数学分析1 习题课参考题第六次

来源：六九路网

第六次习题课连续和一致连续2012.10.29

1.设Q为有理数集,试构造在[0,1]上定义的函数f(x),使得f(x)的间断点集

为Q∩[0,1],且x=为函数f(x)的第二类间断点.

22.试构造在[0,1]上定义的函数f(x),使得f(x)是[0,1]→[0,1]的一一对应,但f(x)在[0,1]上任何一点都不连续.(这样的例子也说明f([0,1])是一个有界闭区间,即它总满足介值性,但它可以完全不连续.)

3.设函数f(x)∈C[a,b].证明:若|f(x)|在[a,b]上单调,则f(x)也在[a,b]上单调.

4.设函数f(x)∈C[0,1],且f(1)−f(0)=1,证明存在不同的实数α,β∈(0,1),使得f(β)−f(α)=β−α成立.

5.设函数f(x)在R上一致连续,证明存在非负常数a,b,使得|f(x)|󰀁a|x|+b成立.(从这个题也能看出一致连续这个概念的几何意义)

6.设函数f(x),g(x)在[0,+∞)一致连续,且limg(x)=1.请问函数f(x)g(x)是

x→+∞

否在[0,+∞)上是一致连续的?如果是,请证明你的结论;如果不是,请举一反例.

7.证明:若函数f(x)在区间I上一致连续,则|f(x)|在I上也一致连续.试问反过来结论是否成立?若成立,请给出你的证明;若不成立,请举一反例说明.

8.设函数f(x)在[0,+∞)上一致连续,且对∀x∈[0,+∞),都有limf(x+n)=0成立.

(1)试证明:limf(x)=0;

x→+∞

n→∞

(2)若将“f(x)一致连续”的条件改为“函数f(x)∈C([0,+∞))”,试问(1)中的结论是否能够成立?如能成立,请给出证明;如不能,请试举一反例说明.

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数学分析1 习题课 参考题 第六次