研究生课程《广义函数与Sobolev空间》教学大纲

研究生课程《广义函数与Sobolev空间》教学大纲

课程编号：Math2085

课程名称：广义函数与Sobolev空间

英文名称：Distributions and Sobolev spaces

开课单位： 数学科学学院

开课学期： 秋

课内学时： 36

教学方式： 讲授

适用专业及层次：应用数学专业硕士

考核方式： 考试

预修课程： 实变函数、泛函分析

一、教学目标与要求

本课程较全面地介绍广义函数与Sobolev空间的基本理论和方法，重点是基本函数空间、基本空间上的广义函数、广义函数的卷积、广义函数的Fourier变换、 Lebesgue空

1

间中的Fourier变换、偏微分方程的基本解、Sobolev空间的定义与性质、Sobolev空间中函数的逼近定理、延拓定理、迹定理与Sobolev不等式等，难点是理解广义函数的支集与奇支集的概念、广义函数的局部构造、广义函数的卷积运算的性质、Schwartz核定理、空间中Fourier变换的定义、 Paley-Wiener-Schwartz 定理、Sobolev空间中的逼近定理、 延拓定理、迹定理与紧嵌入定理的证明等。 通过本课程中基本概念、基本理论与方法的阐述与论证，着重培养研究生的抽象思维能力、逻辑推理能力与数学计算能力，提高研究生的数学素养。在重视数学论证的同时，强调数学概念的物理、力学等实际背景，培养研究生应用数学知识解决实际问题的能力。通过本课程的学习，要求研究生掌握广义函数与Sobolev空间的基本理论和方法，为后继课程的学习和从事相关问题研究奠定基础。

二、课程内容与学时分配

第一章 广义函数论（8学时）

1．1 基本空间

1．2 广义函数

1．3 广义函数的局部性质

1．4 广义函数

1．5 广义函数的卷积

1．6 张量积与和核定理

2

第二章 广义函数的Fourier分析（10学时）

2．1 速降函数及其Fourier变换

2．2 速降函数空间上的广义函数及其Fourier变换

2．3 Lebesgue空间中的Fourier变换

2．4 Paley-Wiener-Schwartz 定理

2．5 偏微分方程的基本解

第三章 Sobolev空间（18学时）

3．1 Hölder空间

3．2 Sobolev空间

3．3 逼近理论

3．4 延拓理论

3．5 迹定理

3．6 Sobolev不等式

3

3．7 紧嵌入

3．8 相关知识

3．9 相关函数空间

四、教材

1. 广义函数论教材： 齐民友，线性偏微分算子引论（上册），科学出版社，1986.（第一、二章）

2. Sobolev空间教材： L.C. Evans, Partial Differential Equations, Graduate studies in Mathematics, Volume 19, American Mathematical Society, 1998 （第五章）

主要参考书

1.J. Barros-Neto. An introduction to the theorey of distributions, Marcel Dekker, New York, 1973

2. R. A. Adams. Sobolev Spaces. Academic Press, New York, 1975

3. 王元明，徐君祥，索伯列夫空间讲义，东南大学出版社，2003

4．陈恕行，现代偏微分方程导论，科学出版社，2005

4

5. 伍卓群，尹景学，王春朋，椭圆与抛物型方程引论，科学出版社，2003

5