山东省济南第一中学2018届高三上学期期末考试数学理试

高三数学试题（理科）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟， 注意事项：

1． 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字

体工整、笔迹清楚.

2． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿

纸、试题卷上答题无效.

3． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.

第I卷（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A{xx22x30},B{xyln(2x)}，则AA．(1,3) B．(1,3] C．[1,2) D．(1,2) 2．若复数z满足z(1i)42i(i为虚数单位），则|z|( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 10 3．某几何体的三视图（单位：cm）如右图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是( ) A. 2cm B. 3cm C. 33cm D. 3cm 4．已知函数f(x)sin(x)(0,333B( )

1 1 正视图 2 侧视图

3俯视图 第3题图

2)的最小正周期为，且其图像向左平移

个单位3后得到函数g(x)cosx的图像，则函数f(x)的图像( ) A．关于直线x12对称 B．关于直线x5对称 125C．关于点(,0)对称 D．关于点(,0)对称

12125．甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为( )

B． C．D．

33 410

6．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，f(x1)f(1x)，且当x[0,1]A．

1211）时,f(x)log2(x1,则f(31)= ( )

A．0 B．1 C．1 D．2 7.下列说法正确的是( )

A. “x0”是“ln(x1)0”的充要条件

B. “x2，x3x20”的否定是“x2,x3x20” ．．

C. 采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学

均被选出，则该班学生人数可能为60

D. 在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1,2)(0)，若X在(0,1)内取值的概

率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为0.8 8．设F1,F2为椭圆

x29y2522点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则1的两个焦点，

PF2PF1的值为( ) A．

514 B．

C．D．

9 913

5454xy8≥09．已知变量x,y满足xy5≤0,若目标函数zaxy(a0)取到最大值6，则a的值为

y1≥0( )

55A．2 B． C．或2D．2

44

13,1x010．已知函数g(x)x1，若方程g(x)mxm0有且仅有两个不等的

x23x2,0x1实根，则实数m的取值范围是( ) A．(911,2][0,2]B．(,2][0,2] 44

C．(,2][0,2)94D．(,2][0,2)

4

开始 11i1,S0 aisini 3第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分． 11.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为_______.

SSai ii1 i8? 是 否 输出S 结束 第11题图

112．axx的展开式中x项的系数是15，则展开式的所有

52项系数的和是_______.

13．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点D为AC中点，点E满足BEBC，则AEBD31＝．

14.如图，长方形的四个顶点为O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2)， 曲线yx经过点B．现将一质点随机投入长方形OABC中，

yCBy=x则质点落在图中阴影区域的概率是__________. 15．已知双曲线

yx1(a0,b0)的渐近线被圆 22ab22x2y26x50截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为__________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）

O第14题图 Ax1,sin2x）已知向量m=（2cosx,3），n=（，函数f(x)mn． （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且f(C)3,c1，ab23，且

2ab，求a,b的值．

17．（本小题满分12分）

已知数列an的前n项和是Sn，且Snan1(nN)．

13（Ⅰ）求数列an的通项公式；

（Ⅱ）设bnlog4(1Sn1)(nN)，Tn11bbbb12231，求Tn的取值范围. bnbn118．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥CPAB中，ABBC,PBBC,PAPB5,AB6，BC4,点

M是PC的中点，点N在线段AB上,且MNAB．

（Ⅰ）求AN的长；

（Ⅱ）求二面角MNCA的余弦值．

第18题图

19．（本小题满分12分）

甲乙两个地区高三年级分别有33000人，30000人，为了了解两个地区全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个地区一共抽取了 118名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在内为优秀． 甲地区：

乙地区：

（Ⅰ）计算x，y的值；

（Ⅱ）根据抽样结果分别估计甲地区和乙地区的优秀率；若将此优秀率作为概率，现从

乙地区所有学生中随机抽取3人，求抽取出的优秀学生人数的数学期望； （Ⅲ）根据抽样结果，从样本中优秀的学生中随机抽取3人，求抽取出的甲地区学生人

数η的分布列及数学期望．

20．（本小题满分13分）

如图所示，已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1,0),C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M（4,0）的直线

l与抛物线C2分别相交于A、B两点.

（Ⅰ）写出抛物线C2的标准方程； （Ⅱ）求证：以AB为直径的圆过原点；

（Ⅲ）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2

第20题图

上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．

21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)ln(1x)xk2x,(k0,且k1)． 2（Ⅰ）当k2时，求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求f(x)的单调减区间；

*（Ⅲ）当k0时，设f(x)在区间[0,n](nN)上的最小值为bn，令anln(1n)bn，

求证：

aaa2n1a1a1a3132an11,(nN*)． a2a2a4a2a4a2n

济南一中2018—2018学年度第一学期期末考试

高三数学试题（理科）答案

一、 选择题

1-5 CDBCD 6-10 CDBBC 二、 填空题

11.312.64 13.214.215.632

三、解答题

16.（1）f(x)mn(2cos2x,3)(1,sin2x)2cos2x3sin2x

cos2x13sin2x2sin(2x6)1. ……………………3分

故最小正周期T22……………………5分 (2）f(C)2sin(2C6)13，sin(2C6)1，

C

是三角形

内

角

，

∴

2C62C6. ……………………7分

b2a2c2cosC32ab2

即

a2b27． ……………………9分

将ab23代入可得：a212a27，解之得：a23或4, a3或2，b2或3……………………11分

ab,a2,b3 ……………………12分

17.

（

1

）

当

n1时，

a1s1S1313a11a4， 1……………………1分 当n2时，Sn1an1S131anSn1(anan1)0nan1 Sn11343an11即：

：

由

，∴an是以

31为首项，为公比的等比数44列． ……………………4分 故an6分

（2）由（1）知1Sn131n11()3()n(nN) …………………44411an1()n1， 341bnlog4(1Sn1)log4()n1(n1)………………8分

41111bnbn1(n1)(n2)n1n2

11111111111()()()bnbn12334n1n22n2

Tnb1b2b2b3 所以

11Tn. ………………12分 6218.解：（1）方法一、如图，分别取AB、AC的中点O、Q,连接OP、OQ，设ANa

以O为坐标原点，OP为x轴，OA为y轴，OQ为z轴建立空间直角坐标系，

0，0),C(0,3，4),M(2，-,2),N(0，3-a,0) 则P(4，0),MN(-2，-a，-2), 0，0)，则AB(0，-6，设N(x0，99由MNAB得ABMN0,即-2a-a6200a=

22所以AN32929…………………6分 2方法二：如图，取AB的中点为O，PB的中点为Q，连接MQ、NQ，

M、Q分别为PB、PC的中点

MQBC 又ABBCABMQ

又MNABAB平面MNQ

ABNQ，又PAPB且O为AB的中点

OPABNQOP

又Q为AB中点 N为OB中点

BN1OB1AB3

242AN9………………6分

23（2）MN(2，0，-2),NC(0.，4),

22x02z00mMN03设平面MNC的一个法向量为n1x0,y0,z0，则

y04z00mNC02令z03，则x03,y08，即n13,8,3………………9 分

平面ANC的一个法向量为n20,0,1， 则cosn1,n2n1n2n1n2382 82故二面角MNCA的余弦值为12分

382. ………………8219.解(I )x6,y7………………4分

(II)甲地区优秀率为ξ的数学期望为E()322,乙地区优秀率为,0,1,2,3,5112B(3,)， 526.………………6分 55312C20C10C205795(III)P03，P1 3C30203C30203213C10C2045C106， P2P333C30203C30203 η的分布列为

η P 0 57 2031 95 2032 45 2033 6 203 …………

……10分

η的数学期望为E()05795456+1+2+3=1.………………12分 203203203203220解： (1)设抛物线的标准方程为y2px(p0), 由F(1,0)得p2,

C2:y24x; …………………

3分

(2) 可设AB:x4ny,联立y24x得y24ny160,

设A(xy221y21,y1),B(x2,y2),则y1y216,x1x21616 OAOBx1x2y1y20,即以AB为直径的圆过原点; 分

(3)设P(4t2,4t),则OP的中点(2t2,2t)在直线l上， 2t242nt4t得n1t0 4t2nn1,直线l：xy4………………10分

设椭圆Cx2y21:a2a211，与直线l:xy4联立可得： 2a21y28a21ya417a2160

0，a342∴长轴长最小值为34………………13分

21(1)当k2时，f(x)ln(1x)xx2f(x)11x12x f(1)32,f(1)ln2………………2分

曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为：yln232(x1)

即 3x2y2ln230………………3分 （2）f(x)x(kxk1)1x,x(1,)

①当k0时，f(x)x1x,令f(x)0则x0 ………………8

f(x)的单调减区间为：（0，）②当

1k1k0即0k1时，令f(x)0则0x kk1kf(x)的单调减区间为：（0，）

k③当

1k1k0即k1时，令f(x)0则x0 kkf(x)的单调减区间为：（1k,0）……………………7分 k （3）当k0时，f(x)在[0,n]上单调递减

bnf(n)ln(1n)n

anln(1n)bnn,(nN*)………………9分

a1a3a5a2n1135(2n1)a2a4a6a2n2462n133557(2n1)(2n1)1224262(2n)22n11222n12n12n122n12n12n1

………………12分

aaa2n1a1a1a313a2a2a4a2a4a2n(31)(53)(2n12n1) 2n112an11,(nN*)………………14分