ一２６—０ 情况１：直线Ｙ—ｚ＋ｂ与半圆相交，此时直线在 轴上的截距ｂ在ＭＮ之间，所以一１≤６≤１； 一或 一一２， 问题４：求过原点且与圆（ 一１）。＋（ 一２）。一１相 情况２：直线Ｙ—ｚ十ｂ与半圆相切，由图像分析， 此时６＜Ｏ，利用相切，圆心到直线距离等于半径，可得 到６一一 切的直线方程．（苏教版必修二Ｐ１０６练习３） 问题解析：首先应判断点与圆的位置关系，因为（Ｏ １） ＋（Ｏ一２） ＞１，点在圆外，有两种情况． 情况１：直线斜率存在，设为ｋ，ｙ—ｋｘ即ｋｘ— 一 ０，圆心为（１，２），半径ｒ一１，圆心到此直线的距离为ｄ ＝ ／ｋ ＋１ 一１一ｒ，平方整理可得到ｋ 一４ｋ＋４一ｋ ＋１ ，一÷，此时直线方程为÷ｚ— ＝０即３ｘ－－４ｙ＝０； 情况２：直线的斜率不存在，此时直线方程为ｚ一 ０，圆心为（１，２）到直线 一０的距离 一１一ｒ，满足． 综上，所求直线ｚ的方程为３ｚ一４ｙ＝０或 ＝０． 思考与感悟：在解析法中，直线的斜率扮演着重要 的角色．直线的斜率往往是我们解决解析几何问题的 切入口和转化枢纽，在实际运用斜率时，应该对它有全 面的了解和认识，灵活的“观察”、“思考”和“探究”，对 直线斜率的存在与否作全面考虑，才能真正的用好斜 率这个有力工具． ３对参数范围的分类讨论 问题５：已知平面内两点 Ａ（一４，１），Ｂ（３，一１），直线 一 ／ ｋｘ＋２与线段ＡＢ恒有公共 。＼ 点，求实数ｋ的取值范围．（苏 一， Ｄ 教版必修二Ｐ１１７习题１７） 问题解析：本题的常规解 决首先要正确的画图，了解直线特点，直线Ｙ＝ ｚ＋２ 经过定点Ｐ（０，２），斜率存在为是，画图分析 情况１：当直线斜率为正时，直线要与线段ＡＢ恒 １ 有公共点，则 ≥ｋｖａ一三Ａ； 情况２：当直线斜率为负时，直线要与线段Ａ－Ｂ恒 有公共点，则 ≤愚 一一１； 综上分析，直线Ｙ一尼 ＋２与线段ＡＢ恒有公共 １ 点，则 ≥÷或ｋ≤一１． 本题也可以通过求交点，然后利用交点在线段ＡＢ 上，横（纵）坐标的范围确定实 数ｋ的取值范围． Ｍ 问题６：若直线Ｙ—ｚ＋ｂ ／ ／一 与曲线ｚ一￣／１一 恰有一个 公共点，求实数ｂ的取值范围． ／Ｎ （苏教版必修二Ｐ１１７习题２３） ／ 综上分析，所以所求参数６的取值范围为一ｌ≤６≤ １或６一一 思考与感悟：在解析几何教学中，求解参数范围或 与参数有关的题目是一类既富有思考情趣，又融众多 知识和技巧于一体且综合性强、灵活性高的挑战性问 题．笔者从教学实践中感到，要克服学生的心理障碍， 必须着力向学生讲清楚解决此类问题的基本的思考途 径——先数形结合，再合理分类．逐步突破． ４对曲线方程的分类讨论 问题７：已知Ｍ（ｘ， ）与两 个定点０（０，Ｏ），Ａ（３，Ｏ）的距离 Ｍ 之比为÷，那么点Ｍ的坐标应 ＼一 满足什么关系？（苏教版必修二 ０ Ａ Ｐ１０３习题１０） 问题解析：由题目要求可以得到两种情况 情况１：丽ＩＯＭＩ一 １ 磊一÷ 平方整理可得：４（ｘ ＋ 。）一（ｘ－３）。＋ｙ。 ４ ＋ ４ 一ｚ 一６ｘ＋９＋ ，所以可以得到点Ｍ的坐标应满 足３ｘ ＋３ｙ ＋６ｘ－－９—０即ｚ ＋ｙ ＋２ｘ－３一ｏ； 情况２： 一丢 ｙ ￣／（ｚ一３） ＋ 一１ Ｍ ￣／ 。ｘ 。 ｚ。。。。。＋。。’’。’ ’。ｙ。。。—２— ２ ／／平方整理可得： ＋ｙ。＝ ／１ Ｄ ４（ｘ－－３） ＋４ｙ ＋ｙ 一４ｘ 一２４ｘ＋３６＋４ｙ 所以可以得到点Ｍ的坐标应满足３ｘ。＋３ｙ 一２４ｘ ＋３６＝０即ｚ。＋ 一８ｚ＋１２一ｏ； 综上分析，所以点Ｍ的坐标应满足ｚ ＋Ｙ ＋２ｚ一 ３—０或 ＋ 。一８ｚ＋１２＝０． 思考与感悟：求解曲线方程（轨迹方程），曾经是解 析几何中一个综合度很强，灵活性高，难度较大的内 容．近两年，因为考试要求的调整，已经逐步在降低要 求，但是在苏教版的教材中出现这样的习题，也是在提 醒我们，基本的求曲线方程的方法还是应掌握的．首先 还是应确定曲线求解的类型，列出关系式，从而根据设 点写出方程，并化简得到结果． ［责任编校钱骁勇］