第３ ４卷，第５期 ２ ０ １ ３年９月 文章编号：１００１—４６３２（２０１３）０５—００３２—０７ 中 国 铁 道 科 学 ＣＨ１ＮＡ ＲＡＩＬＷＡＹ ＳＣ１ＥＮＣＥ Ｖ０１．３４ Ｎｏ．５ Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒ，２０１３ 基于全过程迭代的车桥耦合动力系统分析方法 张楠，夏禾 １０００４４） （北京交通大学土木建筑学院，北京摘要：以刚体动力学方法建立车辆子系统方程，以有限元法建立桥梁子系统方程，以竖向轮轨密贴假定 和横向简化的Ｋａｌｋｅｒ理论定义轮轨接触关系，以轨道不平顺作为激励，采用全过程迭代法求解车桥耦合系统动 力平衡方程。先假定桥梁子系统无变形求解车辆方程，得到车辆运动状态和轮轨作用力时程；将得到的轮轨力 作用于桥梁，计算桥梁子系统的运动状态；叠加桥面运动时程和轨道不平顺，形成新的车辆轮对激励；进行下 一步迭代，直至前后２次迭代中计算的轮轨力满足收敛条件。此方法可避免时间步内车桥两子系统间的迭代过 内迭代法对３０ ｔ轴重货车通过跨度（７０＋３×１２０＋７０）ｍ连续刚构桥的车桥耦合动力系统分析结果表明，此方 程，较易通过人为干预迭代过程促进计算收敛，提高车桥耦合动力分析的计算效率。应用此方法和传统时间步 法的计算效率较传统时间步内迭代方法高，方程求解次数仅为传统时间步内迭代方法的４４ 。 关键词：车桥耦合；动力系统；全过程迭代；动力分析 中图分类号：Ｕ２１１．５；Ｕ２６ｏ．ＩＩ１ 文献标识码：Ａ 车辆与桥梁之问的动力相互作用是各国铁路现 代化，高速铁路及重载铁路发展进程中一个重要问 子系统的动力平衡关系，又满足给定的轮轨关系。 以往研究中大多采用时间步内２个子系统往复迭代 题。在各类既有车桥动力分析方法中，车辆子系统 模型多以刚体动力学方法建立Ｌ】－１５］，桥梁子系统模 型多以有限元方法建立口 １６－１８］，２个子系统间以 给定的轮轨关系相联系，即：作用于车辆子系统和 桥梁子系统的轮轨问相互作用力为一对作用力和反 作用力，同时此作用力亦为轮轨相对运动的函数。 大多数方法假设垂向或轮轨接触面法向上轮轨间始 终不脱离［Ｉ－６］，亦有研究假定轮轨均为弹性体，其 接触力与轮轨法向压缩之间符合Ｈｅｒｔｚ接触假 定ｒ７ 。引。早期研究多认为轮轨横向相对运动为一 系列波长、幅值、相位角均为随机变量的正弦 的方式，此类方法的优点是程序编制简单，物理意 义明确，但对每一时间步中２个子系统间迭代次数 难以估计【６＿１３］。也有在各时间步内形成车辆一桥梁 统一的整体动力方程，尽管此类方法可避免时间步 内２个子系统间的迭代，但耦合系统的动力矩阵随 列车位置而变化且只适应线性的轮轨关系［ｉ－５］。严 格说来，由于涉及相互关联且关系复杂的２个子系 统，无论采用何种数值求解方法，车桥耦合动力系 统方程必定是有条件收敛的 。。。针对上述问题， 为简化车桥分析的求解过程，提高收敛过程的可控 性，提高计算效率，本文研究基于全过程迭代的多 系统数值动力分析求解方法。 波［】 ］。随着计算手段的提高，亦有以接触点处轮 轨踏面斜率确定竖、横向轮轨接触力的比值＿＿８］，或 以Ｋａｌｋｅｒ蠕滑理论为基础，定义横向轮轨相互作 用力为轮轨横向相对速度的函数［９－ ；还有研究以 车辆构架运动作为系统激励，以规避轮轨间横向相 互作用的复杂性ｌ 。】 １ 车桥耦合系统动力平衡方程的建立 车桥耦合动力系统包含车辆、桥梁子系统两部 分，车辆与桥梁之间以轮轨关系关联。车桥耦合动 力系统的激励为轨道不平顺。 定义如下坐标系：以列车前进方向为Ｘ轴的 车桥耦合动力系统的求解是寻求一组轮轨运动 状态和轮轨间相互作用力，使之既满足车辆、桥梁 收稿日期：２０１２—０２—２１；修订日期：２０１３—０７—０５ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（５１１７８０２５）；国家重点基础研究发展计划项目（２０１３ＣＢ０３６２０３）；高校基本科研业务费资助 项目（２Ｏｌ３ＪＢＭＯｌ１） 作者简介：张楠（１９７１－），男，山东龙ＥＪ．，ｋ，教授。 第５期 基于全过程迭代的车桥耦合动力系统分析方法 正方向，竖直向上为Ｚ轴正向，ｙ轴依右手定则 确定，绕３个坐标轴旋转的正方向亦由右手定则确 定，分别记为Ｕ，Ｖ和ｗ。 １．１车辆子系统 单节车辆的动力方程为 Ｍｖ ｖ＋Ｃｖ ｖ＋ＫｖＸｖ＝Ｆｖ （１） 式中：Ｍｖ，Ｃｖ和Ｋｖ分别为车辆的质量矩阵、阻 尼矩阵和刚度矩阵； 和ＦＶ分别为车辆的位移 向量和力向量。 单节车辆由１个车体、２个转向架、４或６个 轮对构成，这些构件之间由弹簧和阻尼器相连。车 体和转向架具有ｙ，Ｚ，己厂， 和ｗ共５个自由 度，每个轮对具有ｙ，Ｚ和Ｕ共３个自由度。由下 述的轮轨关系假定，可知轮对的Ｚ和Ｌ，自由度并 非自由度。因此具有６个轮对的单节车辆共有 ２１个自由度和１２个非自由度；具有４个 轮对的单节车辆共有１９个自由度和８个非独 立自由度，具有４个轮对的车辆模型如图１所示。 式（１）中的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵可由 Ｌａｇｒａｎｇｅ方程求得，对于给定几何、质量、刚度 和阻尼参数的单节车辆而言，上述矩阵均为常数矩 阵，其表达式见文献［９］；力向量即轮轨间作用力。 车体 Ｄ厂 、 转向架 轮对 （ｂ）俯视图 图１车辆模型示意图 以具有４个轮对的车辆模型为例，车辆方程中 的位移向量ｘｖ一（Ｙｃ，Ｚｃ，【，ｃ， ，Ｗ ， ，ＺＪ ， ， ，Ｖ ，ｙＪｚ，ＺＪｚ， ｚ， ｚ，Ｖ ｚ，ｙｗ ，ｙｗ２， ｙｗｓ，ｙｗ４） 。其中，下标ｃ表示车体，下标Ｊ１和 Ｊ２分别表示前、后转向架，下标ＷＩ和Ｗ２表示与 前转向架相连的第ｌ和第２个轮对，Ｗ３和Ｗ４表 示与后转向架相连的第３和第４个轮对。 １．２桥梁子系统 桥梁子系统的动力方程为 ＭＢ瓢＋ｃ＿Ｂ瓤＋ＫＢｘＢ—ＦＢ （２） 式中：ＭＢ，ＣＢ和ＫＢ分别为桥梁的总体质量矩阵、 阻尼矩阵和刚度矩阵； 和ＦＢ分别为桥梁的位移 向量和力向量。 桥梁子系统的总体质量矩阵和总体刚度矩阵通 过有限元法求得，总体阻尼矩阵由比例阻尼法求得， 本文采用Ｒａｙｌｅｉｇｈ阻尼；桥梁子系统的力向量即轮 轨间作用力，ＦＢ为各节车辆对桥梁作用力之和。 １．３轨道不平顺 轨道不平顺为轨道上一系列离散点与其理论位 置的距离，包括轨向（ｙ）、高低（Ｚ）、侧滚（Ｕ） ３组时域离散数值，其中侧滚不平顺由通称所指的 水平不平顺除以轨距而得。列车通过时，轨道不平 顺使轮对发生附加位移的同时，也使轮对发生附加 速度和附加加速度，附加速度和附加加速度同样可 以使车桥系统产生振动。由轨道不平顺引起的轮对 附加速度和附加加速度按下式计算。 亡一 ｑ 些Ａｔ 一 ｌｉｍ ＡＥＱ ｆ／ 一 簧 ｄ Ｘ （３） 一ｌｚｘｉｔ￣０ｍ Ａｔ 一ｌｉｍ ｚＡ ￣ 一７．１２删一０ ／ ３ Ｘ （４） 式中：Ｅ为轨道不平顺，代表任一组轨道不平顺离 散数值； 为列车速度。 １．４轮轨关系 轮轨力作用于左右侧轮轨接触点。假设：轮对 的运动为轮位处桥面的运动与轨道不平顺附加运动 之和；轮轨间竖向作用力为一系悬挂力、轮对惯性 力及静轴重三者之和，即轮轨密贴假定。横向轮轨 力大小由Ｋａｌｋｅｒ理论确定，即认为轮轨间横向作 用力与轮轨横向相对运动速度成正比。如图２所 示，点①和点②为车辆一系悬挂系统的上悬挂点， 点③和点④为一系悬挂系统的下悬挂点。Ｆ 和Ｆ。 转向架 ① ④ 轮对 图２轮轨间相互作用力 ３４ 中国铁道科学 第３４卷 为转向架与轮对之间Ｚ方向的相互作用力，即一 系悬挂中的作用力；Ｆ３和Ｆ４为轮对与桥面之间Ｚ 方向的相互作用力，Ｆ５为轮对与桥面之间ｙ方向 的相互作用力，Ｇ为静轴重。 图２中点①、点②、点③和点④的竖向位移 ｚｌ， ２，ｚ３和ｚ４分别为 １：＝＝ＺＪ＋ １ 一ｂｌｕｊ ２：＝＝Ｚ３ Ｊｒ １Ｖｊ＋ｂｅｕｊ （５） ３一ＺＩ—ｂｌＵＩ ４一ＺＩ＋ｂ１ＵＩ 式中：ＺＪ， 和 分别为转向架Ｚ，Ｕ和 方向 位移；Ｚ 和Ｕ 分别为轮位处高低和侧滚不平顺； ｄ 为转向架定距之半；ｂ 为一系悬挂的横向跨距； 为正负号变量，对应转向架的前、后轮，ｉ分别 取１和一１。 一系悬挂中的力Ｆ 和Ｆ 、轮轨力 和Ｆ４为 Ｆ１一ｋｚ１（ｚ１一 ）＋ｃｚ１（之１一乏３） Ｆｚ—ｋｚ１（ ２一 ４）＋Ｃｚ１（ ２一 ４） Ｆ。一（ Ｉ＋￣／Ｆ ＋（ １一：ｂ１）ｖｚ＋ Ｇ一－ｍｏＺｉＩｘｏＵ￣ （６） 一——２。 ２ ｇｏ Ｆ４一（ １一 ）Ｆ ＋（１＋￣／ｇｏ ｚＦ＋ ４－ 上—Ｉｘｏ— ２。 ２ 。ｇｏ 式中：ｋｚ 和 分别为一系悬挂轮对每侧竖向刚度 系数和阻尼系数；ｇ。为轨距；ｍ。和 分别为轮 对质量及绕Ｘ方向转动惯量。 由Ｋａｌｋｅｒ蠕滑假定，横向轮轨力Ｆ 可表示为 Ｆｓ＝＝＝ｆ２ｚ（‰一 ）／ｖ＋ｆ２ｚ（ 一 ）／ 一２＿厂２ （ 一 ／ｖ） （７） 式中：ｙｗ为轮对ｙ方向位移；ｙＩ 和ｙ碾分别为左 右轨实际位置与其理论位置的横向距离；Ｙ。为轨 向不平顺；．厂２。为横向蠕滑系数，为轮轨问法向作 用力、轮对半径以及轮轨接触点处轮对踏面和钢轨 踏面曲率半径的函数。 为简化横向轮轨力模型，引入如下假设：①车 轮按锥形踏面考虑，即认为轮轨接触点处轮对踏面 为１：２０的圆锥面 ；②轮轨接触点在轨头区域， 即认为钢轨为半径３００ Ｈｉｍ的圆柱体｜１ ；③列车 运行过程中，轮轨间法向作用力为变量，但以往研 究 。 表明，其量值多在静轴重附近变化，因此可以 静轴重作为轮轨问法向力。根据上述假定，横向蠕 滑系数－厂２ｚ为常数，故横向轮轨作用力与轮轨横向 相对速度成正比。将式（１）中右端项中车辆的速 度项移至方程左端得 ＭｖＸｖ＋（Ｃｖ ４－Ｃｃ）Ｘｖ＋ＫｖＸｖ—Ｆ ｖ （８） ｃｃ一 ］ 式中： 为由于轮轨间蠕滑产生的附加阻尼矩阵； Ｆ ｖ为扣除轮轨间蠕滑力的力向量，可由单节车辆 的全部轮对的力向量叠加求得。 设Ｆ ｖ中第ｑ个元素为Ｆ ｖ 则Ｆ 、，中非零 元素如下： ４ ４ Ｆ ｖ， 斗 一２ｋｚ ∑Ｚｕ＋２ｃｚ ∑之。 ＝１ Ｊ一１ Ｆ ｖ 。一２ｋｚ 躇∑Ｕｕ＋２Ｊ一１ ｃ ６｛∑ 一１ Ｆ ｖ，５ 一２ｋｚ１ １ （一１） ｚｕ＋ （９） Ｊ一１ ４ ２ｃｚ１ｄ１∑（一１）Ｊ２ｕ ＝１ Ｆ ｖ，１ 一２ ２ ／ 式中：ｉ取１或２分别代表前、后转向架；Ｊ取１， ２，３和４，分别代表从前至后４个轮对；下标 表示第Ｊ个轮对处的不平顺。 式（９）中各式由上至下分别是针对转向架ｚ， Ｕ，Ｖ方向和轮对ｙ方向所列的动力平衡方程。式 （２）中 亦可由全部轮对的作用叠加求得，第ｉ 个转向架下第 个轮对对Ｆ 在ｙ，Ｚ和ｕ方向的 贡献为 ＦＢ Ｙ一２ｆ２ｚ（ ＿ｗＪ— ）／ ＦＢ ｚ一２ｋｚｌ［ＺＪ ＋（一１） 一Ｚｕ］＋ ２ ［ 一 ）ＪＶｊｔ一之ｕ］一（． １０） Ｇ。——ｒｎｏＺ￣ ＦＢ， ，Ｕ一２ｋｚｌｂ｝（ｕｊ 一己，ｕ）＋ ２ｃｚ ｂ｝（ 一 ）一Ｉｘｏ １．５系统方程 设列车的节数为 ，由桥梁子系统方程式（２） 和车辆子系统方程式（８）联立可得车桥耦合系统 动力平衡方程为 （ＭｗＸｖ１＋（Ｃｖ１＋Ｃ １）Ｘｖ１＋Ｋｖ１Ｘｖ１一Ｆｖ】 ＩＭｖｚ ｖ２＋（ｃｖ２＋ｃｌｃ２） ｖ２＋ＫｖｚＸｖｚ—Ｆｖ２ … Ｉ＋（ ＋ ）支 ＋Ｋｖ ｘ 一Ｆ ｌＭｌＲ Ｂ＋ＣＢ Ｂ＋ＫＢＸＢ—ＦＢ （１１） 第５期 基于全过程迭代的车桥耦合动力系统分析方法 由式（９）及式（１０）可知，车辆方程右端向 量Ｆｖ， 为轨道不平顺的函数，桥梁方程右端向量 ＦＢ为轨道不平顺及车辆运动状态的函数。 情况。但由于计算是在各次完整的时程求解之间进 行，因此较易通过人为干预使计算过程最终收敛。 ２车桥耦合系统动力平衡方程的求解 ．． ． ．３算本文采用全过程迭代法求解车桥耦合系统动力 平衡方程。每一迭代步中，分别单独求解车辆子系 统方程的桥梁子系统方程，且假定各节车辆地 例 以３Ｏ ｔ轴重货车通过某跨度（７０＋３×１２０＋ ７０）ｍ连续刚构桥的车桥动力响应为例。桥梁设 计荷载为重载线路ＺＨ活载，梁为单箱单室，顶宽 通过给定不平顺的线路，因此视各点轨道不平顺数 值在列车通过过程中保持不变，各节车辆通过桥梁 时不存耦合关系。 在求解过程中，先假定桥梁子系统无变形，在 此基础上求解车辆方程得车辆运动状态和轮轨作用 力时程，将轮轨力作用于桥梁，解算桥梁子系统的 运动状态，叠加桥面运动时程和轨道不平顺形成新 的车辆轮对激励进行下一步迭代，直至前后２次迭 代计算得到的轮轨力满足收敛条件。全过程迭代法 的计算过程如图３所示。 求解 桥梁 方程 图３全过程迭代计算过程 本文提出的全过程迭代法与时间步内迭代传统 方法间最主要的区别在于，全过程迭代法每步计算 即求解全部振动时程，而时间步内迭代方法是针对 单一时间步计算。因此，全过程迭代法参与收敛判 断的是车辆或桥梁子系统的响应时程，而非某一时 刻的响应。 全过程迭代法适用于多系统时程积分。需指出 的是，该方法就车辆和桥梁子系统而言，只要采用 无条件收敛的积分方法，即可保证计算步骤的收 敛。然而就整个车桥系统的迭代而言，并非无条件 收敛，即有可能出现各迭代步计算幅值逐渐增大的 １２．２ ｍ，底宽６．８ ｍ，跨中梁高５．５ ｍ，根部梁高 ９．５ ｍ。墩高依次为１０．５，４３，９０，８６．５，７３和 ６１．５ ｍ，除１０．５ ｍ高墩为实心矩形墩外，其余５ 个墩均为矩形空心墩。梁截面如图４所示。桥梁有 限元模型如图５所示。计算列车编组为２×ｓＳ。机 车＋４０辆３０ ｔ货车，车速１２ｏ ｋｍ・ｈ～。 图４梁截面图（单位：ｍｍ） 图５桥梁有限元模型图 为考察全过程迭代方法的计算效率，分别采用 本文方法和文献［９］中时间步内２系统问往复迭 代方法计算。２种方法均采用０．００５ Ｓ时间步长， 总计算步数为８ ０００。计算中，２种方法均以所有 轮对轮轨力与前一步的差值的最大值作为收敛判断 目标，轮轨间横向力、竖向力、扭转力矩的最大允 许误差分别为１００ Ｎ，１００ Ｎ和１００ Ｎ・ｍ。 本文方法在第４步时满足收敛条件，各步误差 见表１。时间步内迭代方法在８ ０００个计算步中， 步内迭代最小２次，最大９１次，各时间步总计迭 代７２ ３７７次，见表２。２种方法中，每次迭代均指 ３６ 中国铁道科学 第３４卷 求解车辆方程和桥梁方程各１次。本文方法需求解 ４×８ ０００—３２ ０００次，仅为时间步内迭代方法的 ４４ 。列车通过桥梁时，２种方法计算得到的各指 标的最值见表３和表４，由于采用同样的收敛判断 准则，因而两者结果十分接近。本文方法求得的车 桥响应典型时程如图６一图１３所示。 表１本文方法收敛误差 表２时间步内迭代法迭代次数统计 一 口Ｉ）／ 艘景 Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ 加ｍ ０ ｍ 表３车辆响应最值 表４桥梁响应最大值 量 ８ 。 一８ ０ ｌ０ ２０ ３０ ４０ ５０ ６０ 时间，ｓ 图６ 中跨跨中梁体竖向位移时程 ６ 曩。３ ：： ０ １０ ２Ｏ ３０ ４Ｏ ５０ ６０ 时间／ｓ 图７中跨跨中梁体横向位移时程 Ｏ．１０ 至Ｏ．０５ ‘．ＬＪＩＩＩＩＩ ＩＩＩＩｌｌ＿ ＩＪ血Ｉ 越０ 一０．０５ ＿ 盯ｍ Ｉ’ Ｏ．１Ｏ ０ １０ ２Ｏ ３Ｏ ４Ｏ ５Ｏ 时间／ｓ 图８中跨跨中梁体竖向加速度时程 Ｏ ｌＯ ２Ｏ ３Ｏ ４Ｏ ５Ｏ 时间／ｓ 图９ 中跨跨中梁体横向加速度时程 ２ 喜 ： ０ ｌ０ ２Ｏ ３０ ４０ ５Ｏ 时间／ｓ 图１Ｏ典型车体竖向加速度时程 一０．６ ；０．３ 寇０ 型一０．３ ０．６ Ｏ ２Ｏ ３Ｏ ４０ ５０ ６０ 时间／ｓ 图１ｌ典型车体横向加速度时程 ４００ Ｏ ｌ０ ２Ｏ ３０ ４０ ５Ｏ ６０ 时间／ｓ 图１２典型竖向轮轨力时程 ６０ 堇３０ 毒 。 ． 血ＪＩＩ ￣ａ，ｊａ ＿ＩＩＩＩ －Ｉ山．ＩＬＨＪＩ ●． ｈ＿Ｊ ｌ 袋一３０ ：”Ｉｆ ’－Ｉｆ ｌＷ呵１ ＩＩ『１．＇１．ｒ１ｒｒ ｒＩ１ｆ １ ’『 －６０ ０ ｌ０ ２０ ３０ ４０ ５０ ６０ 时间／ｓ 图１３典型横向轮轨力时程 ， 瑚 第５期 基于全过程迭代的车桥耦合动力系统分析方法 ［ ［［ ［ ３７ ［ ［ 由计算结果可见，桥梁竖向振动以列车重力产 生的梁跨变形为主，横向振动以１．５ Ｈｚ左右的低 频振动为主。经计算验证，横向振动来源于高墩的 ］ ｆ＝ Ｉ］］ 胡 ］ 明 ］ ］ ４结论 横向强迫振动频率。由于桥梁质量较大，因此竖、 横向振动加速度很小，不超过０．２ ｍ・ｓ＿。，而由 式（５）计算得到的轨道不平顺附加加速度为１Ｏ Ｉｎ・８－２数量级，故桥梁振动对车辆轮对运动状态 的贡献很小，计算收敛速度快。 文献Ｅ６］的研究结果表明，重载铁路货车横 （１）提出车桥耦合动力系统分析的全过程迭代 法。该方法可分别单独求解车辆子系统和桥梁子系 统方程，避免时间步内车桥２子系统间的迭代过 程。此方法的优点是，车辆子系统的求解中可规避 各节车辆间的耦合关系；桥梁子系统可利用通用有 限元软件求解；迭代计算过程中可通过人为干预迭 向轮轨力多在４Ｏ～８ｏ ｋＮ范围内，与本文计算结 代过程促进计算收敛，提高车桥耦合动力分析的计 果相近。本算例列车过桥全过程中，各轮对横向轮 算效率。 轨力的最大值为５１．５７ ｋＮ；由于列车轴重大，其 （２）全过程迭代法的计算效率较时间步内迭代 竖向轮轨力的最小值达２２７．０２ ｋＮ，即使计入轮对 法高，就算例而言，全过程迭代法的方程求解次数 侧滚力矩导致的单侧车轮减载，亦远不致发生脱 仅为时间步内迭代法的４４ 。 轨。然而，过大的横向轮轨力有可能造成桥上有砟 （３）本文算例的重载货车通过桥梁时，虽不致 线路结构的劣化，影响其结构的稳定性和传力的均 发生桥上脱轨，但横向轮轨力较大，有可能造成桥 匀性。因此，对于重载线路的桥上线路，应给予密 上有砟线路结构的劣化，影响其结构的稳定性和传 切关注，加强养护维修。 力的均匀性，应给予密切关注，加强养护维修。 参 考 文 献 夏禾，张楠．车辆与结构动力相互作用［Ｍ３．北京：科学出版社，２００５． （ＸＩＡ Ｈｅ，ＺＨＡＮＧ Ｎａｎ．Ｄｙｎａｍｉｃ Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｖｅｈｉｃｌｅｓ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ＥＭ］．Ｂｅｒｉｎｇ：Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｐｒｅｓｓ，２００５．ｉｎ Ｃｈｉ— ｎｅｓｅ） 曹雪琴．钢桁梁桥横向振动［Ｍ］．北京：中国铁道出版社，１９９１． ＸＩＡ Ｈｅ，ＧＵＯ Ｗｅｉｗｅｉ，ＺＨＡＮＧ Ｎａｎ，ｅｔ ａ１．Ｄｙｎａｍｉｃ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ａ Ｔｒａｉｎ－Ｂｒｉｄｇｅ Ｓｙｓｔｅｍ ｕｎｄｅｒ Ｗｉｎｄ Ａｃｔｉｏｎ［Ｊ］． Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，２００８（８６）：１８４５—１８５５． ＸＵ Ｙｏｕｌｉｎ，ＺＨＡＮＧ Ｎａｎ，ＸＩＡ Ｈｅ．Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｏＣｕｐｌｅｄ Ｔｒａｉｎ ａｎｄ Ｃａｂｌｅ Ｓｔａｙｅｄ Ｂｒｉｄｇｅ Ｓｙｓｔｅｍ ｉｎ Ｃｒｏｓｓ Ｗｉｄｎ［Ｊ］． Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，２００４，２６：１３８９—１４０６． ＹＡＮＧ Ｙｏｎｇｂｉ￣Ｖｅｈｉｃｌｅ－Ｂｒｉｄｇｅ Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ Ｅｌｅｍｅｎｔ ｆｏｒ Ｄｙｎａｍｉｃ Ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］．Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＡＳＣＥ， １９９７，１２３（１１）：１５１２—１５１８． 李奇，吴定俊，李俊．混编货车通过中小跨度桥梁时车桥振动分析［Ｊ］．同济大学学报：自然科学版，２００７，３５ （２）：１７１—１７５． （ＬＩ Ｑｉ，ＷＵ Ｄｉｎ￣ｕｎ，ＬＩ Ｊｕｎ．Ｔｒａｉｎ－Ｂｒｉｄｇｅ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｍｉｘ－Ｍａｒｓｈａｌｌｉｎｇ Ｆｒｅｉｇｈｔ Ｔｒａｉｎｓ’Ｔｒａｖｅｒｓｉｎｇ Ｍｅｄｉ— ｕｍ ａｎｄ Ｓｍａｌｌ Ｓｐａｎ Ｂｒｉｄｇｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｔｏｎｇｉｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ，２００７，３５（２）：１７１—１７５．ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） 翟婉明．车辆一轨道耦合动力学［Ｍ］．３版．北京：科学出版社，２００７． （ＺＨＡＩ Ｗａｎｍｉｎｇ．Ｖｅｈｉｃｌｅ－Ｔｒａｃｋ ｏＣｕｐｌｉｎｇ Ｄｙｎａｍｉｃｓ［Ｍ３．３ｒｄ ｅｄ．Ｂｅｉｊｉｇｎ：Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｐｒｅｓｓ，２００７．ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） 李小珍．高速铁路列车一桥梁系统耦合振动理论及应用研究［Ｄ］．成都：西南交通大学，２０００． （ＬＩ Ｘｉａｏｚｈｅｎ．Ｓｔｕｄｉｅｓ ｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｔｒａｉｎ－Ｂｒｉｄｇｅ Ｓｙｓｔｅｍ Ｃｏｕｐｌｉｎｇ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｉｎ Ｈｉｇｈ－Ｓｐｅｅｄ Ｒａｉｌｗａｙ ［Ｄ３．Ｃｈｅｎｇｄｕ：Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２０００．ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ＺＨＡＮＧ Ｎａｎ，ＸＩＡ Ｈｅ，ＧＵＯ Ｗｅｉｗｅｉ，ｅｔ ａ１．Ａ Ｖｅｈｉｃｌｅ－Ｂｒｉｄｇｅ Ｌｉｎｅａｒ Ｉｔｎｅｒａｃｔｅｄ Ｍｏｄｅｌ ａｎｄ Ｉｔｓ Ｖａｌｉｄａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒ— ｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ Ｄｙｎａｍｉｃｓ，２０１０，１０（２）：３３５—３６１． ＺＨＡＮＧ Ｎａｎ，ＸＩＡ Ｈｅ．Ｄｙｎａｍｉｃ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｃｏｕｐｌｅｄ Ｖｅｈｉｃｌｅ－Ｂｒｉｄｇｅ Ｓｙｓｔｅｍ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｉｎｔｅｒ－Ｓｙｓｔｅｍ Ｉｔｅｒａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ＬＪ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，２０１３（１１４／１１５）：２６—３４． 曾庆元，郭向荣．列车桥梁时变系统振动分析理论及应用［Ｍ］．北京：人民交通出版社，１９９９． 潘家英，高芒芒．铁路车一线一桥系统动力分析［Ｍ］．北京：中国铁道出版社，２００８． ３８ 中国铁道科学 第３４卷 ｄｎ Ｎｇｕｙｅｎ，ＫＩＭ Ｋｉ Ｄｕ，ＷＡＲＮＩＴＣＨＡＩ Ｐｅｎｎｕｎｇ．Ｄｙｎａｍｉｃ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｔｈｒｅｅ－Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｂｒｉｄｇ￣Ｈｉｇｈ－ ［１３］ ＤＩＮＨ Ｖ－Ｓｐｅｅｄ Ｔｒａｉｎ Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ Ｕｓｉｎｇ ａ Ｗｈｅｅｌ－Ｒａｉｌ Ｃｏｎｔａｃｔ Ｍｏｄｅｌ［Ｊ］．Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，２００９，３１：３０９０—３１０６． ｓｏｎ ｏｆ Ａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅ Ｃｒｅｅｐ Ｆｏｒｃｅ Ｍｏｄｅｌｓ ｆｏｒ Ｒａｉｌ Ｖｅｈｉｃｌｅ Ｄｙ— ［１４］ ＳＨＥＮ Ｚ Ｙ，ＨＥＤＲＩＣＫ Ｊ Ｋ，ＥＬＫＩＮＳ Ｊ Ａ Ａ Ｃｏｍｐａｒｉｎａｍｉｃ Ａｎａｌｙｓｉｓ ＥＪ］．Ｖｅｈｉｃｌｅ Ｓｙｓｔｅｍ Ｄｙｎａｍｉｃｓ：Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｅｈｉｃｌｅ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ Ｍｏｂｉｌｉｔｙ，１９８３，１２ （１／２／３）：７９—８３． ［１５］ 王福天．车辆系统动力学［Ｍ］．北京：中国铁道出版社，１９９４． ｓｌａｖ．Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｏｌｉｄｓ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｕｎｄｅｒ Ｍｏｖｉｎｇ Ｌｏａｄｓ［Ｍ］．Ｌｏｎｄｏｎ：Ｔｈｏｍａｓ Ｔｅｌｆｏｒｄ，１９９９． ［１６］ ＦＬＹＢＡ ＬａｄｉＳ Ｓ，ＺＨＵ Ｘ Ｑ＿Ｂｒｉｄｇｅ Ｄｙｎａｍｉｃ Ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ Ｄｕｅ ｔｏ Ｒｏａｄ Ｓｕｒｆａｃｅ Ｒｏｕｇｈｎｅｓｓ ａｎｄ Ｂｒａｋｉｎｇ ｏｆ Ｖｅｈｉｃｌｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒ— ［１７１ ＬＡｗ ｎａ１ Ｓｏｕｎｄ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，２００５，２８２（３）：８０５—８３０． ．Ａ Ｓｉｍｐｌｅ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ Ａｎａｌｙｓｅｓ Ｉｎ— ［１８］ ＪＵ Ｓｈｅｎｈａｗ，ＬＩＮ Ｈｕｎｇｔａ，ＨＳＵＥＨ Ｃｈｕｎｇｃｈｅｎｇ，ｅｔ ａ１ｄｕｃｅｄ ｂｙ Ｍｏｖｉｎｇ Ｖｅｈｉｃｌｅｓ ＥＪ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｆｏｒ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００６，６８（１２）： １ ２３２一］２５６． Ａ Ｖｅｈｉｃｌｅ—Ｂｒｉｄｇｅ Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ Ｄｙｎａｍｉｃ Ｓｙｓｔｅｍ Ａｎａｌｙｓｉｓ Ｍｅｔｈｏｄ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｉｎｔｅｒ・・Ｓｙｓｔｅｍ Ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ＺＨＡＮＧ Ｎａｎ，ＸＩＡ Ｈｅ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｒｉｎｇ １０００４４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｖｅｈｉｃｌｅ ｓｕｂｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｍｏｄｅｌｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｒｉｇｉｄ－ｂｏｄｙ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ｂｒｉｄｇｅ ｓｕｂｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｍｏｄｅ１ｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ＦＥＭ，ｔｈｅ ｗｈｅｅｌ—ｒａｉｌ ｃｏｎｔａｃｔ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ｉｎ ｖｅｒｔｉｃａ１ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ Ｋａｌｋｅｒ ｃｒｅｅｐ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ １ａｔｅｒａｌ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ，ａｎｄ ｔｒａｃｋ ｉｒｒｅｇｕｌａｒｉｔｙ ｉｓ ｒｅｇａｒｄｅｄ ａｓ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ。Ａｎ ｉｎｔｅｒ－ｓｙｓｔｅｍ ｈｉｓｔｏｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｖｅｈｉｃｌｅ—ｂｒｉｄｇｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ．Ｔｈｅ ｂｒｉｄｇｅ ｓｕｂｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ａｓｓｕｍｅｄ ｔｏ ｈａｖｅ ｎｏ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｆｉｒｓｔ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｖｅｈｉｃ１ｅ ｅａｕａｔｉｏｎ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｈｉｓｔｏｒｉｅｓ ｆｏｒ ｖｅｈｉｃｌｅ ｍｏｔｉｏｎ ａｎｄ ｗｈｅｅｌ—ｒａｉｌ ｆｏｒｃｅ．Ｔｈｅ ｍｏｔｉｏｎ ｓｔａｔｕｓ ｏｆ ｂｒｉｄｇｅ ｓｕｂｓｙｓｔｅｒｎ ｃａｎ ｂｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｂｙ ａｃｔｉｎｇ ｔｈｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｗｈｅｅｌ—ｒａｉｌ ｆｏｒｃｅ ｔｏ ｔｈｅ ｂｒｉｄｇｅ．Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｎｅｗ ｗｈｅｅｌｓｅｔ ｅｘｃｉｔｅｒ ｉｓ ｆｏｒｍｅｄ ｂｙ ｓｕｐｅｒｉｍｐｏｓｉｎｇ ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｈｉｓｔｏｒｙ ｏｆ ｄｅｃｋ ｍｏｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｒａｃｋ ｉｒｒｅｇｕｌａｒｉｔｙ．Ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｉｔｅｒａ ｔｉｏｎ ｉｓ ｃａｒｒｉｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈ ｕｎｔｉｌ ｔｈｅ ｗｈｅｅｌ—ｒａｉ１ ｆｏｒｃｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｔｗｏ ｓｕｃｃｅｓｓｉｖｅ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｓｔｅｐｓ ｍｅｅｔｓ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｖｅｈｉｃｌｅ ａｎｄ ｂｒｉｄｇｅ ｓｕｂｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈｉｎ ｅａｃｈ ｔｉｍｅ ｓｔｅｐ ｃａｎ ｂｅ ａｖｏｉｄｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｃａｎ ｂｅ ｅａｓｉｌｙ ｐｒｏｍｏｔｅｄ ｂｙ ａｒｔｌ— ｆｉｃｉａ１１ｙ ｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇ ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ，ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ａｎａｌ— ｖｓｉｓ ｏｆ ｖｅｈｉｃｌｅ－ｂｒｉｄｇｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ．Ａｓ ａ ｃａｓｅ ｓｔｕｄｙ，ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｔｉｍｅ ｓｔｅｐ ｉｔｅｒ— ａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ａｒｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ａｎａｌｙｚｅ ｔｈｅ ｖｅｈｉｃｌｅ—ｂｒｉｄｇｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｄｙｎａｍｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ａ ｆｒｅｉｇｈｔ ｔｒａｉｎ ｗｉｔｈ ３０ ｔ ａｘｌｅ－ｌｏａｄ ｒｕｎｎｉｎｇ ｔｈｒｏｕｇｈ ａ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｒｉｇｉｄ ｆｒａｍｅ ｂｒｉｄｇｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｐａｎ ｏｆ（７０＋３×１２０＋７０）ｍ．Ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃａ１ｃｕｌａｔｉｏｎ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｈｉｇｈｅｒ ｔｈａｎ ｔｈａｔ ｏｆ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｔｉｍｅ ｓｔｅｐ ｉｔｅｒ— ａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｔｉｍｅｓ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｓ ｏｎｌｙ ４４％ｏｆ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｔｉｍｅ ｓｔｅｐ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈ— ｏｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｖｅｈｉｃｌｅ－ｂｒｉｄｇｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ；Ｄｙｎａｍｉｃ ｓｙｓｔｅｍ；Ｉｎｔｅｒ－ｈｉｓｔｏｒｙ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ；Ｄｙｎａｍｉｃ ａｎａｌｙｓｉｓ （责任编辑吴彬）
