第１３卷第１期 长沙理工大学学报Ｉ自然科学版） Ｖｏ１．１３ Ｎｏ．１ ２０１６年３月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈａｎｇｓｈａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｍａｒ．２０１６ 文章编号：１６７２—９３３１【２０１６）０１—００４９—０７ 车桥耦合系统的非线性动力响应分析 谭子翼，唐雪松，盛国刚 （长沙理工大学土木与建筑学院，湖南长沙４１０００４） 摘要：考虑桥面的不平整度和桥梁结构的几何非线性效应，根据达朗贝尔原理，建立了车桥耦合的动力学 模型。利用模态分析的方法，得到了耦合系统关于广义坐标的非线性动力学方程。通过龙格一库塔法和 Ｖｉｓｕａｌ Ｆｏｒｔｒａｎ语言编程对方程进行求解，获得了梁桥在移动车辆系统作用下的动力响应曲线及冲击系数曲 线，并计算了系统参数变化对桥梁结构非线性动力效应的影响。研究结果显示，桥的跨径、弯曲刚度、车辆速 度和不平整度系数等参数发生变化时，非线性对桥梁动力特性的影响程度也将发生变化。 关键词：梁桥；移动荷载系统；非线性；动力响应 中图分类号：Ｕ４４１．２ 文献标识码：Ａ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｙｎａｍｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｂｒｉｄｇｅ ｕｎｄｅｒ ｍｏｖｉｎｇ ｌｏａｄ ｓｙｓｔｅｍ ＴＡＮ Ｚｉ—ｙｉ，ＴＡＮＧ Ｘｕｅ—ｓｏｎｇ，ＳＨＥＮＧ Ｇｕｏ—ｇａｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ，Ｃｈａｎｇｓｈａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１０００４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｓｕｒｆａｃｅ ｉｒｒｅｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｂｒｉｄｇｅ ａｎｄ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ，ａｃ— ｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ Ｄ＇Ａｌｅｍｂｅｒｔ＇ｓ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｄｙｎａｍｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｖｅｈｉｃｌｅ—ｂｒｉｄｇｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ａｒｅ ｆｏｒｍｕｌａｔｅｄ．Ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｄａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｙ— ｎａｍｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｄｅｄｕｃｅｄ ｕｓｉｎｇ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ．Ｂｙ Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｎｄ Ｖｉｓｕａｌ Ｆｏｒｔｒａｎ ｐｒｏｇｒａｍ，ｔｈｅ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｂｅａｍ ｂｒｉｄｇｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｉｍｐａｃｔ ｅｆｆｅｃｔ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｙｎａｍｉｃ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｎ ｂｅａｍ ｂｒｉｄｇｅｓ ｉｓ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｓｙｓｔｅｍ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ，ｔｈｅ ｎｏｎ— ｌｉｎｅａｒ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｎ ｂｅａｍ ｂｒｉｄｇｅｓ ｉｓ ｃｈａｎｇｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｓｐａｎ， ｆｌｅｘｕｒａｌ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ，ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｏｆ ｖｅｈｉｃｌｅ ａｎｄ ｓｕｒｆａｃｅ ｒｏｕｇｈｎｅｓｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｂｅａｍ ｂｒｉｄｇｅ；ｍｏｖｉｎｇ ｌｏａｄ ｓｙｓｔｅｍ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒ；ｄｙｎａｍｉｃ ｒｅｓｐｏｎｓｅ 桥梁在移动荷载作用下的动力响应问题及机 桥梁的振动反过来导致车辆自身的振动，它们相 理，长期以来一直是结构动力学研究的前沿课题。 互作用构成了一个车桥耦合振动系统。目前，对 当车辆高速行驶通过桥梁时，由于车辆的发动机 于车桥耦合振动的动力分析及设计大多基于线性 振动及路面的不平整，引起了桥梁的受迫振动，而 简单梁理论 ，未考虑非线性对其的影响。而事 收稿日期：２０１５一ＩＩ－－０４ 基金项目：湖南省自然科学基金资助项目（１１ＪＪ３Ｏ１３） 作者简介：谭子翼（１９９１一），男，湖南长沙人，长沙理工大学硕士研究生，主要从事车桥耦合振动方面的研究。 ５Ｏ 长沙理工大学学报（自然科学版） ２０１６年３月 实上，对于大跨度轻柔结构桥梁需要考虑其本身 的大变形因素，如果仍采用以前的线性理论分析 车桥耦合振动问题，有时候得出的结果与工程实 际相差甚远，所以非线性影响不能忽略不计。 在车桥耦合振动系统中，考虑非线性的影响 是近年来一项前沿研究方向，目前对其研究相对 有限，但已有部分学者对其进行了探讨。如：沈火 明［８ 考虑几何非线性对高桥墩桥梁动力行为的影 响，导出了高墩桥梁的非线性振动方程，讨论了几 何非线性对高墩桥梁在主梁架梁前后的动力行为 影响；肖勇刚和朱素红［ｇ］选用移动质量模型，利用 Ｈａｍｉｌｔｏｎ能量变分原理，考虑了桥梁的几何非线 性，建立了车桥耦合系统的振动微分方程，应用伽 辽金法和龙格一库塔法对方程进行求解，分析了 几何非线性对桥梁跨中位移的影响；罗松南［１叼考 虑了预应力简支Ｔ梁的几何非线性以及剪切变 形，建立梁的振动微分方程，运用增量谐波平衡 法，分析计算梁在预应力作用下的横向振动问题， 计算结果表明，梁非线性位移明显大于线性位移， 非线性因素应在桥梁设计中予以考虑；国外学者 Ｓｉｍｓｅｋ和Ｋｏｃａｔｕｒｋ＿１ 将简支梁看成Ｅｕｌｅｒ－Ｂｅｒ— ｎｏｕｌｌｉ梁模型，考虑几何非线性影响，推导出了简 支梁振动微分方程，通过Ｎｅｗｍａｒｋ一 进行方程求 解，得出了结构阻尼及预应力等因素对简支梁的 非线性振动特性的影响。上述研究主要针对移动 力模型或简单的移动质量一弹簧一阻尼模型作用 下的梁桥非线性动力分析，其分析模型有待进一 步完善。 作者在上述研究的基础上，基于变量分离法， 考虑梁的几何非线性和桥面不平整度［１２，１３］影响， 根据达朗贝尔原理，建立了梁桥和四自由度车辆 模型耦合的非线性振动方程，运用龙格一库塔法， 通过Ｖｉｓｕａｌ Ｆｏｒｔｒａｎ语言编程对方程进行求解。 以连续梁桥为研究背景，根据线性和非线性模型， 给出不同参数情况下连续梁桥的位移响应和冲击 系数的比较结果，并得到参数变化时梁桥的非线 性动力响应规律。 １ 车一桥耦合振动微分方程 图１所示为车一桥系统模型。 图１车一桥耦合振动系统模型 Ｆｉｇ．１ Ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｖｅｈｉｃｌｅ－ｂｒｉｄｇｅ ｃｏｕｐｌｅｄ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ 在模拟车辆系统时，将其处理为四自由度模 型，考虑车体的垂直位移、车体的纵向转动和前、 后轮的垂直位移。其中，车身的质量用ｍ 表示； 轮胎的质量用ｍ ｚ表示； 为车体对质心的转动惯 量； ，ｚ。表示车轮中心在梁上的位置；ｋ ，ｋ 表 示车身的刚度和车轮的刚度；Ｃ ，Ｃ 表示车身的阻 尼和车轮的阻尼；ｅ ，ｅ ｚ表示车轮前、后轴到车辆 重心处的距离；ｆ。，ｆ。表示车辆对桥梁的作用力； １，乱２，０， ３为广义坐标；２ ２一 ２一（ ｌ＋０ｅ１）， ｚ。一 。一（“ 一０ｅ：）。运用达朗贝尔原理得到车 辆系统的动力学方程为： ｍ１ １一ｋ１ｚ ２一ｃ１芝２一ｋ１ ３一ｃｌ芝３＋ｍ１ｇ一０。 （１） Ｉ１Ｏｆｆ＂＋ｋ１ｅ ２ ３＋Ｃ１ｅ ２童３一ｋ１ｅ１ｚ ２一ｃ１ｅ１童２＝０。 （２） ｍ ２ ２＋ｋ１ ２＋Ｃ１芝２一ｆ１＋ ２ｇ一０。 （３） ｍ ２ ３＋ｋ１ｚ ３＋Ｃ１ ３一ｆ ２＋ ２ｇ一０。 （４） 在模拟桥梁模型时，将梁看作欧拉伯努利梁 进行处理，将截面视作矩形等截面（如图２所示）， 考虑预应力及几何非线性影响，忽略剪切刚度和 扭转刚度。 图２梁单元模型 Ｆｉｇ．２ Ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｂｅａｍ ｅｌｅｍｅｎｔ 第１３卷第１期 谭子翼，等：车桥耦合系统的非线性动力响应分析 ５１ 设梁的两端作用常值轴向压力Ｐ（预应力，包 含在轴向力Ｆ 中），由达朗贝尔原理得梁的动力 学平衡方程为： －ｐＡｄｚ 一一（Ｆ 十 ８Ｆ，ｄ寸卜 ［ ＋ ｄ十 ＦＮ １一ｆ（ｘ，ｔ）ｄｘ。 （５） 式中：ｐ表示材料密度；Ａ表示截面面积；砌（ ，ｔ） 为沿截面单元的竖向位移；Ｆ 代表截面上作用的 剪力； 为截面处的角位移， 一 。 若仅考虑梁位移的几何线性关系，有 “一～“一 一 筹 一 碧。ｄ ３７ ，ｅｚ一一 。 ｄＺ ｏ ㈤５考虑梁位移与应变的几何非线性关系，则有 ａ２ｗ。 ＋ １（ ８ｗ） ｅ ＝－一 ａ－一＿＿ｚ ２２十 。。。 ａ（７）【 ） ｚ对式（７）求导： （８） 式中： 一 。 由应力与应变的本构关系，有 ｄ 一Ｅ（￡ ＋ ）。 （９） 式中：Ｅ为材料的弹性模量；叩为材料阻尼。 将式（７），（８）代人式（９）得： 一Ｅ［－＿ 等＋ １（ａｗ．．１。＋ ·（～ 等＋筹·筹）］ 由应力与弯矩的关系，有 ｒ要 Ｍ—ｂ ｌ＿ ｎ 一 ｚｄｚ。 （１１） 式中：６为截面宽度； 为截面高度。 将式（１０）代入式（１１）得： Ｍ—Ｅ工等一正 等。ｃ， （１２） 由弯矩与剪力的微分关系，有 Ｆ 一一ＥＩ 一 。 （１３） 由梁的正应力与轴向力的关系，有 ＾ ＦＮ ６ Ｔ ａ＝ｄｚ。 （１４） 将式（１０）代人式（１４），并考虑预应力的影响， 有 Ｆ 一ＥＡ· １ ／。＋ ａｚ，ｑＥＡ（３￣ｘ· ７ ｘ １一Ｐ。 （１５） 式中：ＥＡ表示梁的抗拉刚度。 将式（１３），（１５）代人式（５），导出的梁的非线 性弯曲振动方程为： ｍ ８ｔｚ ＋Ｅ 磐３ｘ＋ Ｊ４ 。 ， ３ｘ— ４ Ｐ ＋ （筹） · ３ｘ ２＋ ２ （筹·罢·ａ＿ ２￣ｗ）＋ ［（筹）。·筹］ ｘ，ｔ 。 式中： 表示梁的单位长度质量；ＥＩ表示梁的抗 弯刚度。 对式（１６）中，（ｚ，ｔ）求解，考虑车辆的二维模 型，可得： ，（ｚ，ｔ）一一ｆ１ａ（ｘ— １）一ｆ ２ （ｚ—ｚ ｚ）。 （１７） 式中：， ，， 为车辆前、后轮对桥梁的作用力； 函 数定义为： （ｚ—ｚ＾）一 ｆｏ，ｚ≠ｚ女 ；忌＝１，２。 【１，ｚ— 考虑桥面不平整度，作用力表达式为： ｆ１一ｋ ２（硼１一ｒ１一“２）＋ｃ ２（西ｌ一 １一 ２）。 （１８） ｆ２一ｋ ２（硼２一ｒ ２一 ３）＋ｃ ２（西２—７＝２一 ３）。 （１９） 式中：Ｗ ，Ｗ。为车辆前、后轮所在位置桥梁的竖向 振动位移；ｒ。，ｒ 为车辆前、后轮所在位置桥面铺 装的不平整度函数值ｍ］。 利用变量分离法［１４，１５］，有 ｗ（ｘ， ）一∑ （ｚ）ｇ （ ）。 （２ｏ） 第１３卷第１期 谭子翼，等：车桥耦合系统的非线性动力响应分析 ５３ 采用Ｖｉｓｕａｌ Ｆｏｒｔｒａｎ语言编制龙格一库塔算 法程序进行运动方程（２１）求解。 ２数值计算 在实例计算中采用三跨等截面连续梁桥模 型，其中，式（２Ｏ）的模态函数根据连续梁自由振动 的三弯矩方程 ¨ 求得，模态截断阶数 一２。车桥 耦合系统的具体参数为： ｍ：＝：１．２×１０ ｋｇ／ｍ，ｍｌ一３．６×ｌＯ ｋｇ， ２—２×１０。ｋｇ， １—１．４４×１０ ｋｇｍ ， ｅ１一ｅ ２—２．４ ｍ，ｋ１—９．０×１０。Ｎ／ｍ， ｋ ２—３．６×１０ Ｎ／ｍ，Ｃ１一ｃ ｚ＝７．２×１０ ｋｇ／ｓ， Ｐ一１ ０００ ｋＮ。 根据线性和非线性计算模型，图３给出了不 同跨径情况下梁的动挠度曲线对比结果。 Ｏ ０ 羹 。 帽一０ －０ ０ ２Ｏ ４０ ６０ ８Ｏ ｌ００ 纵桥向坐标／ｍ （ａ）Ｌ＝１００ｍ 一Ｏ ２０ ４０ ６Ｏ ８０ １００ ｌ２０ ｌ４０ 纵桥向坐标，ｍ ｆｂ）Ｌ＝１３０ｍ ０．０２０ ０．０１５ ０．０１０ 囊…恚０．０．０００５ ０５ 一－０．０１０ －０．０１５ —０．０２０ ０ ２０ ４０ ６０ ８０ １００ １２０ １４０ １６０ 纵桥向坐标／ｍ （ｃ）Ｌ＝Ｉ６０ｍ Ｅ，＿１．２７５ｘ１０ Ｎｍ ．Ｖ＝６０ ｍ／ｓ 图３ 不同跨径情况下梁的动挠度曲线对比结果 Ｆｉｇ．３ Ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｄｙｎａｍｉｃ ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｕｎｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｐａｎｓ 计算结果表明，随着跨径的增大，模型的非线 性影响越来越明显。因此在进行桥梁动力设计 时，必须根据跨径的大小合理选择线性和非线性 动力学计算模型。 图４表示不同弯曲刚度情况下梁的第一跨跨 中动力响应结果（Ｖ一５Ｏ ｍ／ｓ，Ｌ一１２０ ｍ）。动力 响应分为两个阶段：第一阶段为车辆系统在桥上 时梁的非线性受迫振动（ ≤２．４ ｓ）；第二阶段为车 辆系统离开桥后梁的非线性自由振动（￡≥ ２．４ Ｓ） ０．０４ Ｏ．Ｏ３ 盍０．０２ ０．０１ 稃０．００ 垂一０．０１ 一Ｏ．０２ 一Ｏ．Ｏ３ ０ ２ ４ ６ ８ １０ １２ １４ １６ 时间／ｓ （ａ）Ｅｌ＝１．５ｘ１０ 。Ｎｍ Ｏ．ｏ４ ０．０３ Ｏ．０２ 羹显 ｍ．０１ 一０．Ｏ１ 留 一０．０２ －０．０３ －０．０４ ０ ２ ４ ６ ８ ｌＯ ｌ２ １４ １６ 时间，ｓ （ｂ）ＥＩ＝Ｉ．４ｘ１０ 。Ｎｍ Ｏ．０６ ０．ｏ４ ｛ ０．ｏ２ 慧ｏ．００ 导 一０．０２ 留 一Ｏ．０４ 一Ｏ．０６ Ｏ ２ ４ ６ ８ ｌＯ １２ １４ ｌ６ 时间／ｓ 图４ 不同弯曲刚度情况下跨中（第一跨） 动力响应对比结果 Ｆｉｇ．４ Ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｄｙｎａｍｉｃ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｏｆ ｍｉｄ—ｓｐａｎ ｕｎｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｌｅｘｕｒａｌ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ 计算结果表明，当梁的弯曲刚度较大时（见图 ４（ａ）），线性和非线性结果差异很小，并且车辆系 统离开桥后梁的自由振动的衰减速度也很快。 为了研究移动车辆系统对桥梁的冲击影响， 根据公路桥梁设计规范定义冲击系数为： ５４ 长沙理工大学学报（自然科学版） Ｙ ｄｍａｘ 一一一１ｏ ．一。（２２）／ 方程，考虑了桥梁结构的几何非线性和桥面的不 。 Ｙ ｓｍａｘ 平整度，得到了移动车辆系统作用下桥梁的非线 式中：Ｙ 为动荷载作用下梁的最大动挠度，由式 性动力响应分析结果，其主要结论如下。 １）随着跨度的增加，桥梁的非线性动力效应 明显增大，因此当跨度增加到一定程度时，非线性 效应不可忽略。 （２Ｏ）和式（２１）计算得到；Ｙ… 为梁的最大静挠度， 根据超静定结构位移的计算方法求得。 图５获得了车辆速度变化时冲击系数的变化 规律。在共振速度附近，线性和非线性模型冲击 系数的结果差别较大，远离共振速度（Ｖ一６０ ｍ／ｓ） ２）随着桥的弯曲刚度减小，动挠度增大，非线 性动力效应也将增大。而且当车辆行驶离开桥面 时结果差别较小。 Ｏ·５ Ｏ．４ 鞲０．３ 量Ｏ．２ ０．１ ０ 川４０ ６０ Ｕ ｌＵＵ 车辆速度／（ｍ·Ｓ一－） Ｅｌ＝１．２７５ｘ１０ Ｎｍ２，Ｌ＝１２０ ｍ 图５ 移动速度变化时冲击系数的变化曲线 Ｆｉｇ．５ Ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｉｍｐａｃｔ ｅｆｆｅｃｔ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｖｅｌｏｃｉｔｉｅｓ 图６得到了不平整度系数 变化时冲击系数 的变化规律。随着不平整度系数逐渐增大，冲击 系数也逐渐增大；并且随着跨径的增大，冲击系数 呈现递减的规律。这一结果和桥梁冲击系数的经 验公式是一致的。通过计算也发现，当梁的弯曲 刚度较小时，不平整度系数的变化对冲击系数的 结果影响很小。 ０．４０ Ｏ－３５ 籁０．３０ ０．２５ 是０．２０ Ｏ．１５ ０．１０ ０．０００ ０．００５ ０．０１０ ０．０１５ ０．０２０ 不平整度系数 Ｅ，＿１．２７５ｘ１０”Ｎｍ２．Ｖ＝４０ ｎｔｉｓ 图６ 不平整度系数变化时冲击系数的变化曲线 Ｆｉｇ．６ Ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｉｍｐａｃｔ ｅｆｆｅｃｔ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｕｒｆａｃｅ ｉｒｒｅｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ ３ 结论 作者建立了移动车辆和桥梁结构的耦合振动 后，桥本身的自由振动衰减速度随着弯曲刚度减 小而减慢。 ３）随着移动系统速度的增大，冲击系数也会 随之增大。当考虑了非线性因素时，冲击系数的 增加更为明显；达到共振速度后，冲击系数会出现 下降的趋势。 ４）不平整度系数的增大会导致冲击系数的增 大，但其增大幅度不大，而桥的跨径对冲击系数的 影响更为明显。 （参考文献］ ［１］ 蒋培文．公路大跨径连续体系桥梁车桥耦合振动研究 ＥＤ］．西安：长安大学，２０１２． ＪＩＡＮＧ Ｐｅｉ—ｗｅｎ．Ｃｏｕｐｌｅｄ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｂｅｔ—ｗｅｅｎ ｖｅｈｉｃｌｅｓ ａｎｄ ｈｉｇｈｗａｙ ｌｏｎｇ—ｓｐａｎ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｓｅｒｉｅｓ ｂｒｉｄｇｅ［Ｄ］． ｘｉ’ａｎ：Ｃｈａｎｇ’ａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２０１２． 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ＡＮＳＹＳ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｔｉａｎｊｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， ２０１０，４３（６）：５３７—５４３． ［６］邓露，何维，王芳．不同截面类型简支梁桥动力冲击系 数研究［Ｊ］．振动与冲击，２０１５，３４（１２）：７０—７５． ＤＥＮＧ Ｌｕ，ＨＥ Ｗｅｉ，ＷＡＮＧ Ｆａｎｇ．Ｄｙｎａｍｉｃ ｉｍｐａｃｔ ｆａｃｔｏｒｓ ｆｏｒ ｓｉｍｐｌｙ ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ ｂｒｉｄｇｅｓ ｗｉｔｈ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｃｒｏｓｓｓｅｃｔｉｏｎ ｔｙｐｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｓｈｏｃｋ，２０１５，３５（１２）：７０－７５． ［７］李小珍，张志俊，刘全民．任意移动荷载列作用下简支 梁桥竖向振动响应解析分析［Ｊ］．振动与冲击，２０１２， ３１（２０）：１３７—１４２． ＬＩ Ｘｉａｏ—ｚｈｅｎ，ＺＨＡＮＧ ＺＨＩ－ｊｕｎ，ＬＩＵ ＱＵＡＮ—ｒｕｉｎｇ． Ｖｅｒｔｉｃａｌ ｄｙｎａｍｉｃ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ａ ｓｉｍｐｌｙ ｓｕｐ— ｐｏｒｔｅｄ ｂｅａｍ ｂｒｉｄｇｅ ｕｎｄｅｒ ｓｕｃｃｅｓｓｉｖｅ ｍｏｖｉｎｇ ｌｏａｄｓ ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｓｈｏｃｋ，２０１２，３１（２０）： １３７—１４２． Ｅ８］ 沈火明．移动荷载作用下桥梁的振动理论及非线性研 究［Ｄ］．成都：西南交通大学，２００５． ＳＨＥＮＧ ＨＵＯ－ｍｉｎｇ．Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｎ ｂｒｉｄｇｅ ｓｕｂｊｅｃｔｅｄ ｔＯ ｍｏｖｉｎｇ ｌｏａｄ［Ｄ］． Ｃｈｅｎｇｄｕ：Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００５． ［９］ 肖勇刚，朱素红．车桥耦合系统的非线性动力分析 ［Ｊ］．振动与冲击，２００７，２６（８）：１０４—１０８． ＸＩＡＯ Ｙｏｎｇ—ｇａｎｇ，ＺＨＵ ＳＵ—ｈｏｎｇ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｙｎａｍ— ｉｃｓ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｖｅｈｉｃｌｅｂｒｉｄｇｅ ｃｏｕｐｌｅｄ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｓｙｓ— ｔｅｍ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｓｈｏｃｋ，２００７，２６（８）： １Ｏ４—１Ｏ８． ［１Ｏ３ 罗松南，杨敬林．预应力简支梁桥在移动用下的非线 性动力特性研究［Ｊ］．土木工程学报，２００９，４２（１）： ５０－５４． ＬＵＯ Ｓｏｎｇ－ｎａｎ，ＹＡＮＧ Ｊｉｎｇ—ｌｉｎ．Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｙｎａｍｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｓｉｍｐｌｙ ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ ｐｒｅｓｔｒｅｓｓｅｄ ｂｅａｍ ｂｒ－ｉｄｇｅｓ ｕｎｄｅｒ ｍｏｖｉｎｇ ｌｏａｄ［Ｊ］． Ｃｈｉｎａ Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｊｏｕｒｎａｌ，２００９，４２（１）：５０—５４． ［１１］ Ｍ Ｓｉｍｓｅｋ，Ｔ Ｋｏｃａｔｕｒｋ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｙｎａｍｉｃ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ａｎ ｅｃｃｅｎｔｒｉｃａｌｌｙ ｐｒｅｓｔｒｅｓｓｅｄ ｄａｍｐｅｄ ｂｅａｍ ｕｎｄｅｒ ａ ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｅｄ ｍｏｖｉｎｇ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｌｏａｄ［Ｊ］－Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｎｄ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，２００９（３２０）：２３５—２５３． ［１２］盛国刚，李传习，赵冰．多个移动车辆作用下的简支 梁力响应分析［Ｊ］．工程力学，２００６，２３（１２）：１５４—１５９． ＳＨＥＮＧ ＧＵ０一ｇａｎｇ，ＬＩ Ｃｈｕａｎ－ｘｉ。ＺＨＡＯ Ｂ－ｉｎｇ．Ｄｙ— ｎａｍｉｃ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ａ ｓｉｍｐｌｙ－ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ ｂｅａｍ ｓｕｂｊｅｃ— ｔｅｄ ｔｏ ｍｏｖｉｎｇ ｖｅｈｉｃｌｅｓ［Ｊ］．Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ， ２００６，２３（１２）：１５４—１５９． ［１３］盛国刚，李传习，赵冰．桥梁表面不平顺对车一桥耦 合动力系统动力效应的影响［Ｊ］．应用力学，２００７，２４ （１）：１２４—１２７． ＳＨＥＮＧ ＧＵ０一ｇａｎｇ，ＬＩ Ｃｈｕａｎ－ｘｉ，ＺＨＡＯ Ｂｉｎｇ．Ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｃｏｕｐｌｅｄ ｖｅｈｉｃｌｅ－ｂｒｉｄｇｅ ｓｙｓｔｅｍｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｒｆａｃｅ ｒｏｕｇｈｎｅｓｓ ｏｆ ｂｒｉｄｇｅ［Ｊ］．Ｃｈｉｎａ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ， ２００７，２４（１）：１２４－１２７． ［１４］ Ｓｕｌｔａｎ Ａ Ｑ Ｓｉｄｄｉｑｕｉ，Ｍ Ｆａｒｉｄ Ｇｏｌｎａｒａｇｈｉ，Ｇｌｅｎｎ Ｒ Ｈｅｐｐｌｅｒ．Ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ ａ ｆｌｅｘｉｂｌｅ ｂｅａｍ ｃａｒｒｙｉｎｇ ａ ｍｏｖｉｎｇ ｍａｓｓ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｄｙｎａｍｉｃｓ，１９９８，１５（２）： １３７—１５４． ［１５］Ａｈｍａｄ Ｍａｍａｎｄｉ，Ｍｏｈａｍｍａｄ Ｈ Ｋａｒｇａｒｎｏｖｉｎ，Ｄａｖｏｏｄ Ｙｏｕｎｅｓｉａｎ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ ａｎ ｉｎｃｌｉｎｅｄ ｂｅａｍ ｓｕｂｊｅｃｔｅｄ ｔｏ ａ ｍｏｖｉｎｇ ｌｏａｄ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｄｙｎａｍｉｃｓ， ２０１０，６０（３）：２７７—２９３． ［１６］宋一凡．公路桥梁动力学［Ｍ］．北京：人民交通出版 社，２０００． ＳＯＮＧ Ｙｉ—ｆａｎ．Ｈｉｇｈｗａｙ ｂｒｉｄｇｅ ｄｙｎａｍｉｃｓ［Ｍ］．Ｂｅｉ— ｊｉｎｇ：Ｃｈｉｎａ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ Ｐｒｅｓｓ，２０００．
